КВАНТОВЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР МАТЬЁ С КУБИЧЕСКОЙ СИЛОЙ, ТРЕНИЕМ И ШУМОМ

Предложено обобщение на квантовую область движения классического дифференциального уравнение Матьё с кубической нелинейностью, диссипативным и ланжевеновским слагаемыми. Проблема перехода от классического поведения к квантовому имеет не только фундаментальное, но и прикладное значение. В качестве примера можно отметить осцилляторную динамику материальных объектов с малой массой при понижении температуры. Уравнение, описывающее квантовый осциллятор Матьё, представляет собой уравнение Шрёдингера–Ланжевена–Костина с потенциалом четвёртой степени, логарифмическим диссипативным и ланжевеновским слагаемыми. Численное интегрирование этого уравнения проведено при заданных начальном и граничных условиях с использованием конечно-разностного итерационного метода. Впервые в рамках предложенной модели детально анализируется временная эволюция динамических средних для координаты и скорости, стандартных отклонений и частотных спектров при разных условиях и параметрах системы. При слабом параметрическом воздействии колебания квантового осциллятора Матьё содержат одну или две спектральные компоненты на частотах перехода между соседними состояниями и на комбинационных частотах, обусловленных состояниями Флоке. Если амплитуда параметрического воздействия возрастает, то число спектральных компонент также увеличивается. Трение ведёт к затуханию колебаний. Многочастотный режим квантового осциллятора Матьё возникает, если амплитуда параметрического воздействия равна или превышает единицу, при этом параметрическая частота рационально не связана с частотами спектра. Разности частот соседних спектральных компонент могут равняться одной из двух частот спектра, либо их удвоенной сумме. Гауссов белый шум изменяет картину реализаций: при малом коэффициенте трения и умеренной интенсивности шума спектральные компоненты на комбинационных частотах становятся неразличимыми, остаётся заметной только одна компонента на частоте перехода из основного состояния в возбуждённое. Таким образом, проведённые исследования показывают существенную зависимость режима колебаний от параметров модели. Увеличение амплитуды внешнего воздействия приводит к усложнению спектров.

 

DOI:10.18500/0869-6632-2016-24-3-54-67

 

Ссылка на статью: Санин А.Л., Смирновский А.А. Квантовый осциллятор Матьё с кубической силой, трением и шумом // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24, No 3. С. 54–67.

 
Литература

1. Katz I., Retzker A., Straub R., Lifshitz R. Signatures for a classical to quantum transition of a driven nanomechanical resonator // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99. P. 040404.

2. Katz I., Lifshitz R., Retzker A., Straub R. Classical to quantum transition of a driven nonlinear nanomechanical resonator // New J.Phys. 2008. Vol. 10. P. 125023.

3. Bartuccelli M.V., Berretti A., Deane J.H.B, Gentile G., Gourley S.A. Selection rules for periodic orbits and scaling laws for a driven damped quartic oscillator // Nonlinear analysis: Real world applications. Elsevier, 2008. Vol. 9. P. 1966.

4. Kostin M.D. On the Schrodinger–Langevin equation // J. Chem. Phys. 1972. Vol. 57,  No 9. P. 3589.

5. Kostin M.D. Friction in dissipative phenomena in quantum mechanics // J. St. Phys. 1975. Vol. 12, No 2. P. 145–151.

6. Doebner H.-D., Goldin G.A., Nattermann P. Gauge transformation in quantum mechanics and the unification of nonlinear Schrodinger equations // J. Math. Phys.  ̈1999. Vol. 40, No 1. P. 49–63.

7. Van P., F  ́ ul ̈ op T.  ̈ Stability of stationary solutions of the Schrodinger–Langevin equation // Phys. Lett. A. 2004. Vol. 323. P. 374–381.

8. Sanin A.L., Smirnovsky A.A. Oscillatory motion in confined potential systems with dissipation in the context of the Schrodinger–Langevin–Kostin equation // Phys.Lett. A. 2007. Vol. 372, No. 1. P. 21–27.

9. Санин А.Л., Смирновский А.А. Физика. Квантовая динамика. Санкт-Петербург: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. 280 с.

10. de Falco D., Tamascelli D. Quantum annealing and the Schrodinger–Langevin–Kostin equation // J. Phys. Rev. A. 2009. Vol. 79. P. 012315.

11. Санин А.Л., Смирновский А.А. Квантовый ангармонический осциллятор с одночленным потенциалом, трением и внешним воздействием // Изв. вузов. ПНД. 2014. Т. 22, No 2. С. 103.

12. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.

13. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991. 368 с.

14. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Физика квазипериодических колебаний. Саратов: ИЦ «Наука», 2013. 252 с.

15. Анищенко В.С., Николаев С.М. Синхронизация квазипериодических колебаний с двумя частотами // Изв. вузов. ПНД. 2008. Т. 16, No 2. С. 87.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF):