ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ДВУХ НЕЛИНЕЙНО СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

В работе исследовалась динамика двух упруго связанных между собой маятников одинаковой массы, находящихся под действием разных постоянно действующих внешних вращательных моментов. Исследование мотивировано многочисленными физическими и биологическими приложениями рассматриваемой модели. Такие системы входят в число базовых физических моделей и представляют широкий научный интерес. На сегодняшний день существует немало работ, изучающих маятниковые ансамбли более высокого порядка. Представляется важным подробно и полно изучить динамику системы двух маятников, нелинейно связанных друг с другом, как базу для понимания поведения более сложных ансамблей фазовых осцилляторов. При изучении динамики двух нелинейно связанных маятников наибольший интерес представляет рассмотрение режима синхронизации, являющегося одним из основных режимов, наблюдаемых при взаимодействии нескольких осцилляторов в природе. Также в работе описываются и другие режимы, характеризующие динамику системы. Цель исследования состоит в изучении динамики системы в зависимости от параметров. Рассмотрены периодический и квазипериодический режимы колебаний, синхронизация и режим отсутствия колебаний. В работе получены оригинальные результаты, касающиеся аналитической оценки границы области синхронизации в плоскости {d, α}, где d – сила связи между осцилляторами, а α – параметр синхронизации. Для получения вышеуказанной оценки были проведены элементы качественного анализа систем нелинейно связанных уравнений Адлера. Аналитическая оценка была подтверждена результатами прямого численного моделирования системы. В работе использовался метод Рунге–Кутты четвёртого порядка с контролем локальной погрешности. Были построены бифуркационные диаграммы в плоскости {γ1, γ2} для различных значений параметра связи. Исследовано влияние параметров системы на существующие в ней режимы.

DOI: 10.18500/0869-6632-2016-24-3-4-20

Ссылка на статью: Хрисанфова С.О., Кадина Е.Ю., Губина Е.В., Коган Л.В., Осипов Г.В. Динамика системы двух нелинейно связанных маятников // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, No 3. С. 4–20.

 

Скачать полную версию

 

Литература

1. Матросов В.В. Динамика двух фазоуправляемых генераторов с малоинерционными цепями управления, связанных через нелинейный элемент // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15, № 3. С. 15.
2. Bhansali P., Roychowdhury J. Gen-Adler: The generalized Adler’s equation for injection locking analysis in oscillators // Proceedings of the Design Automation Conference. 2009. P. 522–527.
3. Perlikowski P., Yanchuk S., Popovych O.V., Tass P.A. Periodic patterns in a ring of delay-coupled oscillators // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82, № 3. P. 036208. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.82.036208
4. Maistrenko Y., Penkovsky B., Rosenblum M. Solitary state at the edge of synchrony in ensembles with attractive and repulsive interactions // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 89, № 6. P. 060901. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.89.060901
5. Burylko O., Kazanovich Y., Borisyuk R. Bifurcation study of phase oscillator systems with attractive and repulsive interaction // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 90, № 2. P. 022911. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.90.022911
6. Xie J., Knobloch E., Kao Hsien-Ching. Multicluster and traveling chimera states in nonlocal phase-coupled oscillators // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 90, № 2. P. 022919. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.90.022919
7. Смирнов Л.А., Крюков А.К., Кадина Е.Ю., Губина Е.В., Осипов Г.В. Вращательная динамика системы из двух связанных маятников // Проблемы прочности и пластичности. 2015. Т. 77, № 4. С. 425.
8. Khibnik A.I., Braimanc Y., Kennedyd T.A.B., Wiesenfeldd K. Phase model analysis of two lasers with injected field // Physica D. 1998. Vol. 111, № 1–4. P. 295–310.
9. Guckenheimer J., Khibnik A. Torus maps from weak coupling of strong resonances /In book: «Methods of qualitative theory of differential equations and related topics» // American Mathematical Society. 2000. P. 205–218.
10. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Sciences / Series «The Cambridge nonlinear science series». Cambridge: Cambridge University Press, 2001. 411 p.
11. Braun O., Kivshar Yu.S. The Frenkel–Kontorova Model: Concepts, Methods and Applications. Berlin: Springer, 2004. P. 491.
12. Yakushevich L.V. Nonlinear Physics of DNA. Wiley-VCH, 2004. P. 207.
13. Leeman C., Lereh P., Racine G.A., Martinoli P. Vortex dynamics and phase transitions in a two-dimensional array of Josephson junctions // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56, № 12. P. 1291–1294.
14. Ryu S., Yu W., Stroud D. Dynamics of an underdamped Josephson-junction ladders// Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53, № 3. P. 2190–2195.
15. Kim B.J., Kim S., Lee S.J. Defect motions and smearing of Shapiro steps in Josephsonjunction ladders under magnetic frustration // Phys. Rev. B. 1995. Vol. 51, № 13. P. 8462–8466.
16. Kim J., Choe W.G., Kim S., Lee H.J. Dynamics of Josephson junction ladders //Phys. Rev. B. 1994. Vol. 49, № 1. P. 459-464.

17. Denniston C., Tang C. Phases of Josephson junction ladders // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75, № 21. P. 3930-3933.
18. Qjan M., Weng J.-Z. Transitions in two sinusoidally coupled Josephson junction rotators // Annals of Physics. 2008. Vol. 323. P. 1956–1962.
19. Fishman R.S., Stroud D. Role of long-range Coulomb interactions in granular super conductors // Phys. Rev. B. 1988. Vol. 38, № 1. P. 290-296.
20. Yakushevich L.V., Gapa S., Awrejcewicz J. Mechanical analog of the DNA base pair oscillations // Dynamical Systems. Theory and Applications. 2009. P. 879–886.
21. Якушевич Л.В. Биомеханика ДНК: Вращательные колебания оснований // Компъютерные исследования и моделирование. 2011. Т. 3, № 3. С. 319–328.
22. Аврейцевич Я., Млынарска С., Якушевич Л. О нелинейных колебаниях пар оснований ДНК // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77, № 4. P. 392–400.
23. Krueger A., Protozanova E., Frank-Kamenetskii M. Sequence-dependent basepair opening in DNA double helix // Biophys. J. 2006. Vol. 90. P. 3091–3099.
24. Takeno S., Peyrard M. Nonlinear modes in coupled rotator models // Physica D. 1996. Vol. 92. P. 140–163.
25. Zhang F. Kink shape modes and resonant dynamics in sine-lattices // Physica D. 1997. Vol. 110. P. 51–61.
26. Kosterlitz J.M., Thouless D.J. Ordering, metastability and phase transitions in twodimensional systems // J. Phys. C. Solid State Phys. 1973. Vol. 6. P. 181–1203.
27. Antoni M., Ruffo S. Clustering and relaxation in Hamiltonian long-range dynamics// Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52, № 3. P. 2361–2374.
28. Wang X.Y., Taylor P.L. Devil’s staircase, critical thickness, and propagating fingers in antiferroelectric liquid crystals // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76, № 4. P. 640–643.
29. Fillaux F., Carlile C.J. Inelastic-neutron-scattering study of methyl tunneling and the quantum sine-Gordon breather in isotopic mixtures of 4-methyl-pyridine at low temperature // Phys. Rev. B. 1990. Vol. 42, № 10. P. 5990–6006.
30. Zhang F., Collins M.A., Kivshar Yu.S. Kinks and conformational defects in nonlinear chains // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51, № 4. P. 3774.
31. Fillaux F., Carlile C.J., Kearley G.J. Inelastic-neutron-scattering study at low temperature of the quantum sine-Gordon breather in 4-methyl-pyridine with partially deuterated methyl groups // Phys. Rev. B. 1991. Vol. 44, № 22. P. 12280–12293.
32. Adler R. A study of locking phenomena in oscillators // Proceedings of the IRE. 1946. Vol. 34, № 6. P. 351–357.
33. Osipov G., Kurths J., Zhou Ch. Synchronization in Oscillatory Networks. Berlin: Springer, 2007.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF):