ISSN 0869-6632 (Online)
ISSN 2542-1905 (Print)


Cite this article as:

Leonov G. A. Effective criteria for the existence of homoclinic bifurcations in dissipative systems. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2005, vol. 13, iss. 3, pp. 20-26. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2005-13-3-20-26

Language: 
Russian

Effective criteria for the existence of homoclinic bifurcations in dissipative systems

Autors: 
Leonov Gennadij Alekseevich, St. Peterburg State Polytechnical University
Abstract: 

The path bifurcation problem is formulated. The application of it for the classical result of F. Tricomi on the existence of homoclinic bifurcations in a dissipative pendulum system is discussed. The survey of results concerning to the solving of the path homoclinic bifurcation problems for Lorenz system is given.

Key words: 
DOI: 
10.18500/0869-6632-2005-13-3-20-26
References: 

1. Tricomi F. Integrazione di unequazione differenziale presentatasi in electrotechnica // Annali della Roma Scuola Normale Superiore de Pisa: Scienza Phys. e Mat. 1933. Vol. 2. P.1. 2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1965. 3. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969. 4. Баутин Н.Н. Качественные исследования одного уравнения ФАП // Прикл. математика и механика. 1970. Т.34, No 5. С.850. 5. Белых В.Н., Некоркин В.И. Качественные исследования системы трех дифференциальных уравнений теории фазовой синхронизации // Прикл. математика и механика. 1975. Т.39, вып. 4. С. 642. 6. Белюстина Л.Н. Об одном уравнении из теории электрических машин // Сборник памяти А.А.Андронова. М.: Изд-во АН СССР, 1955. C.158. 7. Белюстина Л.Н. Исследование нелинейной системы ФАП // Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т.2, No 2. C.63. 8. Белюстина Л.Н. О полосе захвата и численном исследовании точечных отображений в некоторых задачах синхронизации // Динамика систем. Горький: ГГУ, 1976. No 11. C.18. 9. Белюстина Л.Н., Быков В.В., Кивелева К.Г., Шалфеев В.Д. О величине полосы захвата системы ФАПЧ с пропорционально-интегрирующим фильтром // Изв. вузов. Радиофизика. 1970. Т.13, No 4. C. 561. 10. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. Качественное исследование динамической системы на цилиндре // Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, No 3. С. 403. 11. Губарь Н.А. Исследование кусочно-линейных динамических систем с тремя параметрами // Прикл. математика и механика. 1961. Т.25, No 6. С.1011. 12. Amerio L. Studio asimptotika del moto un punto su una chiusa per azione diforze independenti dal tempo // Ann. R. Scuola Norm. sup. Piza, 1950. Vol. 3, No 3. P.17. 13. Amerio L. Determinazione della condizioni di stabilita per gli integrali di un’equazione interessante l’electrotecnica // Ann. di Matem. pura ed appl. 1949. Vol. 30, No 4. P.34. 14. Hayes W.D. On the equation for a damped pendulum under constant torque // Z. Ang. Math. Phys. 1953. Bd 4, No 5. S.398. 15. Zeifert G. On the existence of certain solutions of nonlinear differential equations // Z. Ang. Math. Phys. 1952. Bd 3, No 6. S.468. 16. Zeifert G. On stability questions for pendulum-like equations // Z. Ang. Math. Phys. 1956. Bd 7, No 3. S.238. 17. Шахгильдян В.В., Белюстина Л.Н. Системы фазовой синхронизации. М.: Радио и связь, 1982. 18. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972. 19. Янко-Триницкий А.А. Новый метод анализа работы синхронных двигателей при резкопеременных нагрузках. М.–Л.: Госэнергоиздат, 1958. 20. Гупта С. Фазовая автоподстройка частоты // Труды Инст-та инж. электротехн. и радиотехн. 1975. Т.63, No 2. С.50. 21. Stocker J.J. Nonlinear vibrations in mechanical and electrical systems. New York: Interscience, 1950. 22. Viterbi A.J. Principles of coherent communications. New York: McGraw-Hill, 1966. 23. Lindsey W.C. Sinchronization systems in communication and control. New York : Prentice-Hall, 1972. 24. Белых В.Н. О бифуркации сепаратрис седла системы Лоренца // Дифференциальные уравнения. 1984. Т.20, No 10. С.1666. 25. Leonov G.A., Reitman V. Attraktoreingrenzung fur nichtlineare systeme. Leipzig:  Teubner, 1987. 26. Леонов Г.А. Об оценке параметров бифуркации петли сепаратрисы седла системы Лоренца // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, No 6. С.972. 27. Леонов Г.А. Об оценке бифуркационных значений параметров системы Лоренца // Успехи мат. наук. 1988. Т.43, No 3. С.189. 28. Леонов Г.А. О существовании гомоклинических траекторий в системе Лоренца // Вестн. СПб. ун-та. Математика, механика, астрономия. 1999, No 1. С.13. 29. Hastings S.P., Troy W.C. A shooting approach to chaos in the Lorenz equations // J. of Different. Equat. 1996. Vol. 127, No 1. P.41. 30. Chen X. Lorenz equations. Pt. 1. Existence and nonexistence of homoclinic orbits // SIAM J. Math. Analysis. 1966. Vol. 27, No 4. P.1057. 31. Леонов Г.А. Оценки аттракторов и существование гомоклинических орбит в системе Лоренца // Прикладная математика и механика. 2001. Т.65, вып. 1. С. 21. 32. Leonov G.A., Ponomarenko D.V., Smirnova V.B. Frequency-domain methods for nonlinear analysis. Theory and Applications. Singapore: World Scientific, 1996.

Short text (in English): 
Full text: