CHAOS AND NONINTEGRABILITY IN HAMILTONIAN SYSTEMS

The article is devoted to historical development of one key aspect of Hamiltonian systems – nonintegrability, and its relation with chaotic behavior of the system. Evolution from the concept of quite integrable system to partly integrable one is shown. The relation of nonintegrability with such fundamental concepts as Kolmogorov stability, systems with divided phase space, Arnold diffusion, Zaslavsky web and others is discussed.

Key words: 
-
Literature

1. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // Успехи мат. наук. 1983. Т. 38, вып. 1. С. 3.

2. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985.

3. Козлов В.В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 1995.

4. Уинтнер А. А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967.

5. Молодший В.Н. О. Коши и революция в математическом анализе первой четверти XIX века // Истор.-матем. исслед. 1978. Вып. 23. С. 32.

6. Демидов С., Петрова С.С., Симонов Н.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Математика XIX в. М.: Наука, 1987. С. 80.

7. Liouville J. Remarques nouvelles sur l’equation de Riccati // J.Math. Pures et Appl. 1841. P. 1.

8. Bour J. Sur l’integration des equations differentielles de la M  ́ ecanique Analytic //  J.Math. Pure et Appl. 1855. Vol. 20. P. 185.

9. Liouville J. Note a l’occasiondumemoirepr ` ecidentdeM.EdmondBour// Ibid. P. 201.  ́

10. Аносов Д.В. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века // Студенческие чтения МК НМУ. Вып. 1. М.: МЦНМО, 2000. С. 74.

11. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

12. Poincare H.  ́ Sur le probleme des trois corps et les ` equations de la Dynamique //  Acta Math. 1890. Vol. 13. P. 1.

13. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Избр. труды: В 3 т. М.: Наука, 1971, т. 1; 1972, т. 2.

14. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: РХД, 1999.

15. Delauney C.E. Theorie du Mouvement de la Lune. Paris, 1860.

16. Staude O. Uber eine Gattung doppelt reel periodischer Funktionen zweier Varanderlicher // Math. Ann. 1887. Bol. 29. S. 468.

17. Stackel P.  ̈ Uber die integration der Hamilton-Jakobischen Differentialgleichung  mittels der Separation der Variabein. Habilationschrift, Halle, 1891.

18. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985.

19. Schwarzschild K. Zur Quantenhypotese // Berliner Berichte. 1916. S. 548.

20. Sommerfeld A. Atombau und Spektrallinien. Braunschweig: Vieweg, 1919; Рус. пер.: Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. М.-Л., 1926.

21. Арнольд В.И. Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики // Сиб. матем. журн. 1963. Т. 4, No 2. С. 471.

22. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

23. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995.

24. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968.

25. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т. 98, No 4. С. 527.

26. Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика // Межд. матем. конгресс в Амстердаме 1954. М.: Физматгиз, 1961. С. 187.

27. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, вып. 5. С. 13.

28. Moser J. On invariant curves of area-preserving mappings of an annuals // Nachr. Akad. Wiss., Gottingen, Math.-Phys. K1. IIa. 1962. No1. P. 1.  ̈

29. Чириков Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности. Докт. дисс. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1969.

30. Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Статистические свойства нелинейной струны // ДАН СССР. 1966. Т. 166, No 1. С. 57.

31. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, вып. 6. С. 91.

32. Fermi E. Beweis dass ein Mechnisches Normalsystem in Allgemeinen Quasiergodisch ist // Phys. Zs. 1923. Bol. 24. S. 261; Рус. пер.: Ферми Э. Научн. труды. Т. 1. М.: Наука, 1971. С. 115.

33. Зигель К. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959.

34. Джакалья Г. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979.

35. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. М.: ОНТИ, 1937.

36. Contopoulos G. On the existence of a third integral of motion // Astron. J. 1962. Vol. 67, No1. P. 1.

37. Contopoulos G. A classification of the integrals of motion // Astron. J. 1963. Vol. 138, No4. P. 1297-1.

38. Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion; some numerical experiments // Astron. J. 1964. Vol. 69, No1. P. 73.

39. ЛихтенбергА., ЛиберманМ.Регулярнаяистохастическая динамика.М.:Мир, 1984.

40. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.

41. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Studies in nonlinear problems // Los-Alamos report 1940. 1955; Рус. пер.: Ферми Э. Научн. труды. Т. 2. М.: Наука, 1972. С. 647.

42. Chaos. 2005. Vol. 15. 015101.

43. Солитоны. М.: Мир, 1983.

44. Израилев Ф.М., Хисамутдинов А.И., Чириков Б.В. Численные эксперименты с нелинейной цепочкой. Препринт 252. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1968. 38 с.

45. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. О пределах статистического описания нелинейного волнового поля // ЖЭТФ. 1967. Т. 52, вып. 4. С. 1081.

46. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы // ДАН СССР. 1964. Т. 156, No 1. С. 9.

47. Арнольд В.И. Проблема устойчивости и эргодические свойства классических динамических систем // Тр. Межд. конгресса математиков. Москва – 1966. М.: Мир, 1968. С. 387.

48. Нехорошев Н.Н. О поведении гамильтоновых систем, близких к интегрируемым // Функц. анализ и его приложения. 1971. Т. 5, вып. 4. С. 82.

49. Нехорошев Н.Н. Метод последовательных канонических замен переменных // МозерЮ.Лекцииогамильтоновыхсистемах.Добавление. М.: Мир, 1973. С. 150.

50. Гадияк Г.В., Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Предварительные численные эксперименты по диффузии Арнольда. Препринт 74-49. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1974. 24 с.

51. Гадияк Г.В., Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Численные эксперименты по универсальной неустойчивости в нелинейных колебательных системах (диффузия Арнольда) // VII. Int. Konf. uber nichtlineare Schwingungen. B. II, 1. Berlin: Akademie-Verlag, 1977. S. 315.

52. Chirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Rep. 1979. Vol. 52, No5. P. 263.

53. Лошак П. Каноническая теория возмущений: подход, основанный на совместных приближениях // Успехи мат. наук. 1992. Т. 47, вып. 6. С. 59.

54. Xia Z. Arnold diffusion in the elliptic restricted three-body problem // J.Dynamics and Diff. Equations. 1993. Vol. 5, No2. P. 219.

55. Xia Z. Arnold diffusion and oscillating solutions in the planar three-body problem // J.Diff. Equations. 1994. Vol. 110. P. 289.

56. Chierchia L., Gallavotti G. Drift and diffusion in phase space // Ann. de l’Institut Poincare, B. 1994. Vol. 60. P. 1.  ́

57. Алексеев В.М. Лекции по небесной механике. М.: УРСС, 1999.

58. Мельников В.К. Качественное описание сильного резонанса в нелинейной системе // ДАН СССР. 1963. Т. 148, No 6. С. 1257.

59. Мельников В.К. Устойчивость центра при периодических по времени возмущениях // Тр. Моск. мат. общества. 1963. Т. 12. С. 3.

Status: 
одобрено к публикации
Short Text (PDF): 
Full Text (PDF):