КЛАССИЧЕСКИЕ ДВУМЕРНЫЕ МОДЕЛИ КУЧИ ПЕСКА

 

Работа посвящена изучению моделей кучи песка – открытых нелинейных систем, демонстрирующих возникновение лавинообразного развивающегося отклика на единичное возмущение устойчивого состояния. Подробно рассмотрены пять наиболее известных вариантов правил в двумерной постановке – модели Дхара–Рамасвами, Пастор-Саторраса–Веспиньяни, Федеров, Манны и Бака–Танга–Визенфельда.

Для первых четырех моделей были известны аналитические решения, полученные различными способами, а для пятой – причины, препятствовавшие построению решения. Обобщение этих результатов позволяет выработать единый подход к теоретическому исследованию самоорганизованно-критических явлений.

Самоорганизация в критическое состояние приводит к возникновению масштабно-инвариантных свойств, статистическое описание которых в общем случае не может быть дано на основе правил изучаемых моделей. Между локальным поведением их элементов на микроуровне и целостным поведением всей системы на макроуровне посредничают модели промежуточного уровня. Их правила не выводятся из правил исходных моделей, а формулируются на основе физической интуиции, результатов компьютерного эксперимента и общих представлений о динамических процессах, удерживающих систему вблизи критической точки. На промежуточном уровне коллективная динамика всех рассмотренных моделей сведена к привычным для математической физики процессам, в первую очередь – к несимметричному случайному блужданию. На этой основе предложены сходные методики решения моделей, причем модель БТВ решена впервые.

Для рассматриваемых моделей аналитически определены все критические индексы, на основе чего проанализировано влияние особенностей правил моделей на их общие свойства.

Важнейшей деталью правил является их стохастичность или детерминированность. Первая увеличивает количество характеристик лавины, различающихся по свойствам, а вторая помогает крупным лавинам помещаться в систему конечного размера и приводит к возникновению у системы как у целого динамических симметрий, отсутствующих на уровне правил поведения ее отдельных элементов.

 

DOI: 10.18500/0869-6632-2016-24-4-39-70

 

Ссылка на статью: Подлазов А.В. Классические двумерные модели кучи песка // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, No 4. С. 39–70.

 
Литература

1. Бак П. Как работает природа: Теория самоорганизованной критичности / Пер. с англ. Изд.стереотип. / Синергетика: от прошлого к будущему. No 66. М.: URSS, 2015. 276 с.

2. Dhar D., Ramaswamy R. Exactly solved model of self-organized critical phenomena // Phys. Rev. Lett. 1989. Vol. 63, N16. Pp. 1659–1662.

3. Pastor-Satorras R., Vespignani A. Universality classes in directed sandpile models // J. Phys. A. 2000. Vol. 33, N3. Pp. L33–L39.

4. Feder H.J.S., Feder J. Self-organized criticality in a stick-slip process // Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 66, N20. Pp. 2669–2672.

5. Manna S.S. Two-state model of self-organized criticality // J. Phys. A. 1991. Vol. 24, N7. Pp. L363–L639.

6. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality: An explanation of 1/f-noise // Phys. Rev. Lett. 1987. Vol. 59, N4. Pp. 381–384.

7. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality // Phys. Rev. A. 1988. Vol. 38, N1. Pp. 364–374.

8. Dhar D., Pruessner G., Expert P., Christensen K., Zachariou N. Directed Abelian sandpile with multiple downward neighbors // Phys. Rev. E. 2016. Vol. 93. 042107.

9. Paczuski M., Bassler K.E. Theoretical results for sandpile models of SOC with multiple topplings // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62, Iss. 4. Pp. 5347–5352.

10. Kloster M., Maslov S., Tang C. Exact solution of stochastic directed sandpile model// Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63. 026111.

11. Hu C.K., Ivashkevich E.V., Lin C.Y., Priezzhev V.B. Inversion symmetry and exact critical exponents of dissipating waves in the sandpile model // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85, N19. Pp. 4048–4051.

12. Ktitarev D.V., L  ̈ubeck S., Grassberger P., Priezzhev V.B. Scaling of waves in the Bak–Tang–Wiesenfeld sandpile model // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61, N1. Pp. 81–92.

13. Hughes D., Paczuski M. Large scale structures, symmetry, and universality in sandpiles // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88. 054302.

14. Подлазов А.В. Двумерные самоорганизованно-критические модели типа кучи песка с анизотропной динамикой распространения активности// Изв. вузов. ПНД. 2012. Т. 20, N6. С. 25–46.

15. Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Сравнение двумерных изотропных консервативных самоорганизованно-критических моделей типа кучи песка // Инженерный журнал: Наука и инновации. 2012. T. 4, No 4. 167.

16. Подлазов А.В. Решение двумерной самоорганизованно-критической модели Манны // Изв. вузов. ПНД. 2013. Т. 21, No 6. С. 69–87.

17. Подлазов А.В. Двумерная самоорганизованно-критическая модель Манны для песчаных сред // Мат. модел. и числ. мет. 2014, No 3(3). С. 89–110.

18. Ivashkevich E.V., Ktitarev D.V., Priezzhev V.B. Critical exponents for boundary avalanches in a 2D Abelian sandpile // J. Phys. A: Math. Gen. 1994. Vol. 27, N16. Pp. L585–L590.

19. Dhar D., Manna S.S. Inverse avalanches in the Abelian sandpile model // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49, N4. Pp. 2684–2687.

20. Ivashkevich E.V., Ktitarev D.V., Priezzhev V.B. Waves of topplings in an Abelian sandpile // Physica A. 1994. Vol. 209, N3–4. Pp. 347–360.

21. Paczuski M., Boettcher S. Avalanches and waves in the Abelian sandpile model // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 56, N4. Pp. R3745–R3748.

22. Priezzhev V.B., Ktitarev D.V., Ivashkevich E.V. Formation of avalanches and critical exponents in Abelian sandpile model // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76, N12. Pp. 2093–2096.

23. Majumdar S.N., Dhar D. Equivalence between the Abelian sandpile model and the q → 0 limit of the Potts model // Physica A. 1992. Vol. 185, N1–4. Pp. 129–145.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF):