КРИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА ОДНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ. Часть 1. Сценарий Фейгенбаума

В обзорном плане излагаются основные рузультаты, характеризу­ющие сценарий перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в контексте теории критических явлений. Даны компьютерные иллюстрации скейлинга. Представлены приближенный ренормгрупповой анализ, позволяющий построить процедуру ренормпреобразования в явной форме, и примеры нелинейных систем, демонстрирующих обсуждаемый тип критического поведения.

Ключевые слова: 
-
Литература
  1. Myrberg P.J. Iteration der reelen polynome zweiten grades//Ann.Acad.Sci. Fenn. Ser. A. 1963. Vol.336. P.1.
  2. Шарковский А.М. Сосуществование циклов непрерывного преобразова­ния прямой в прямую//Укр. мат. журн. 1964. Т.26. N 1. С.61.
  3. Metropolis N, Stein P.R., Stein ML. Finite limit sets for transformations of the unit interval//J.Comb. Theory. 1973. Vol.15. P.25.
  4. May R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics// Nature. 1976. Vol.261. P.459.
  5. Афраймович В.С., Шильников Л.П. О некоторых глобальных бифуркациях, связанных с исчезновением неподвижных точек седлоузел//Докл. АН СССР. 1974. Т.219. N3. С.1281.
  6. Pomeau Y, Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems//Commun. Math. Phys. 1980. Vol.74. P.189.
  7. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференци­альных уравнений. М.: Наука, 1978.
  8. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence//Commun. Math. Phys. 1971. Vol.20. P.167.
  9. Shenker S.J. Scaling behavior in a map of a circle onto itself: Empirical results //Physica. 1982. Vol.D5. P.405.
  10. Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transfor­mations//J. Stat. Phys. 1978. Vol:19, N 1. P.25.
  11. Feigenbaum M.J. The universal metric properties of nonlinear transformations //J. Stat. Phys. 1979. Vol.21, N 6. P..669.
  12. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем// УФН. 1983. Т.141, N 2. С.343.
  13. HirshJ.E., Nauenberg M., Scalapino D.J. Intermittency in the presence of noice: a renormalization group formulation/Phys. Lett. 1982. Vol.A87. P.391.
  14. Hu B., Rudnik J. Exact solution to the Feigenbaum renormalization-group equations for intermittency//Phys. Rev. Lett. 1982. Vol.48. P.1645.
  15. Ostlund S., Rand D., Sethna J., Siggia E. Universal properties of the transition from quasi-periodicity to chaos in dissipative systems// Physica. 1983. Vol.D8. P.303.
  16. Feigenbaum M.J., Kadanoff L.P., Shenker S.J. Quasiperiodicity in dissipative systems: Renormalization group analysis//Physica. 1982. Vo1.5D. P.370.
  17. HuB. Introduction to real-space renormalization-group methods in critical and chaotic phenomena//Phys. Rep. 1982. Vol.91, N.5. P.233.
  18. Aranson LS., Gaponov-Grekhov A. V., Rabinovich M.I. The onset and spatial development of turbulence in flow systems//Physica. 1988. Vol.D33. P.1.
  19. Chang S.J., Wortis M, Wright J.A. Iterative properties of a one-dimensional quartic map. Critical lines and tricritical behavior//Phys. Rev. 1981. Vol.A24, N5. P.2669.
  20. 3акс М.А., Любимов Д.В., Пиковский А.С. Универсальные сценарии перехода к хаосу через гомоклинические бифуркации. Препринт ин-та механики сплошных сред УО АН СССР. 1987. 70 с.
  21. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм//УМН. 1984. Т.39, N Э. С.З.
  22. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990.
  23. Берже П., Помо И., Видаль К Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.
  24. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.
  25. Jakobson M. V. Absolutely continuous measures for oneparameter families of one-dimensional maps//Commun. Math. Phys. 1981. Vol.81, N 1. P.39.
  26. Шарковский А.Н., Май стренко Ю.А., Романенко Ю.Е. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1986.
  27. Huberman B., ZisookA. Power spectra of strange attractors//Phys. Rev. Lett. 1981. Vo1.26. P.626.
  28. Nauenberg M., RudnikJ. Universality and the power spectrum at the onset of chaos//Phys. Rev. 1981. Vol.B24. P.493.
  29. Halsey TS., Jensen M.H., Kadanoff L.P., Procaccia I., Shraiman B.I. Fractal measures and their singularities//Phys. Rev. 1986. Vol.A33. P.1141.
  30. GrassbergerP., Procaccial. Characterization of strange attractors//Phys. Rev. Lett. 1983. Vol.50, N 5. P.346.
  31. Lanford O.E. III. A computer assisted proof of the Feigenbaum conjectures //Bull. Amer. Math. Soc. 1982. Vol.6, N 3. P.427.
  32. Franceschini V. Feigenbaum seqence of bifurcations in the Lorenz model//J. Stat. Phys. 1980. Vol.22. P.397.
  33. Kai T. Universality of power spectrum of a dinamical system with an infinite sequence of period doubling bifurcations//Phys. Lett. 1981. Vol.A86, N 5. P.263.
  34. TestaJ., Pere J.,Jeffries C. Evidence for universal chaotic behavior of a driven nonlinear oscillator//Phys. Rev. Lett. 1982. Vol.48, N 11. P.714.
  35. Yen WJ., Kao Y.H. Universal scaling and chaotic behavior of a Josephson-junction analog//Phys. Rev. Lett. 1982. Vol.49, N 26. P.1888.
  36. Анищенко В.С., Астахов В.'В., Летчфорд Т.Е., Сафонова М.А. О бифурка­циях в трехмерной двухпараметрической автоколебательной системе со стран­ным аттрактором//Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1983. Т.26, N 2, С.169.
  37. LibhaberA., Fauve S., Laroche C. Two-parameter study of the routes to chaos //Physica. 1983. Vol.ZD. P.73.
  38. Xiao-lan Chen, You-gin Wan& Shi-gang Chen. Period-doubling bifurcations and chaotic behavior in nonequilibrium superconductivity film//Solid State Commun. 1984. Vol.25, N 1. P.1.
  39. Астахов В.В.,Безручко Б. П.,Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии//Радио­техника и электроника. 1987. Т.32, N 12. С.2558.
  40. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow//J. Atmos. Sci. 1963. Vol.20, N 2. P.130.
  41. Ikeda K, Daido H., Akimoto 0. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity//Phys. Rev. Lett. 1980. Vol.45. P.709.
  42. Carmichael H., Snapp R., Schieve W. Oscillatory instabilities leading to "optical turbulence" in a bistable ring cavity//Phys. Rev. 1982. Vol.26. P.3408.
  43. Кузнецов С.П., Ерастова Е.Н. Теория Фейгенбаума//Лекцин по электро­нике СВЧ и радиофизике. Саратов, Изд-во Сарат. унта, 1983. Кн.2. С.3.
  44. Collet P., Eckmann J.P., Koch H. Period doubling bifurcations for families of maps on R" //J.stat. Phys. 1980. Vol.25, N 1. P.1.
  45. Crawford D., Omohundro S. On the global structure of period doubling flows //Physica. 1984. Vo1.13D. P.161.
  46. Кузнецов А.Л., Кузнецов С.П. Критическая динамика решеток связанных отображений: Обзор//Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1991. Т.34, N 10.С.1021.

  47. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Воздействие фрактального сигнала на систему Фейгенбаума и бифуркация в уравненин ренормгруппы// Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 1991. Т.34, N 6. С.661.
  48. KuznetsovA.P., Kuznetsov S.P., Sataev LR. Period-doubling system under fractal signal. Bifurcation in the renormalization group equation//Chaos, Solitons&Fractals. 1991. Vol.1, N 4. P.355.
  49. Chang S.J., Fendley P.R. Scaling and universal behavior on the bifurcation attractor//Phys. Rev. 1986. Vol.A33, N 6. P.4092.
  50. Чириков Б.В., Шепелянский Д. Л. Граница  хаоса и статистические аномалии. Препринт 8б-174. Саратовский филиал Новосиб. ин-та ядерной физики СО АН СССР, 1986. 30 с.
Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF): 
Текст в формате PDF: