О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях


Образец для цитирования:

Богатов Е. М. О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика.2019 Т. 27, вып. 1. С. 96-114. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-1-96-114


Цель. Целью работы является исследование развития метода неподвижной точки и теории степени отображения, связанных с именами П. Боля, Л. Брауэра, К. Борсука, С. Улама и др. и его применения к изучению поведения траекторий динамических систем и устойчивых состояний упорядоченных сред. Метод. Исследование основано на анализе фундаментальных работ перечисленных математиков 1900–1930 гг., а также более поздних результатов Н. Левинсона, Т. Воловика, В. Минеева, Дж. Толанда и Х. Хофера прикладного характера. Результаты. Работы Брауэра внесли существенный вклад в теорию разрешимости нелинейных уравнений вида f(x) = x в конечномерной постановке. Этому предшествовало изучение сингулярных точек векторных полей, предпринятое А. Пуанкаре, а также доказательство теоремы Боля о невозможности отображения круга на свою границу. Первым математиком, использовавшим метод неподвижной точки в изучении систем дифференциальных уравнений, был Боль. Эта тема получила своё продолжение через 40 лет в работах Левинсона, который показал наличие в детерминированных диссипативных динамических системах хотя бы одного периодического решения. Введённое Брауэром фундаментальное понятие степени отображения (deg f) «заиграло» в самых неожиданных ситуациях. Исследования Воловика и Минеева выявили прямую зависимость дефектов упорядоченных сред от топологического инварианта deg f, характеризующего отображение f окрестности особой точки на сферу. Другое нестандартное применение степени отображения обнаружили Толанд и Хофер при изучении некоторых гамильтоновых систем. Вычисление deg f для отображений специального вида помогли им доказать существование периодических, гомоклинических и гетероклинических траекторий указанных систем. Обсуждение. Метод неподвижной точки и степень отображения – основные инструменты качественных методов решения нелинейных уравнений. Они оказались востребованными не только в рамках математики, но и в приложениях, причём эта тенденция, по-видимому, будет сохраняться и при переходе к бесконечномерному случаю.

 

Благодарности: Автор выражает благодарность профессору Р.Р. Мухину (СТИ НИТУ МИСиС, Старый Оскол) за постановку задачи и полезные обсуждения, профессору Ю.Е. Гликлиху (ВГУ, Воронеж) за консультации по топологическим методам анализа и знакомство с рукописью, а также В.П. Богатовой за помощь в доступе к первоисточникам и перевод с немецкого.

 

∗Часть результатов данной работы докладывалась на XXXVII годичной научной конференции СПбФ ИИЕТ РАН, секция история математики и механики [1]. (XXXVII годичная международная научная конференция Санкт-Петербургского отделения Национального комитета по истории и философии науки и техники Российской академии наук: Коммеморативные (юбилейные) практики в истории российской науки). https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-1-96-114

 
DOI: 
10.18500/0869-6632-2019-27-1-96-114
Литература

1. Bogatov E.M. On the history of the application of qualitative methods for solving nonlinear integral equations. Science and technology: Questions of history and theory. Materials of the XXXVII intern. annual conf. St. Petersburg Dep. Rus. Nat. Comm. Hist. Philos. Science and Techn. RAS, 2016, November, 21–25,. Issue XXXII, SPb, 2016, pp. 102–104 (in Russian).
2. Poincare, Н. Sur l’Analysis Situs. C.R., 1892, 11, pp. 633–636.  ́
3. Poincare, Н. Analyse des travaux scientifiques de Henri Poincar  ́ e faite par lui-m  ́ eme.  ́ Acta math., 1921, vol. 38, pp. 1–135.
4. Gombrich E.H. The Story of Art (14th ed.). Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc. 1984.

5. Volovik G.E. and Mineev V.P. Investigation of singularities in superfluid He3 and liquid crystals by homotopic topology methods. Soviet Phys. JETP, 1977, vol. 45, pp. 1186–1196.

6. Bogatov E.M., Mukhin R.R The relation between the nonlinear analysis, bifurcations and non-linear dynamics: On example of Voronezh school of nonlinear functional analysis. Izv. VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2015, vol. 23, iss. 6, pp. 74–88 (in Russian).
7. Bogatov E.M., Mukhin R.R. About the history of nonlinear integral equations. Izv. VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2016, vol. 24, iss. 2, pp. 77–114 (in Russian).
8. Poincare, Н. M  ́ emoire sur les courbes d  ́ efini  ́ es par une  ́ equation differentielle I.  ́ J. de Math., 1881, 7, pp. 375–422.
9. Poincare, Н. On curves defined by differential equations. Moscow; Leningrad, OGIZ, 1947 (in  ́ Russian).
10. Kronecker L., Uber Systeme von Funktionen mehrerer Variabeln I. Monatsber. Berlin Akad.,  1869, pp. 159–193.
11. Chetaev N. G. Stability of Motion. Works on Analytical Mechanics. USSR Acad. Sci. Publishing, Moscow, 1962 (in Russian).
12. Siegberg, H. Some historical remarks concerning degree theory. Amer. Math. Monthly, 1981, vol. 88, iss. 2, pp. 125–139.
13. Mawhin J. Poincare’s early use of Analysis situs in nonlinear differential equations: Variations around the theme of Kronecker’s integral. Philosophia Scientiae. 2000, vol. 4, pр. 103–143.
14. Poincare, Н. M  ́ emoire sur les courbes d  ́ efini  ́ es par une  ́ equation differentielle IV.  ́ J. Math. Pure Appl., 1885, vol. 1, pp. 167–244.
15. Bohl P. Sur certains equations differentielles d’un type general utilisables en m  ́ ecanique.  ́ Bulletin de la Societ ́ e math  ́ ematique de France  ́ , 1910, vol. 38, pp. 5–138.
16. Myshkis A.D., Rabinovich I.M. Mathematician Piers Bohl from Riga. Riga, Zinatne, 1965 (in Russian).
17. Bohl Piers. Collection of sci. works. Transl. I.M. Rabinovich; ed. L.E. Reizihn; Introd. article and comments L.E. Reizihn and I.A. Khenihn; Acad. Sci. Latvian SSR, Institute of Physics, Riga: Zinatne, 1974.
18. Bohl Piers Georgievich, 1865–1921. Selected works; introductory article by A.D. Myshkis and I.M. Rabinovich. Acad. Sci. Latv. SU, Astrophysics lab. 1961 (in Russian).
19. Borsuk K. Sur les retractes.  ́ Fund. Math. 1931, vol. 17, no. 1, s. 152–170.
20. Bohl P. Uber die Bewegung eines mechanischen Systems in der N  ̈ ahe einer Gleichgewichtslage.  ̈ Journal fur die reine und angewandte Mathematik  ̈ , 1904, vol. 127, s. 179–276.
21. Birkhoff G.D. & Kellogg O.D. Invariant points in function space. Trans. Amer. Math. Soc., 1922, vol. 23, pp. 95–115.
22. van Dalen D. Luitzen Egbertus Jan Brouwer. History of Topology, ed. I.M. James, North Holland, 1999, pp. 947–964.
23. Johnson Dale M. The Problem of the Invariance of Dimension in the Growth of Modern Topology, Part II. Arch. Hist. Ex. Sci, 1981. pp. 85–267.
24. Brouwer L.E.J. On continuous vector distributions on surfaces. KNAW Proc., 1909, vol. 11, pp. 850–858.
25. Brouwer L.E.J. On continuous vector distributions on surfaces, II. KNAW Proc., 1910,vol. 12, pp. 716–734.
26. Brouwer L.E.J. On continuous vector distributions on surfaces, III. KNAW Proc., 1910, vol. 12, pp. 171–186.
27. Freudenthal H. (ed.) L.E.J. Brouwer Collected Works, Vol. 2, Geometry, Analysis, Topology and Mechanics. North–Holland, Amsterdam, 1976.

28. Brouwer L.E.J. Potentiaaltheorie en Vectoranalyse. Exercise book (unpublished manuscript), 1910.
29. Aleksandrov P.S. Poincare and topology.  ́ Russian Math. Surveys, 1972, vol. 27, no. 1, pp. 157–168.
30. Boss V. Lekcii po matematike: Topologiya. T. 13, Izd. 3-e, LENAND, Moscow, 2014 (in Russian).
31. Brouwer L.E.J. Uber Abbildungvon Mannigfaltigkeiten.  ̈ Math. Annal, 1912, vol. 71, s. 97–115.
32. Brouwer L.E.J. Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl. Math. Annal, 1911, vol. 70, s. 161–165.
33. Matousek J. Using the Borsuk–Ulam theorem: Lectures on topological methods in combinatorics ˇ and geometry. Springer Science & Business Media, 2008.
34. Borsuk K. Drei Satze  ̈ uber die  ̈ n-dimensionale euklidische Sphare.  ̈ Fund. Math. 1933, vol. 20, no. 1, s. 177–190.
35. Krein M.G., Nudelman A.A. Kvant, 1983, no. 8, pp. 20–25 (in Russian).
36. Lyusternik L.A., Shnirelman L.G. Topological methods in variational problems. Mathematics and Mechanics Research Institute at 1st MSU, Moscow, 1930 (in Russian).
37. Volovik G.E., Mineev V.P. Physics and topology. Moscow: Znanie, 1980 (in Russian).
38. Mineev V.P. Topological objects in nematic liquid crystals, In: V.G. Boltyansky, V.A. Efremovich, Visual topology, pp. 148–158 (Bibliotechka Kvant, issue 21. Moscow, Nauka, 1982) (in Russian).
39. Volovik G.E. Superfluid properties of 3He-A. Sov. Phys. Usp., 1984, vol. 27, pp. 363–384.
40. Poincare, Н. Sur un th  ́ eor  ́ eme en g  ́ eom ́ etrie.  ́ Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1912, vol. 33, pp. 375–407. http://henripoincarepapers.univ-lorraine.fr/bibliohp/ajax.php?bibkey==hp...
41. Poincare Н. Selected Works. Vol. 2. New methods of celestial mechanics. Topology. Theory of  ́ numbers, Ed. N.N. Bogolyubov, V.I. Arnold, I.B. Pogrebyskii. Moscow: Nauka, 1972 (in Russian).
42. Levinson N. Transformation theory of non-linear differential equations of the second order. Annals Math., Second Series, 1944, vol. 45, no. 4, pp. 723–737.
43. Bogatov E.M., Mukhin R.R. The averaging method, a pendulum with a vibrating suspension: N.N. Bogolyubov, A. Stephenson, P.L. Kapitza and others. Izv. VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2017, vol. 25, no. 5, pp. 69–87 (in Russian).
44. Coddington E.A., Levinson N. Theory of ordinary differential equations. Tata McGraw-Hill Education, 1955.

45. Hofer H., Toland J. Homoclinic, heteroclinic, and periodic orbits for a class of indefinite Hamiltonian systems. Math. Annalen, 1984, vol. 268, no. 3, pp. 387–403.

46. Toland J.F. Solitary wave solutions for a model of the two-way propagation of water waves in a channel. Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1981, vol. 90, pp. 343–360.
47. Peletier L.A., and Troy W.C. Spatial patterns: higher order models in physics and mechanics. Vol. 45. Springer Science & Business Media, 2012.
48. Nash C. Topology and physics – a historical essay. History of Topology, I.M. James ed., North Holland, 1999, pp. 359–416.
49. Ugi I., Dugundij J., Kopp R., & Marquarding D. Perspectives in theoretical stereochemistry. Lecture note series, Vol. 36. Springer, Heidelberg, 1984.
50. Dolbilin N.P. Criterion of a crystal and locally antipodal sets of Delaunay. Vestnik of the ChelSU, 2015, no. 17, pp. 6–17 (in Russian).
51. Dieudonne J. A History of Algebraic and Differential Topology, 1900–1960. Modern Birkh  ́ auser,  ̈ Boston, 1989.

52. Park S. Ninety years of the Brouwer fixed point theorem. Vietnam J. Math., 1999, vol. 27, no. 3, pp. 187–222.
53. Mawhin J. In Memoriam Jean Leray (1906–1998). Topol. Meth. Nonlin. Anal., 1998, vol. 12. 14, pp. 199–206.
54. Mawhin J. Juliusz Schauder, topology of functional spaces and partial differential equations. Wiadomosci matematyczne  ́ , 2012, vol. 48, no. 2, pp. 173–183.
55. Bogatov E.M. Key moments of the mutual influence of the Polish and Soviet schools of nonlinear functional analysis in the 1920’s–1950’s. Antiq. Math., 2017, vol. 11, pp. 131–156.

56. Krasnoselskii M.A., Zabreiko P.P. Geometrical Methods of Nonlinear Analysis. Berlin–Heidelberg–New York–Tokyo, Springer-Verlag, 1984.

57. Ladyzhenskaya O.A. Mathematical problems in the dynamics of a viscous incompressible flow. Gordon & Breach, New York, 1963.
58. Beckert, H. Existenzbeweis fur permanente Kapillarwellen einer schweren Fl  ̈ ussigkeit.  ̈ Arch. Rat. Mech. Anal., 1963, vol. 13, pp. 15–45.
59. Krasnoselskii M.A., Burd V.Sh., Kolesov Yu.S. Nonlinear Almost Periodic Oscillations. Wiley, New York, 1973.
60. Vorovich I.I. On the existence of solutions in the nonlinear theory of shells. Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., 1955, vol. 19, no. 4, pp. 173–186 (in Russian).
61. Hutson V.C.L., Pym J.S. Applications of Functional Analysis and Operator Theory. Academic Press, 1980.
62. Nonlinear functional analysis and its applications, Part 2. (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. 45.) F.E. Browdered. AMS, Providence. Rhode Island, 1986.

УДК: 
51 (09)
Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF): 

BibTeX

@article{Bogatov -IzvVUZ_AND-27-1-96,
author = {Егор Михайлович Богатов },
title = {О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях},
year = {2019},
journal = {Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика},
volume = {27},number = {1},
url = {http://andjournal.sgu.ru/ru/articles/o-razvitii-kachestvennyh-metodov-resheniya-nelineynyh-uravneniy-i-nekotoryh-posledstviyah},
address = {Саратов},
language = {russian},
doi = {10.18500/0869-6632-2019-27-1-96-114},pages = {96--114},issn = {0869-6632},
keywords = {история нелинейного функционального анализа,индекс Кронекера–Пуанкаре,качественные методы,топологические методы анализа,степень отображения,теорема о неподвижной точке,теорема об антиподальном отображении,устойчивые неоднородные состояния в упорядоченных средах,Динамические системы,хаотическая динамика},
abstract = {Цель. Целью работы является исследование развития метода неподвижной точки и теории степени отображения, связанных с именами П. Боля, Л. Брауэра, К. Борсука, С. Улама и др. и его применения к изучению поведения траекторий динамических систем и устойчивых состояний упорядоченных сред. Метод. Исследование основано на анализе фундаментальных работ перечисленных математиков 1900–1930 гг., а также более поздних результатов Н. Левинсона, Т. Воловика, В. Минеева, Дж. Толанда и Х. Хофера прикладного характера. Результаты. Работы Брауэра внесли существенный вклад в теорию разрешимости нелинейных уравнений вида f(x) = x в конечномерной постановке. Этому предшествовало изучение сингулярных точек векторных полей, предпринятое А. Пуанкаре, а также доказательство теоремы Боля о невозможности отображения круга на свою границу. Первым математиком, использовавшим метод неподвижной точки в изучении систем дифференциальных уравнений, был Боль. Эта тема получила своё продолжение через 40 лет в работах Левинсона, который показал наличие в детерминированных диссипативных динамических системах хотя бы одного периодического решения. Введённое Брауэром фундаментальное понятие степени отображения (deg f) «заиграло» в самых неожиданных ситуациях. Исследования Воловика и Минеева выявили прямую зависимость дефектов упорядоченных сред от топологического инварианта deg f, характеризующего отображение f окрестности особой точки на сферу. Другое нестандартное применение степени отображения обнаружили Толанд и Хофер при изучении некоторых гамильтоновых систем. Вычисление deg f для отображений специального вида помогли им доказать существование периодических, гомоклинических и гетероклинических траекторий указанных систем. Обсуждение. Метод неподвижной точки и степень отображения – основные инструменты качественных методов решения нелинейных уравнений. Они оказались востребованными не только в рамках математики, но и в приложениях, причём эта тенденция, по-видимому, будет сохраняться и при переходе к бесконечномерному случаю.   Благодарности: Автор выражает благодарность профессору Р.Р. Мухину (СТИ НИТУ МИСиС, Старый Оскол) за постановку задачи и полезные обсуждения, профессору Ю.Е. Гликлиху (ВГУ, Воронеж) за консультации по топологическим методам анализа и знакомство с рукописью, а также В.П. Богатовой за помощь в доступе к первоисточникам и перевод с немецкого.   ∗Часть результатов данной работы докладывалась на XXXVII годичной научной конференции СПбФ ИИЕТ РАН, секция история математики и механики [1]. (XXXVII годичная международная научная конференция Санкт-Петербургского отделения Национального комитета по истории и философии науки и техники Российской академии наук: Коммеморативные (юбилейные) практики в истории российской науки). https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-1-96-114   }}