ХАОС И НЕИНТЕГРИРУЕМОСТЬ В ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМАХ

Статья посвящена историческому развитию одного из ключевых понятий гамильтоновых систем – неинтегрируемости и ее связи с хаотическим поведением системы.

Рассмотрена эволюция от понятия полностью интегрируемой системы до понятия ча-

стично интегрируемой. Обсуждается связь неинтегрируемости с такими фундаменталь-

ными понятиями нелинейной динамики как колмогоровская устойчивость, системы с

разделенным фазовым пространством, диффузия Арнольда, паутина Заславского и др.

Ключевые слова: 
-
Литература

1. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // Успехи мат. наук. 1983. Т. 38, вып. 1. С. 3.

2. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985.

3. Козлов В.В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 1995.

4. Уинтнер А. А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967.

5. Молодший В.Н. О. Коши и революция в математическом анализе первой четверти XIX века // Истор.-матем. исслед. 1978. Вып. 23. С. 32.

6. Демидов С., Петрова С.С., Симонов Н.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Математика XIX в. М.: Наука, 1987. С. 80.

7. Liouville J. Remarques nouvelles sur l’equation de Riccati // J.Math. Pures et Appl. 1841. P. 1.

8. Bour J. Sur l’integration des equations differentielles de la M  ́ ecanique Analytic //  J.Math. Pure et Appl. 1855. Vol. 20. P. 185.

9. Liouville J. Note a l’occasiondumemoirepr ` ecidentdeM.EdmondBour// Ibid. P. 201.  ́

10. Аносов Д.В. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века // Студенческие чтения МК НМУ. Вып. 1. М.: МЦНМО, 2000. С. 74.

11. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

12. Poincare H.  ́ Sur le probleme des trois corps et les ` equations de la Dynamique //  Acta Math. 1890. Vol. 13. P. 1.

13. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики // Избр. труды: В 3 т. М.: Наука, 1971, т. 1; 1972, т. 2.

14. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: РХД, 1999.

15. Delauney C.E. Theorie du Mouvement de la Lune. Paris, 1860.

16. Staude O. Uber eine Gattung doppelt reel periodischer Funktionen zweier Varanderlicher // Math. Ann. 1887. Bol. 29. S. 468.

17. Stackel P.  ̈ Uber die integration der Hamilton-Jakobischen Differentialgleichung  mittels der Separation der Variabein. Habilationschrift, Halle, 1891.

18. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985.

19. Schwarzschild K. Zur Quantenhypotese // Berliner Berichte. 1916. S. 548.

20. Sommerfeld A. Atombau und Spektrallinien. Braunschweig: Vieweg, 1919; Рус. пер.: Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. М.-Л., 1926.

21. Арнольд В.И. Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики // Сиб. матем. журн. 1963. Т. 4, No 2. С. 471.

22. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

23. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995.

24. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968.

25. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. Т. 98, No 4. С. 527.

26. Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика // Межд. матем. конгресс в Амстердаме 1954. М.: Физматгиз, 1961. С. 187.

27. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, вып. 5. С. 13.

28. Moser J. On invariant curves of area-preserving mappings of an annuals // Nachr. Akad. Wiss., Gottingen, Math.-Phys. K1. IIa. 1962. No1. P. 1.  ̈

29. Чириков Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности. Докт. дисс. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1969.

30. Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Статистические свойства нелинейной струны // ДАН СССР. 1966. Т. 166, No 1. С. 57.

31. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, вып. 6. С. 91.

32. Fermi E. Beweis dass ein Mechnisches Normalsystem in Allgemeinen Quasiergodisch ist // Phys. Zs. 1923. Bol. 24. S. 261; Рус. пер.: Ферми Э. Научн. труды. Т. 1. М.: Наука, 1971. С. 115.

33. Зигель К. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959.

34. Джакалья Г. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979.

35. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. М.: ОНТИ, 1937.

36. Contopoulos G. On the existence of a third integral of motion // Astron. J. 1962. Vol. 67, No1. P. 1.

37. Contopoulos G. A classification of the integrals of motion // Astron. J. 1963. Vol. 138, No4. P. 1297-1.

38. Henon M., Heiles C. The applicability of the third integral of motion; some numerical experiments // Astron. J. 1964. Vol. 69, No1. P. 73.

39. ЛихтенбергА., ЛиберманМ.Регулярнаяистохастическая динамика.М.:Мир, 1984.

40. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.

41. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Studies in nonlinear problems // Los-Alamos report 1940. 1955; Рус. пер.: Ферми Э. Научн. труды. Т. 2. М.: Наука, 1972. С. 647.

42. Chaos. 2005. Vol. 15. 015101.

43. Солитоны. М.: Мир, 1983.

44. Израилев Ф.М., Хисамутдинов А.И., Чириков Б.В. Численные эксперименты с нелинейной цепочкой. Препринт 252. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1968. 38 с.

45. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. О пределах статистического описания нелинейного волнового поля // ЖЭТФ. 1967. Т. 52, вып. 4. С. 1081.

46. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы // ДАН СССР. 1964. Т. 156, No 1. С. 9.

47. Арнольд В.И. Проблема устойчивости и эргодические свойства классических динамических систем // Тр. Межд. конгресса математиков. Москва – 1966. М.: Мир, 1968. С. 387.

48. Нехорошев Н.Н. О поведении гамильтоновых систем, близких к интегрируемым // Функц. анализ и его приложения. 1971. Т. 5, вып. 4. С. 82.

49. Нехорошев Н.Н. Метод последовательных канонических замен переменных // МозерЮ.Лекцииогамильтоновыхсистемах.Добавление. М.: Мир, 1973. С. 150.

50. Гадияк Г.В., Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Предварительные численные эксперименты по диффузии Арнольда. Препринт 74-49. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1974. 24 с.

51. Гадияк Г.В., Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Численные эксперименты по универсальной неустойчивости в нелинейных колебательных системах (диффузия Арнольда) // VII. Int. Konf. uber nichtlineare Schwingungen. B. II, 1. Berlin: Akademie-Verlag, 1977. S. 315.

52. Chirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Rep. 1979. Vol. 52, No5. P. 263.

53. Лошак П. Каноническая теория возмущений: подход, основанный на совместных приближениях // Успехи мат. наук. 1992. Т. 47, вып. 6. С. 59.

54. Xia Z. Arnold diffusion in the elliptic restricted three-body problem // J.Dynamics and Diff. Equations. 1993. Vol. 5, No2. P. 219.

55. Xia Z. Arnold diffusion and oscillating solutions in the planar three-body problem // J.Diff. Equations. 1994. Vol. 110. P. 289.

56. Chierchia L., Gallavotti G. Drift and diffusion in phase space // Ann. de l’Institut Poincare, B. 1994. Vol. 60. P. 1.  ́

57. Алексеев В.М. Лекции по небесной механике. М.: УРСС, 1999.

58. Мельников В.К. Качественное описание сильного резонанса в нелинейной системе // ДАН СССР. 1963. Т. 148, No 6. С. 1257.

59. Мельников В.К. Устойчивость центра при периодических по времени возмущениях // Тр. Моск. мат. общества. 1963. Т. 12. С. 3.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF): 
Текст в формате PDF: