Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Online)
ISSN 2542-1905 (Print)


Образец для цитирования:

Кузнецов А. П., Савин А. В., Седова Ю. В. Бифуркация богданова–такенса: от непрерывной к дискретной модели //Известия вузов. ПНД. 2009. Т. 17, вып. 6. С. 139-158. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2009-17-6-139-158

Язык публикации: 
русский

Бифуркация богданова–такенса: от непрерывной к дискретной модели

Авторы: 
Кузнецов Александр Петрович, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского (СГУ)
Савин Алексей Владимирович, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского (СГУ)
Седова Юлия Викторовна, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А.Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Аннотация: 

Обсуждается методически важная бифуркация – Богданова–Такенса. Для простейшей модели описаны связанные с ней бифуркации и эволюция фазовых портретов. Представлены примеры нелинейных систем с такой бифуркацией. Обсуждается метод построения дискретных моделей, основанный на полуявной схеме Эйлера. На основе непрерывного прототипа построена дискретная модель осциллятора Богданова–Такенса, дан аналитический анализ ее бифуркаций коразмерности один и два. Методом карт динамических режимов выявлена картина языков синхронизации и продемонстрировано свойство скейлинга. Даны иллюстрации разрушения и исчезновения инвариантной кривой. Обсуждается еще одно отображение, удобное для учебных целей – отображение Богданова. Представлены некоторые Интернет-ресурсы, интересные с методической точки зрения.

Ключевые слова: 
DOI: 
10.18500/0869-6632-2009-17-6-139-158
Библиографический список: 

1. Ван Д., Ли Ч., Чоу Ш.-К. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. М.: МЦНМО, 2005. 416 c. 2. Kuznetsov Yuri A. Elements of applied bifurcation theory. New York: Springer, 1998. 593 p. 3. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Ижевск: РХД, 2002. 560 с. 4. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания. М.: Физ-матлит, 2002. 292 с. 5. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Физматлит, 1997. 496 с. 6. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. 360 с. 7. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 496 с. 8. Интернет-ресурс «Encyclopedia of dynamical systems», страница «FitzHugh–Nagumo model», http://www.scholarpedia.org/article/FitzHugh–Nagumo_model. 9. Barnes B., Grimshaw R. J. Analytical and numerical studies of the Bonhoeffer Van der Pol system // Austral. Math. Soc., Ser. B. 1997. Vol. 38. P. 427. 10. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 312 с. 11. Постнов Д.Э. Бифуркации регулярных аттракторов. Учебное пособие. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1996. 102 с. 12. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2006. 13. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1990. 240с. 14. Чириков Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности. Препринт ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск, 1969. 15. Сухаревский В.В. Перерассеяние частиц в поле сил ангармонического осциллятора со слабо-диссипативным возмущением. Автореф. дис... канд. физ.-мат.наук / МГУ, 2005. 16. Сухаревский В.В. Бистабильные состояния в отображении Богданова // Вестник МГУ, серия «Математика. Механика». 2003. No 5. С. 3. 17. Сухаревский В.В. Оценка температуры и плотности частиц в слабо-диссипативной теории Колмогорова–Арнольда–Мозера // Вестник МГУ, серия «Физика. Астрономия». 2005. No6. С. 28. 18. Морозов А. Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах // Серия современная математика. Москва – Ижевск: РХД, 2005. 424 с. 19. Arrowsmith D.K., Cartwright J.H.E., Lansbury A.N., Place C.M. The Bogdanov map: bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3, No 4. P. 803. 20. Богданов Р.И., Богданов Р.М. Турбулентность в слабо диссипативной версии КАМ // Тез. докл. Межд. Конф. «Анализ и особенности», посвященной 70-летию В.И. Арнольда. М.: МИАН, 2007. С. 35. 21. Gonchenko V.S., Kuznetsov Yu.A., Meijer H.G.E. Generalized Henon map and bifurcations of homoclinic tangencies // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2005. Vol. 4. P. 407. 22. Гонченко С.В., Стенькин Н.В., Шильников Л.П. О существовании счетного множества устойчивых и неустойчивых инвариантых торов у систем из областей Ньюхауса с гетероклиническими касаниями // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2, No 1. С. 3. 23. Гонченко С.В., Гонченко А.С. К вопросу о классификации линейных и нелинейных подков Смейла // Нелинейная динамика. 2007. Т. 3, No 4. С. 423. 24. Kuznetsov Yu.A., Meijer H.G.E., van Veen L. The fold-flip bifurcation // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2004. Vol. 14. P. 2253. 25. Гонченко С.В. Подковы Смейла и их бифуркации в обобщенных отображениях Эно // Тез. докл. Межд. Конф. «Анализ и особенности», посвященной 70-летию В.И. Арнольда. М.: МИАН, 2007. С. 43. 26. Meijer H.G.E. Codimension 2 bifurcations of iterated maps // Ph.D. Thesis Utrecht University. Интернет-ресурс: http://igitur-archive.library.uu.nl/dissertations/2006- 1204-200716/ind.... 27. Интернет-страница Yuri A. Kuznetsov: www.math.uu.nl/people/kuznet/ 28. Кузнецов А.П., Савин А.В. О возможности реализации квазипериодических режимов при переходе к неустойчивой по Лагранжу динамике // Письма в ЖТФ. 2006. Т. 32, вып. 21. С. 18. 29. Интернет-ресурс «Карты динамических режимов», http://sgtnd.narod.ru/science/atlas/rus/index.htm. 30. Интернет-ресурс «Карты ляпуновских показателей», http://sgtnd.narod.ru/chair/rus/index.htm.

Краткое содержание: 
Полный текст в формате PDF(Ru):