МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ, МАЯТНИК С ВИБРИРУЮЩИМ ПОДВЕСОМ: Н. Н. БОГОЛЮБОВ, А. СТЕФЕНСОН, П. Л. КАПИЦА И ДРУГИЕ


Образец для цитирования:

Богатов Е. М., Мухин Р. Р. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ, МАЯТНИК С ВИБРИРУЮЩИМ ПОДВЕСОМ: Н. Н. БОГОЛЮБОВ, А. СТЕФЕНСОН, П. Л. КАПИЦА И ДРУГИЕ // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика.2017 Т. 25, вып. 5. С. 69-87. DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-5-69-87


В работе прослеживаются главные моменты исторического развития одного из основных методов исследования нелинейных систем – метода усреднения, который понимается как переход от так называемого точного уравнения

dx/dt = εX(t, x),     ε − малый параметр

 

к усреднённому уравнению

dξ/dt= εX0(ξ) + ε2P2(ξ) + ...εmPm(ξ)

 

путём подходящей замены переменной.

Анализируется подход Боголюбова–Крылова к проблеме обоснования метода усреднения, основанный на теореме об инвариантной мере.

В работе представлена эволюция взглядов на физический маятник с вибрирующим подвесом, начиная с работ по описанию его простых движений (А. Стефенсон, Г. Джеффрис, Н.Н. Боголюбов, П.Л. Капица, В.Н. Челомей и др.) и заканчивая сложными движениями. В последнем случае проявляются различные характерные особенности сложного поведения нелинейных систем – бифуркации, хаотические режимы и т.д. (Дж. Блэкберн, М. Бартучелли и др.). Описывается ряд аналогов маятника с вибрирующей точкой подвеса за пределами классической механики (А.В. Гапонов, М.А. Миллер – локализация частицы в электрическом поле; С.М. Осовец – стабилизация горячей плазмы; В. Пауль, Н. Рэмси, Х. Демельт – удержание частиц в переменном электромагнитном поле).

Важной частью работы являются исторические сведения о Н.М. Крылове, Н.Н. Боголюбове, П.Л. Капице, что позволяет яснее представить мотивацию производившихся исследований, их обусловленность.

Скачать полную версию

DOI: 
10.18500/0869-6632-2017-25-5-69-87
Литература

1. Урбанский В.М. Становление математических исследований в УССР. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Киев, 1983. 198 с.
2. Боголюбов А.Н., Урбанский В.М. Николай Митрофанович Крылов. Киев: Наукова думка, 1987. 176 с.
3. Волосов В.М. Метод осреднения в теории нелинейных колебаний // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1 Общая и прикладная механика М., Наука, 1968. с. 115–136.
4. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Асимптотические методы в нелинейной механике// История отечественной математики. Т. 4. Кн. 2. Киев: Наукова думка, 1970. С. 264–290.
5. Самойленко А.М. Н.Н. Боголюбов и нелинейная механика // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, вып. 5. С. 103–146.
6. Нестеренко Е.М. О развитии асимптотических методов нелинейной механики. Диссертация на соискании учёной степени кандидата физ.-мат наук. М., 1970.
7. Poincare H.  ́ Les methodes nouvelles de la m  ́ ecanique celeste. V. 1–3. Paris: Gauthier-Villars, 1892–1899.
8. Poincare H.  ́ Memoire sur les courbes d  ́ efinies par les  ́ equations differenti  ́ elles, I–IV  ́ // J. Math. Pures Appl., 3 serie, 1881, 7, 375–422; 1882, 8, 251–286; 4 s  ́ erie, 1885,  ́ 1, 167–244; 1886, 2, 151–217.
9. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 472 с.

10. Kryloff N. et Bogoluboff N. Quelques exsemples d’oseillations non lineares // Comptes rendus des l’Acad. Sci. de Paris. 1932. Vol. 194.

11. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Новые методы нелинейной механики. М.-Л.: ОНТИ ГТТИ, 1934.
12. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

13. Kryloff N., Bogoliuboff N. La theorie g  ́ en ́ erale de la mesure dans son application  ́ a ́ l’etude des syst  ́ emes dynamiques de la m  ́ ecanique non lin  ́ eaire // Ann. Math. 1937.  ́ Vol. 38. P. 65–113.
14. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Киев: Изд-во АН УССР, 1945.
15. Kryloff N.M., Bogoliuboff N.N. Introduction to non-linear mechanics. Prinseton, NY: Prinseton Univ. Press. 1943.
16. Боголюбов Н.Н. Теория возмущений в нелинейной механике // Сб. трудов Ин-та строит. Механики АН УССР. Киев. 1950. Т. 14 С. 9–34.
17. Александров П.С. Первая международная топологическая конференция в Москве // Успехи мат. наук. 1936. Вып. 1. С. 260–262.
18. Век Лаврентьева. Новосибирск: Изд-во СО РАН, филиал «Гео», 2000. 456 с.
19. Stephenson A. On a class of forced oscillations // Quart. J. Pure and Appl. Math. 1906. Vol. 37, N148. P. 353–360.
20. Stephenson A. On the stability of the steady state of forced oscillation // Phil. Mag. and J. Sci. Ser. 6. 1907. Vol. 14, N84. P. 707–712.
21. Stephenson A. On induced stability // Phil. Mag. and J. Sci. Ser. 6. 1908. Vol. 15, N86. P. 233–236.
22. Stephenson A. On a new type of dynamical stability // Memoirs and Proceedings of the Manchester Literary and Philosophical Society. 1908. Vol. 52, N8.
23. Jeffreys H. Methods of mathematical physics. Cambridge (C.U.P.). 2nd Edition, 1950.
24. Van der Pol B. Stabiliseering door kleine trillingen // Physica. Bd. 1925. 5. P. 157–162.
25. Strutt M.J. Stabiliseering en labiliseering door trillingen // Physica. Bd. 1927. 7. P. 265–271.
26. Hirsh P. Das Pendel mit Oszillierendem Aufhangepunkt // Z. angew. Math. Mech.  ̈Bd. 1930. 10. P. 41–52.
27. Erdelyi A. Uber die Kleinen Schwingungen eines Pendels mit oszillierendem Aufh  ̈ an-  ̈gepunkt // Z. angew. Math. Mech. Bd. 1934. 14.
28. Lowenstern E.R. The stabilizing effect of imposed oscillations of high frequency on a dynamical system // London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. 1932. Vol. 13. P. 458–486.
29. Van der Pol B., Strutt M.J.O. On the stability of Mathieu equation // The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. 7th series. 1928. Vol. 5. P. 23–28.
30. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ. 1951. Т. 21. Вып. 5. С. 588–597.
31. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // УФН. 1951. Т. 44. Вып. 1. С. 7–20.
32. Воспоминания об академике Н.Н. Боголюбове. М.: МИАН, 2009. 178 с.
33. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1965.
34. Широносов В.Г. Резонанс в физике, химии и биологии. Ижевск. Изд. Дом «Удмурт. ун-т», 2000/01. 92 с.
35. Блехман И.И. Вибрационная механика. М.: Наука, 1994.

36. Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций // ДАН СССР. 1956. Т. 110. No 3. С. 345–347.
37. Челомей В.Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями // ДАН СССР. 1983. Т. 270. No 1. С. 62–67.
38. Богатов Е.М., Мухин Р.Р. О связи между нелинейным анализом, бифуркациями и нелинейной динамикой: на примере Воронежской школы нелинейного функционального анализ // Известия вузов. ПНД. 2015. No 6. С. 74–88.
39. Гапонов А.В., Миллер М.А. О потенциальных ямах для заряженных частиц в высокочастотных полях // ЖЭТФ. 1958. Т. 34. Вып. 2. С. 242–243.
40. Гапонов А.В., Миллер М.А. Об использовании движущихся высокочастотных потенциальных ям для ускорения заряженных частиц // ЖЭТФ. 1958. Т. 34. Вып. 3. С. 751–752.
41. Осовец С.М. Динамические методы удержания и стабилизации горячей плазмы // УФН. 1974. Т. 112. Вып. 4. С. 638–683.
42. Blackburn J.A., Smith H.Y.T., Gronbech-Jensen N. Stability and Hopf bifurcation in an inverted pendulum // Amer. J. Phys. 1992. Vol. 60. P. 903–908.
43. Bartuccelli M.V., Gentile G., Georgin K.V. On the dynamics of a vertically driven damped planar pendulum // Proc. Roy. Soc. Lond. 2001. Vol. 457. P. 3007–3022.
44. Bartuccelli M.V., Gentile G., Georgin K.V. KAM theory, Linstedt series and the stability of the upside-down pendulum // Discrete and continuous dynamical systems. 2003. Vol. 9, No 2. P. 413–426.
45. Бурд В.Ш., Забрейко П.П., Колесов Ю.С., Красносельский М.А. Принцип усреднения и бифуркация почти периодических решений // ДАН СССР. 1969. T. 187, No 6, C. 1219–1221.
46. Osberghaus O., Paul V., Fischer E. Forschungsberichte des Wirschafts und Werker ministeriums. Nardheim Westfalen. 1958. Nr. 415.
47. Пауль В. Электромагнитные ловушки для заряженных и нейтральных частиц. Нобелевская лекция // УФМ. 1990. Т. 160. Вып. 12. С. 109–127.
48. Levi M. Geometry and physics of averaging with applications // Physica D. 1999. Vol. 132. P. 150–164.
49. Levi M., Zehnder E. Boundedness of solutions for quasiperiodic potentials // SIAM J. Math. Anal. 1995. Vol. 26. P. 1233–1256.
50. Gerving C.S., Hoang T.M. and oth. Non- equilibrium dinamics of un unstable quantum pendulum explored in a spin-1 Bose-Einstein condensate // Nature communication. School of physics, Georgia Ist. of Tech. 2012. P. 1–6.

51. Citro R., Dalla Torre E. G., D’Alessio L., Polkovnikov A., Babadi M., Oka T., and Demler E. Dynamical stability of a many-body Kapitza pendulum // Ann. of Physics. 2015. Vol. 360. P. 694-710.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF): 

BibTeX

@article{Bogatov -IzvVUZ_AND-25-5-69,
author = {Егор Михайлович Богатов and Равиль Рафкатович Мухин },
title = {МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ, МАЯТНИК С ВИБРИРУЮЩИМ ПОДВЕСОМ: Н. Н. БОГОЛЮБОВ, А. СТЕФЕНСОН, П. Л. КАПИЦА И ДРУГИЕ},
year = {2017},
journal = {Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика},
volume = {25},number = {5},
url = {http://andjournal.sgu.ru/ru/articles/metod-usredneniya-mayatnik-s-vibriruyushchim-podvesom-n-n-bogolyubov-stefenson-p-l-kapica-i},
address = {Саратов},
language = {russian},
doi = {10.18500/0869-6632-2017-25-5-69-87},pages = {69--87},issn = {0869-6632},
keywords = {Метод усреднения,теорема Крылова–Боголюбова об инвариантной мере,маятник с вибрирующим подвесом,маятник Капицы,парадоксы Челомея,уравнение Матье,динамическая устойчивость,бифуркация,Динамический хаос},
abstract = {В работе прослеживаются главные моменты исторического развития одного из основных методов исследования нелинейных систем – метода усреднения, который понимается как переход от так называемого точного уравнения dx/dt = εX(t, x),     ε − малый параметр   к усреднённому уравнению dξ/dt= εX0(ξ) + ε2P2(ξ) + ...εmPm(ξ)   путём подходящей замены переменной. Анализируется подход Боголюбова–Крылова к проблеме обоснования метода усреднения, основанный на теореме об инвариантной мере. В работе представлена эволюция взглядов на физический маятник с вибрирующим подвесом, начиная с работ по описанию его простых движений (А. Стефенсон, Г. Джеффрис, Н.Н. Боголюбов, П.Л. Капица, В.Н. Челомей и др.) и заканчивая сложными движениями. В последнем случае проявляются различные характерные особенности сложного поведения нелинейных систем – бифуркации, хаотические режимы и т.д. (Дж. Блэкберн, М. Бартучелли и др.). Описывается ряд аналогов маятника с вибрирующей точкой подвеса за пределами классической механики (А.В. Гапонов, М.А. Миллер – локализация частицы в электрическом поле; С.М. Осовец – стабилизация горячей плазмы; В. Пауль, Н. Рэмси, Х. Демельт – удержание частиц в переменном электромагнитном поле). Важной частью работы являются исторические сведения о Н.М. Крылове, Н.Н. Боголюбове, П.Л. Капице, что позволяет яснее представить мотивацию производившихся исследований, их обусловленность. Скачать полную версию }}