ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЛИЦАХ И СУДЬБАХ

Статья посвящена основам фрактальной геометрии и судьбам ее создателей. С возможной степенью детальности изложены биографии и открытия Феликса Хаусдорфа и Абрама Самойловича Безиковича – главных действующих лиц грандиозного спектакля под названием фрактальная геометрия. Несомненно, что автором, режиссером и постановщиком этого спектакля является Бенуа Мандельброт. В статье приводятся его биография и краткие описания жизни его гениальных предшественников – Анри Пуанкаре, Гастона Мориса Жюлиа и Пьера Жозе Гастона Фату. В частности, подробно описано открытие Пуанкаре гомоклинического пучка.

Изложена биография Льюиса Фрая Ричардсона, с посмертной публикации которого об измерении длины береговой линии Британии и начинается современная фрактальная геометрия. Кратко изложены результаты Ричардсона по теории турбулентности и возможные современные подходы к решению уравнения Навье–Стокса, на основе которых делается вывод, что турбулентность должна быть описана в рамках фрактальной геометрии.

Изложена эмпирическая теория Ричардсона применительно к измерению береговой линии. Приведено определение топологической размерности и дан вывод формулы размерности Хаусдорфа–Безиковича. Приведены два принадлежащих Мандельброту определения фракталов. В рамках этих определений проанализированы множество Кантора, триадная кривая Коха, салфетка и ковер Серпинского, губка Менгера, кривая Пеано, кривая Вейерштрасса.

Описано континуальное семейство размерностей Альфреда Реньи, частным случаем которых является размерность Хаусдорфа–Безиковича, и изложена биография ученого.

Дано описание линейных и нелинейных фракталов, основанное на лингвистической метафоре сравнения линейных фракталов с индоевропейскими языками, а нелинейных – с китайско-тибетскими. Качественно описаны основы нелинейного «диалекта», в котором выделяется квадратичный «диалект», созданный Жюлиа и Фату. Качественно описан механизм агрегации, ограниченной диффузией, которому соответствует модель фрактального роста.

Заканчивается статья биографией Жана Перрена и изложением его удивительного предвидения о практической ценности множеств, которые стали называться фракталами.

 

DOI: 10.18500/0869-6632-2016-24-6-4-38

 

Ссылка на статью: Трубецков Д.И., Трубецкова Е.Г. Фрактальная геометрия в лицах и судьбах // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, No 6. С. 4–38.

 

Скачать полную версию

Литература

1. Данилов Ю.А. Прекрасный мир науки. Сб. статей памяти Ю.А. Данилова /Подред. В.И. Санюка, Д.И. Трубецкова. М.: Прогресс-Традиция, 2008. 384 с.

2. Костицын В.Н. Ректоры Пермского университета. 1916–2006. 2 изд., перераб.и доп. Пермь: Пермский ун-т, 2006. С. 35–44.

3. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.

4. Мандельброт Б. Фракталы, случай и финансы. Москва; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 256 с.

5. Арт-фрактал. Сб. статей / Пер. с англ., фр. Е.В. Николаевой. СПб.: Страта, 2015. 156 с.

6. Lighthill J. The Recently Recognized Failure of Predictability in Newtonian Dynamics // Proceeding of the Royal Soсiety. 1986. P. 35–50.

7. Стюарт И. Величайшие математические задачи. М.: Альпина нон-фикшн, 2015. 460 с.

8. Richardson L.F. Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge University Press, 1922.

9. Рабинович М.И. Короткий рассказ о встречах с Михаилом Львовичем // Михаил Львович Левин. Жизнь, воспоминания, творчество: 2 изд., доп. Н. Новогород: ИПФ РАН, 1998. С. 36–44.

10. Chorin A. The Evolution of a Turbulent Vortex // Communication in Mathematical Physics. 1982. Vol. 83. P.517–535.

11. Chorin A. Numerical Estimates of Hausdorff Dimension // Journal of Computational Physics. 1982. Vol. 46. P. 1124–136.

12. Hentschel H.Y.E., Procaccia I. Intermittence Exponent in Fractally Homogeneous in Turbulent Diffusion // Physical Review Letters. 1982. 49. 1158–1161.

13. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.

14. Гринченко В.Т., Мацыпура В.Т., Снарский А.А. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. 264с.

15. Тарасенко В.Г. Фрактальная логика. М.: Прогресс-Традиция, 2002. 155 с.

16. Диаку Ф., Холмс Ф. Небесные встречи. Истоки хаоса и устойчивости. Москва- Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 304 с.

17. Реньи А. Трилогия о математике. Диалоги о математике. Письма о вероятности. Дневник. Записки студента по теории информации» М.: Мир, 1980. 376 с.

18. Юргенс Х., Пайтген Х.О., Заупе Д. Язык фракталов // В мире науки. 1990. No 10. С. 36–44.

19. Сандер Л.М. Фрактальный рост // В мире науки. 1987. No 3. С. 62–69.

20. Голдберг Э.Л., Ригни Д.Р., Уэст Б.Дж. Хаос и фракталы в физиологии человека //В мире науки. 1990. No 4. С. 25–32.

21. Perrin J. La discontinuite de la matiere // Revue du Moris. 1906. No 1. P. 323–344.

22. Perrin J. Les atomes. Paris: Alcan, 1913.

23. Perrin J. Mouvement brownien et realite moleculaire // Annales da Chemie et de physique. 1909. Vol. VIII. 18. P. 5–114.

24. Михаил Львович Левин. Жизнь, воспоминания, творчество. Изд. 2-е доп. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1998.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF):