АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ПЕРРОНА – ФРОБЕНИУСА КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Исследуются спектральные свойства линейного несамосопряженного оператора Перрона – Фробениуса для кусочно-линейного пилообразного отображения, ветви которого имеют одинаковый по модулю тангенс угла наклона и переводят отрезок своего определения на единичный интервал. Показано, что для произвольного числа ветвей отображения полиномиальные собственные функции оператора представляются (в зависимости от четности или нечетности числа ветвей) многочленами Бернулли, Эйлера или их линейной комбинацией. Соответствующие собственные числа выражаются через отрицательные степени числа ветвей отображения. Для отображения с нечетным числом ветвей и нулевым значением итеративной функции в нуле собственные числа являются кратными. Переход к инверсному отображению устраняет кратность собственных чисел оператора. Результаты получены методом, основанным на построении специальной аналитической производящей функции для собственных функций оператора Перрона – Фробениуса. Знание решения спектральной задачи для кусочно-линейного отображения автоматически позволяет записать точное решение спектральной задачи для любых топологически сопряженных отображений, а также найти аналитическое представление для автокорреляционной функции траекторий и корреляционных функций связанных с ними наблюдаемых.

Ключевые слова: 
-
Литература

1. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с.

2. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. 240 с.

3. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 с.

4. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 356 с.

5. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: Физматлит, 2001. 296 с.

6. Пригожин И.Р., Стенгерс И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. М.: Прогресс, 1994. 272 с.

7. Короновский А.А., Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии. Саратов: ГосУНЦ Колледж, 2002. 324 с.

8. Лифшиц Е.М., Халатников И.М., Синай Я.Г., Ханин К.М, Щур Л.Н. О стохастических свойствах релятивистских космологических моделей вблизи особой точки // Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 38. С. 79.

9. Голубенцев А.Ф. , Аникин В.М. О хаотической модели ранней эволюции Вселенной // Радиотехника. 2005. No 4. С. 50.

10. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1988. 456 с.

11. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. Гл. 9.

12. Голубенцев А.Ф. , Аникин В.М. Инвариантные функциональные подпространства линейных эволюционных операторов хаотических отображений// Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т. 13, No 1-2. С. 3.

13. Antoniou I., Tasaki S. Generalized spectral decomposition of mixing dynamical systems // Int. J. Quantum Chemistry. 1993. Vol. 46. P. 425.

14. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. О некоторых свойствах оператора Фробениуса – Перрона для сдвигов Бернулли // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. No 2. С. 67.

15. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., and Arkadaksky S.S. On the convergence of nonstationary solutions of the Frobenius – Perron equations to the invariant density // Proceedings of 2nd International Conference «Control of Oscillation and Chaos». 2000 / Edited by F.L. Chernousko and A.L. Fradkov. S.-Petersburg. Vol. 1. P. 142.

16. Dorfle M.  ̈ Spectrum and eigenfunctions for the Frobenius – Perron operator of thetent map // J. Stat. Phys. 1985. Vol. 40. No1/2. P. 93.

17. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Сопряженные хаотические отображения: построение, траекторные, вероятностные и спектральные характеристики // Проблемы современной физики. К 90-летию Саратовского государственного университета и 40-летию сотрудничества ОИЯИ – СГУ / Под ред. А.Н.Сисакяна и Д.И. Трубецкова. Дубна: ОИЯИ, 2000. С. 172.

18. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина Ю.А. К решению спектральной задачи для эволюционного оператора методом производящих функций // Моделирование: Сб. науч. статей / Под ред. проф. Б.Е. Железовского. Саратов: Исток-С, 2002. С. 24.

19. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

20. Бланк Л.М. Устойчивость и локализация в хаотической динамике. М.:МЦНМО, 2001. 352 с.

21. Lasota A., Mackey M.C. Probabilistic properties of deterministic systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1985. Ch.4.

22. Iosifescu M., Kraaikamp C. Metrical Theory of Continued Fractions. Kluwer Boston, Inc. 2002. Chps. 1, 2.

23. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Ред. М. Абрамовиц и И. Стиган. Пер. с англ. М.: Наука, 1979.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF): 
Текст в формате PDF: