ИЗ ИСТОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Работа посвящена истории развития теории нелинейных интегральных уравнений, охватывая период до начала 1930-х годов. Анализируя особенности начального периода, авторы акцентируют внимание на том, что интегральные уравнения (в частности, нелинейные) представляют самостоятельный объект исследований со своими задачами, требующий своей системы определений и своего языка. В качестве отправной точки здесь были взяты работы А.М. Ляпунова и А. Пуанкаре по фигурам равновесия вращающихся жидкостей, в которых впервые появились нелинейные интегральные уравнения и зародились качественные методы их решения, а также возникло одно из ключевых понятий нелинейной динамики – понятие бифуркации. В этой связи внимание также уделяется результатам, полученным их последователями – Э. Шмидтом, Т. Лалеску и Г. Брату. Отмечается, что к концу 1920-х годов старая идейная основа, доминировавшая в математике XVIII–XIX веков, – «уравнение–решение» себя исчерпала; для дальнейшего развития требовались новые идеи и новые подходы. Авторы относят этот период к следующему этапу научной эволюции, когда для описания поведения нелинейных систем стали привлекаться топологические и функционально-аналитические методы и начала строиться последовательная дедуктивная теория, основанная на строгих определениях и общих конструкциях. В данном контексте анализируется вклад в развитие теории нелинейных интегральных уравнений европейских математиков – Л. Лихтенштейна и А. Гаммерштейна. Большое внимание, в свою очередь, уделяется работам отечественных математиков – П.С. Урысона и А.И. Некрасова с учётом прикладного характера их исследований. Оценивается влияние развития теории нелинейных интегральных уравнений на создание и становление функционального анализа.

 

DOI:10/18500/0869-6632-2016-24-2-77-114

 

Ссылка на статью: Богатов Е.М., Мухин Р.Р. Из истории нелинейных интегральных уравнений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, No 2. С. 77-114

 
Литература

1. Эйлер Л. Интегральное исчисление. Т. 2. Перевод и предисловие И.Б. Погребысского. М., ГИТТЛ, 1957.

2. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. Пер. с нем. под ред. А.П. Юшкевича. М.: Физматлит, 1960.

3. Симонов Н.И. Прикладные методы анализа у Эйлера. М.: Гостехиздат, 1957.

4. Abel N.H. Solution de quelques problemes ` a l’aide int ` egrales d  ́ efinies. In: Oeuvres  completes de Niels Henrik Abel 1. (Nouv. Ed.; Ed. L. Sylow-S. Lie) Grondahl &  ́Son, Christiania, 1881. P. 11–27.

5. Abel N.H. Resolution d’un probl  ́ eme de m ` echanique. In: Oeuvres compl ` etes de Niels  ́Henrik Abel 1. (Nouv. Ed.; Ed. L. Sylow-S. Lie) Grondahl & Son, Christiania, 1881. P. 97–101.

6. Bocher M. ˆ An Introduction to the Study of Integral Equations. Cambridge, The University Press, 1909.

7. Bateman H. Report on the history and present state of the theory of integral equations // British Assoc. for the Advancement of Sci. 1910. Vol. 80. P. 345–424.

8. Дорофеева А.В. Создание классической теории интегральных уравнений с симметрическим ядром. В сб. История и методология естественных наук. Математ. и механика. Вып. XVI. М.: МГУ, 1974. С. 63–78.

9. Александрова И.Л. Из истории теории интегральных уравнений. Дисс... кандидата физико-математических наук: 07.00.10. М., ИИЕТ РАН, 1992.

10. Du Bois-Reymond P. Bemerkungen uber  ̈ ∆z = 0 // J. de Crelle. 1888. Vol. 103. P. 204–229.

11. Volterra V. Sopra alcune questioni di inversione di integrali definiti // Ann. Mat. Pura Appl. 1897. Vol. 25. P. 139–178.

12. Volterra V. Sulla inversione degli integrali definiti // R.C. Accad. Lincei. 1896. Vol. 5. P. 177–185.

13. Volterra V. Sopra un problema di elettrostatica // Nuovo Cimento. 1884. Vol. XVI. P. 49–57.

14. Volterra V. Le ̧cons sur les equations int  ́ egrales et les  ́ equations int  ́ egro-diff  ́ erentielles.  ́ Paris, 1913.

15. Fredholm E.I. Sur une classe d’equations fonctionnelles // Acta Math. 1903. Vol. 27.  ́ P. 365–390.

16. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen.  Leipzig: Verlag und Druck von B.G. Teubner, 1912.

17. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil: Entwicklung willkurlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener // Math.  Ann. 1907. Vol. 63. P. 433–476.

18. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. II Teil: Auflosung der allgemeinen linearen Integralgleichung // Math. Ann. 1907. Vol. 64.  ̈ P. 161–174.

19. Schmidt E. Uber die Aufl  ̈ osung linearer Gleichungen mitunendlich vielen Unbekannten // Rend. Circ. Mat. Palermo. Ser. 1. 1908. Vol. 25. P. 53–77.

20. Dieudonne J. History of functional analysis. Amsterdam: North-Holland publishing company, 1981.

21. Monna A.F. Functional Analysis in Historical Perspective. New York: Halstead Press, Wiley, 1973.

22. Молодший В.Н. О. Коши и революция в математическом анализе первой четверти XIX века // ИМИ. 1978. Вып. 23. С. 32–55.

23. Люстерник Л.А. Молодость Московской математической школы // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 1, No 133. C. 137–161.

24. Мухин Р.Р. Хаос и неинтегрируемость в гамильтоновых системах // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. Vol. 14, No 1. С. 3–24.

25. Люстерник Л.А. Молодость Московской математической школы // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 4, No 136. С. 147–185.

26. Bernkopf M. The development of function spaces with particular reference to their origins in integral equation theory // Arch. Hist. Ex. Sсi. 1966. Vol. 3. P. 1–96.

27. Birkhoff G.& Kreyszig E. The establishment of functional analysis // Historia Math. 1984. Vol. 11. P. 258–321.

28. Lindstrom J.  ̈ On the origin and early history of functional analysis. UUDM project Report 2008:1, Uppsala University, 2008.

29. Bourbaki N. Elements d’histoire des mathematiques. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York. 2007.

30. Weyl H. David Hilbert and his mathematical work // Bull. Amer. Math. Soc. 1944. Vol. 50, No 9. P. 612–654.

31. Рид К. Гильберт. М.: Наука, 1977.

32. Klein F. Elementarmathematik vom hoheren Standpunkte aus. Teil I. Arithmetik. Algebra. Analysis. Vierte Auflage. Springer, Berlin, 1913.

33. Гильберт Д. Общая теория интегральных уравнений. Д. Гильберт. Избранные труды: в 2 т. Под ред. А. Н. Паршина. Т. 2: Анализ. Физика. Проблемы Гильберта. М.: Факториал, 1998. С. 68–366.

34. Медведев Ф.А. Очерки истории теории функций действительного переменного. 2-е изд. М.: УРСС, 2006.

35. Riesz F. Uber orthogonal Functionensysteme // Ouevres compl  ̈ etes. 1960. Vol. 1. Budapest. P. 385–395.

36. Riesz F. Sur les systeme orthogonaux de fonctions // C.R. Acad. Sci. 1907. Vol. 144. P. 615–619.

37. Fisher E. Sur la convergence en moyenne // C.R. Acad. Sci. 1907. Vol. 144. P. 1022–1024.

38. Riesz F. Les systemes d’ ` equations lin  ́ eaires  ́ a une infinit ` e d’inconnues. Paris, Gauthier-Villar, 1913.

39. Riesz F. Uber lineare Funktionalgleichungen // Acta Math. 1918. Vol. 41. P. 71–98.  ̈

40. Гильберт Д. Сущность и цели анализа бесконечно многих переменных / Д. Гильберт. Избранные труды: в 2-х т. Под ред. А. Н. Паршина. Т. 2: Анализ. Физика. Проблемы Гильберта. М.: Факториал, 1998. С. 35–49.

41. Вейль Г. Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания математики. Математический способ мышления. М.: Наука, 1989. С. 24–41.

42. Тихомиров В.М. Замечания к работе «Сущность и цели анализа бесконечно многих переменных» / Д. Гильберт. Избранные труды: в 2-х т. Под ред. А.Н. Паршина. Т. 2: Анализ. Физика. Проблемы Гильберта. М.: Факториал, 1998. С. 35–49.

43. Hilbert D. Uber das Unendliche // Math. Ann. 1926. Vol. 95. P. 161–190.  ̈

44. Воронцов-Вельяминов Б.А. Лаплас. 2-е изд., испр. и перераб. М.: Наука, 1985.

45. Мухин Р.Р. Очерки по истории динамического хаоса (исследования в СССР в 1950–1980-е годы). 2-е издание. М.: УРСС, 2012.

46. Ляпунов А.М. О форме небесных тел. Избранные труды. Под ред. В.И. Смирнова. Л.: Изд-во Академии наук СССР, 1948. C. 303–322.

47. Ляпунов А.М. Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости. СПб., Издание Академии наук, 1884.

48. Юшкевич А.П. А.М. Ляпунов и Академия наук Института Франции (по неопубликованным архивным документам) // ИМИ. 1965. Vol. XVI. P. 375–388.

49. Смирнов В.И., Юшкевич А.П. Переписка А.М. Ляпунова с А. Пуанкаре и П. Дюэмом. Т. XXIX. 1985. C. 265–284.

50. Liapounoff A.M. Sur la stabilite des figures ellipsoпdales d’  ́ equilibre d’un liquide  anime d’un mouvement de rotation // Ann. Facult  ́ e Sci. Univ. Toulouse, 2 ser. 1904.  Vol. 6. P. 5–116.

51. Ляпунов А.М. Об одной задаче Чебышёва // Записки Академии наук по физ.-мат. отд. 8 сер. 1905. Т. 17, No 3. С. 1–32.

52. Liapunoff A.M. Sur les figures d’ equilibre peu diff  ́ erentes des ellipsoides d’une  ́masse liquide, homogene, dou ` ee d’un mouvement de rotation. I partie. Etude g  ́ en ́ erale  ́du probleme. St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., 1906. `

53. Liapunoff A.M. Sur les figures d’ equilibre peu diff  ́ erentes des ellipsoides d’une  ́masse liquide, homogene, dou ` ee d’un mouvement de rotation. II partie. Figures  ́ d’equilibre d  ́ eriv  ́ ees des ellipsoides de Maclaurin. St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des  ́Sc., 1909.

54. Liapunoff A.M. Sur les figures d’ equilibre peu diff  ́ erentes des ellipsoides d’une  ́masse liquide, homogene, dou ` ee d’un mouvement de rotation. III partie. Figures  ́d’equilibre d  ́ eriv  ́ ees des ellipsoides de Jacobi. St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc.,  ́1912.

55. Liapunoff A.M. Sur les figures d’ equilibre peu diff  ́ erentes des ellipsoides d’une  masse liquide, homogene, dou ` ee d’un mouvement de rotation. IV partie. Nouvelles  formules pour la recherches des figures d’equilibre. St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des  ́ Sc., 1914.

56. Liapunoff A.M. Recherches dans la theorie de la figures des corps c  ́ elestes // Memoires de l’Academie Imperiale des Sciences de St. Petersburg. 8-me Serie. 1903. Vol. 14, No 7. P. 1–37.

57. Пуанкаре А. О кривых определяемых дифференциальными уравнениями. Пер. с франц. С примечаниями А.А. Андронова и с дополнениями Е. Леонтович, А. Майер, В. Степанова, И. Петровского и Ю. Рожанской. М., ГИТТЛ, 1947.

58. Kovalevskaya S. Zusaetze und Bemerkungen zu Laplace’s Untersuchungen ueber die Gestalt der Saturnringe // Astronom. Nachr. 1885. Vol. 111. P. 37–48.

59. Аппель П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. Пер. с фр. под ред. и с доп. Н.И. Идельсона. М.-Л.: ОНТИ, 1936.

60. Poincare Н.  ́ Sur l’equilibre d’une masse fluide anim  ́ ee d’un mouvement de rotation  // C.R. Acad. Sci. 1885. Vol. 100. P. 346–348.

61. Poincare Н.  ́ Note sur la stabilite de l’anneau de Saturne // Bull. astronom. 1885.  Vol. 2. P. 507–508.

62. Poincare Н.  ́ Sur l’equilibre d’une masse fluide anim  ́ ee d’un mouvement de rotation  // Acta Math. 1885. Vol. 7, No 1. P. 259–380.

63. Poincare Н.  ́ Sur la stabilite de l’  ́ equilibre des figures piriformes affect  ́ ees par une  masse // Proc. Roy. Soc. 1901. Vol. 69. P. 148–149; Philos. Trans. A. 1902. Vol. 198. P. 333–373; 1902. Vol. 200. P. 67.

64. Jeans J.H. The motion of tidally distorted masses // Memories of the Roy. Astr. Soc. 1917. Vol. LXII.

65. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. III Teil. Uber die Aufl  ̈ osing der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrer  Losungen // Math. Ann. 1908. Vol. 65. P. 370–399.  ̈

66. Fredholm Hilbert Schmidt. Three Fundamental Papers on. Integral Equations. Translated with commentary by. G.W. Stewart, 2011. Available at www.umiacs.umd.edu/ stewart/FHS.pdf (accessed 19.10.15).

67. Хведелидзе Б.В. Уравнение Ляпунова–Шмидта. Матем. энциклопедия. Т. 3. М.: Советская энциклопедия, 1982. С. 473–474.

68. Picard E. Sur une equation fonctionnelle // C.R. Acad. Sci. 1904. Vol. 139.  P. 245–248.

69. Picard E. Sur une equation fonclionnelle se pr  ́ esentant dans la th  ́ eorie de certaines  equation aux d  ́ eriv  ́ ees partielles // C.R. Acad. Sci. 1907. Vol. 5. P. 1009–1012.  ́

70. Picard E. Traite d’Analyse. T. III. Gauthier-Villars. Paris, 1905.  ́

71. Davis H.T. Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations. Dover, New York, 1962.

72. Lalescu’ T. Sur l’equation de Volterra // J. de Math., ser. 6. 1908. Vol. 4. P. 125–202.  ́

73. Bratu G. Sur certaines equations int  ́ egrales non lin  ́ eaires // C.R. Acad. Sci. Paris.  1910. Vol. 150. P. 896–899.

74. Bratu G. Sur les equations int  ́ egrales non lin  ́ eaires // Bulletin de la S. M. F. 1914.  Vol. 42. P. 113–142.

75. Урысон П.C. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений // Матем. сб. 1923. Т. 31. Вып. 2. С. 236–255.

76. Александров П.С. О моём друге. Нейман Л.С. Радость открытия. М.: Детская литература, 1972. С. 135–149.

77. Нейман Л.С. Радость открытия (математик Павел Урысон). М.: Детская литература, 1972.

78. Математика: Наука в СССР за пятнадцать лет (1917–1932). М.-Л.: ГТТИ, 1932.

79. Урысон П.С. Труды по топологии и другим областям математики. Прим. и ступит. статья П.С. Александрова. Т. 1–2. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.

80. Архангельский А.В., Тихомиров В.М. Павел Самуилович Урысон (1898–1924) // УМН. 1998. Т. 53. Вып. 5, No 323. С. 5–26.

81. Колмогоров А.Н. Научный руководитель. Нейман Л.С. Радость открытия. М.: Детская литература, 1972. C. 160–164.

82. Некрасов А.И. О волнах установившегося вида // Изв. Иваново-Вознесен. политехн. ин-та. 1921. Т. 3. C. 52–65.

83. Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1951.

84. Некрасов А.И. О волнах установившегося вида, гл.2. О нелинейных интегральных уравнениях // Изв. Иваново-Вознесен. политехн. ин-та. 1922. Vol. 6. P. 155–171.

85. Лапко А.Ф., Люстерник Л.А. Из истории советской математики // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 6, No 138. С. 13–140.

86. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие // УМН. 1962. Т. 17. Выл. 2, No 104. С. 13–75.

87. Секерж-Зенькович Я.И. Александр Иванович Некрасов (к семидесятипятилетию со дня рождения) // УМН. 1960. Т. 15. Вып. 1, No 91. C. 153–162.

88. Вайнберг М.М., Айзенгендлер П.Г. Методы исследования в теории разветвления решений. Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. ВИНИТИ. М., 1966, C. 7–69.

89. Люстерник Л.А. Молодость Московской математической школы // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 2, No 134. C. 199–239.

90. Liapunoff A.M. Sur certaines series de figures d’  ́ equilibre d’un liquide h  ́ et ́ erog  ́ ene ` en rotation. Partie 1-re. Leningrad, 1925.

91. Liapunoff A.M. Sur certaines series de figures d’  ́ equilibre d’un liquide h  ́ et ́ erog  ́ ene `en rotation. Partie 2-me. Leningrad, 1927.

92. Lichtenstein L. Vorlesungen Uber einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen  und Integro-Differentialgleichungen nebst Anwendungen. Berlin: Julius Springer, 1931.

93. Смирнов Н.С. Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений. Л.-М.: ОНТИ, 1936.

94. Hammerstein A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen // Acta Math. 1930. Vol. 54. P. 117–176.

95. Golomb M. Review of the article «Hammerstein, A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen». Jahrbuch Database. URL: http://www.zentralblatt-math.org/jahrbuch/?id=66165&type=pdf (accessed: 19.10.15)

96. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М.: Наука, 1975.

97. Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux  equations int  ́ egrales // Fund. Math. 1923. Vol. 3. P. 133–181.  ́

98. Hahn H. Uber lineare Gleichungssysteme in linearen R  ̈ aumen // J. Reine Angew.  Math. 1927. Vol. 157. P. 214–229.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF):