Нелинейная теория возмущений на основе вариационного принципа: Модельные примеры


Образец для цитирования:

Учайкин В. В., Литвинов В. А. Нелинейная теория возмущений на основе вариационного принципа: Модельные примеры // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика.2018 Т. 26, вып. 6. С. 82-98. DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-6-82-98


Тема. Известно, что двойственное представление задач (через основную и сопряженную в смысле Лагранжа функции) позволяет сформулировать эффективную версию теории малых возмущений, однако расширение её области применения путём включения следующих членов ряда теории возмущений резко усложняют процедуру решения. В связи с этим, в ряде работ были предприняты поиски альтернативных подходов. К их числу относится и предложенный В.В.Учайкиным метод вариационного интерполирования (ВИ-метод), использующий не одну, как это имеет место в теории возмущений, а несколько опорных задач с известными решениями. Цель – демонстрация особенностей применения ВИ-метода на конкретных примерах и исследование его погрешностей. Исследуемые модели. Исследования проводятся на примерах решения нескольких модельных задач теории переноса, в упрощённых постановках представляющих задачи диффузии, переноса нейтронов, заряженных частиц и волн. Результаты. Решение параболического уравнения для амплитуды волны рассматривалось в области, где первое приближение теории возмущений неприменимо, тогда как ВИ-метод дал результаты, практически совпадающие с результатами прямого применения разностного метода, хотя для выбранных глубин опорные решения отличались от искомого более чем на порядок, а сложность вычислений ВИ-методом не превысила сложности первого приближения теории возмущений. Аналогичная ситуация обнаружилась и в случае прямого применения ВИ-метода к задаче о прохождении излучения в нерассеивающей среде и в стационарной задаче о диффузии в однородном слое с заданными коэффициентами поглощения σ и диффузии λ. Обсуждение. Последняя задача наиболее интересна и наглядна в плане обсуждения, поскольку ведёт к построению топограммы погрешности на плоскости (σ, λ). При данной постановке задачи искомый функционал есть просто функция двух указанных переменных, однако в более общем (и интересном) случае он может оказаться функционалом от функций, характеризующих зависимость свойств среды от координат.

Финансовая поддержка. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-01-00556.

 
DOI: 
10.18500/0869-6632-2018-26-6-82-98
УДК: 
519.652
Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF): 

BibTeX

@article{Uchaikin-IzvVUZ_AND-26-6-82,
author = {Владимир Васильевич Учайкин and Владимир Андреевич Литвинов},
title = {Нелинейная теория возмущений на основе вариационного принципа: Модельные примеры},
year = {2018},
journal = {Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика},
volume = {26},number = {6},
url = {http://andjournal.sgu.ru/ru/articles/nelineynaya-teoriya-vozmushcheniy-na-osnove-variacionnogo-principa-modelnye-primery},
address = {Саратов},
language = {russian},
doi = {10.18500/0869-6632-2018-26-6-82-98},pages = {82--98},issn = {0869-6632},
keywords = {теория возмущений,сопряжённые функции,стационарный функционал},
abstract = {Тема. Известно, что двойственное представление задач (через основную и сопряженную в смысле Лагранжа функции) позволяет сформулировать эффективную версию теории малых возмущений, однако расширение её области применения путём включения следующих членов ряда теории возмущений резко усложняют процедуру решения. В связи с этим, в ряде работ были предприняты поиски альтернативных подходов. К их числу относится и предложенный В.В.Учайкиным метод вариационного интерполирования (ВИ-метод), использующий не одну, как это имеет место в теории возмущений, а несколько опорных задач с известными решениями. Цель – демонстрация особенностей применения ВИ-метода на конкретных примерах и исследование его погрешностей. Исследуемые модели. Исследования проводятся на примерах решения нескольких модельных задач теории переноса, в упрощённых постановках представляющих задачи диффузии, переноса нейтронов, заряженных частиц и волн. Результаты. Решение параболического уравнения для амплитуды волны рассматривалось в области, где первое приближение теории возмущений неприменимо, тогда как ВИ-метод дал результаты, практически совпадающие с результатами прямого применения разностного метода, хотя для выбранных глубин опорные решения отличались от искомого более чем на порядок, а сложность вычислений ВИ-методом не превысила сложности первого приближения теории возмущений. Аналогичная ситуация обнаружилась и в случае прямого применения ВИ-метода к задаче о прохождении излучения в нерассеивающей среде и в стационарной задаче о диффузии в однородном слое с заданными коэффициентами поглощения σ и диффузии λ. Обсуждение. Последняя задача наиболее интересна и наглядна в плане обсуждения, поскольку ведёт к построению топограммы погрешности на плоскости (σ, λ). При данной постановке задачи искомый функционал есть просто функция двух указанных переменных, однако в более общем (и интересном) случае он может оказаться функционалом от функций, характеризующих зависимость свойств среды от координат. Финансовая поддержка. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-01-00556.   }}