BOGDANOV–TAKENS BIFURCATION: FROM FLOWS TO DISCRETE SYSTEMS


Cite this article as:

Kuznetsov A. P., Savin А. V., Sedova Y. V. BOGDANOV–TAKENS BIFURCATION: FROM FLOWS TO DISCRETE SYSTEMS. Izvestiya VUZ, Applied Nonlinear Dynamics, 2009, vol. 17, iss. 6, pp. 139-158 DOI: 10.18500/0869-6632-2009-17-6-139-158


The methodically important bifurcation – Bogdanov–Takens bifurcation – is discussed. For the primary model its bifurcations and evolution of phase portraits are described. The examples of nonlinear systems with such bifurcation are presented. The method of discrete models of construction that is founded on semi­explicit Euler scheme is discussed. On the base of the continuous prototype the discrete model of Bogdanov–Takens oscillator is constructed. The analytical analysis of bifurcations of a codimension one and two for discrete model is realized. With the help of method of charts of dynamical regimes the picture of synchronization tongues has been revealed and scaling has been demonstrated. The illustrations of destruction and disappearance of an invariant curve are given. One more map suitable for educational purposes – Bogdanov map is discussed. Some Internet resources interesting from methodically point of view are presented.

DOI: 
10.18500/0869-6632-2009-17-6-139-158
Literature

1. Ван Д., Ли Ч., Чоу Ш.-К. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. М.: МЦНМО, 2005. 416 c.

2. Kuznetsov Yuri A. Elements of applied bifurcation theory. New York: Springer, 1998. 593 p.

3. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Ижевск: РХД, 2002. 560 с.

4. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания. М.: Физ-матлит, 2002. 292 с.

5. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Физматлит, 1997. 496 с.

6. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. 360 с.

7. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 496 с.

8. Интернет-ресурс «Encyclopedia of dynamical systems», страница «FitzHugh–Nagumo model», http://www.scholarpedia.org/article/FitzHugh–Nagumo_model.

9. Barnes B., Grimshaw R. J. Analytical and numerical studies of the Bonhoeffer Van der Pol system // Austral. Math. Soc., Ser. B. 1997. Vol. 38. P. 427.

10. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 312 с.

11. Постнов Д.Э. Бифуркации регулярных аттракторов. Учебное пособие. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1996. 102 с.

12. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2006.

13. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1990. 240с.

14. Чириков Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности. Препринт ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск, 1969.

15. Сухаревский В.В. Перерассеяние частиц в поле сил ангармонического осциллятора со слабо-диссипативным возмущением. Автореф. дис... канд. физ.-мат.наук / МГУ, 2005.

16. Сухаревский В.В. Бистабильные состояния в отображении Богданова // Вестник МГУ, серия «Математика. Механика». 2003. No 5. С. 3.

17. Сухаревский В.В. Оценка температуры и плотности частиц в слабо-диссипативной теории Колмогорова–Арнольда–Мозера // Вестник МГУ, серия «Физика. Астрономия». 2005. No6. С. 28.

18. Морозов А. Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах // Серия современная математика. Москва – Ижевск: РХД, 2005. 424 с.

19. Arrowsmith D.K., Cartwright J.H.E., Lansbury A.N., Place C.M. The Bogdanov map: bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3, No 4. P. 803.

20. Богданов Р.И., Богданов Р.М. Турбулентность в слабо диссипативной версии КАМ // Тез. докл. Межд. Конф. «Анализ и особенности», посвященной 70-летию В.И. Арнольда. М.: МИАН, 2007. С. 35.

21. Gonchenko V.S., Kuznetsov Yu.A., Meijer H.G.E. Generalized Henon map and bifurcations of homoclinic tangencies // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2005. Vol. 4. P. 407.

22. Гонченко С.В., Стенькин Н.В., Шильников Л.П. О существовании счетного множества устойчивых и неустойчивых инвариантых торов у систем из областей Ньюхауса с гетероклиническими касаниями // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2, No 1. С. 3.

23. Гонченко С.В., Гонченко А.С. К вопросу о классификации линейных и нелинейных подков Смейла // Нелинейная динамика. 2007. Т. 3, No 4. С. 423.

24. Kuznetsov Yu.A., Meijer H.G.E., van Veen L. The fold-flip bifurcation // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2004. Vol. 14. P. 2253.

25. Гонченко С.В. Подковы Смейла и их бифуркации в обобщенных отображениях Эно // Тез. докл. Межд. Конф. «Анализ и особенности», посвященной 70-летию В.И. Арнольда. М.: МИАН, 2007. С. 43.

26. Meijer H.G.E. Codimension 2 bifurcations of iterated maps // Ph.D. Thesis Utrecht University. Интернет-ресурс: http://igitur-archive.library.uu.nl/dissertations/2006- 1204-200716/ind....

27. Интернет-страница Yuri A. Kuznetsov: www.math.uu.nl/people/kuznet/

28. Кузнецов А.П., Савин А.В. О возможности реализации квазипериодических режимов при переходе к неустойчивой по Лагранжу динамике // Письма в ЖТФ. 2006. Т. 32, вып. 21. С. 18.

29. Интернет-ресурс «Карты динамических режимов», http://sgtnd.narod.ru/science/atlas/rus/index.htm.

30. Интернет-ресурс «Карты ляпуновских показателей», http://sgtnd.narod.ru/chair/rus/index.htm.

Status: 
одобрено к публикации
Short Text (PDF): 
Full Text (PDF): 

BibTeX

@article{Кузнецов-IzvVUZ_AND-17-6-139,
author = {A. P. Kuznetsov and А. V. Savin and Yu. V. Sedova },
title = {BOGDANOV–TAKENS BIFURCATION: FROM FLOWS TO DISCRETE SYSTEMS},
year = {2009},
journal = {Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics},
volume = {17},number = {6},
url = {http://andjournal.sgu.ru/en/articles/bogdanov-takens-bifurcation-from-flows-to-discrete-systems},
address = {Саратов},
language = {russian},
doi = {10.18500/0869-6632-2009-17-6-139-158},pages = {139--158},issn = {0869-6632},
keywords = {Bogdanov–Takens bifurcation,discrete models.},
abstract = {The methodically important bifurcation – Bogdanov–Takens bifurcation – is discussed. For the primary model its bifurcations and evolution of phase portraits are described. The examples of nonlinear systems with such bifurcation are presented. The method of discrete models of construction that is founded on semi­explicit Euler scheme is discussed. On the base of the continuous prototype the discrete model of Bogdanov–Takens oscillator is constructed. The analytical analysis of bifurcations of a codimension one and two for discrete model is realized. With the help of method of charts of dynamical regimes the picture of synchronization tongues has been revealed and scaling has been demonstrated. The illustrations of destruction and disappearance of an invariant curve are given. One more map suitable for educational purposes – Bogdanov map is discussed. Some Internet resources interesting from methodically point of view are presented. }}