ПЕРЕХОД ОТ РЕЛАКСАЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ К ПСЕВДОПЕРИОДИЧЕСКОЙ ТРАЕКТОРИИ В НОВОЙ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИИ

В статье рассматривается моделирование возникновения колебаний численности биологических видов и сопутствующих резких перемен в развитии популяционного процесса. Индукторы возникновения многих долгопериодических флуктуаций, например, сельдяных циклов в Тихом океане, полностью не установлены. Изменения популяционных циклов могут принимать экстремальный характер, нарушать сложившуюся выравненность биологического разнообразия и вызывать значительные последствия для экосистем. Отдельные варианты вспышки численности способны развиваться достаточно долго в форме серии пиков и приводить к временной деградации самой среды обитания вида. Спонтанные колебания могут возникать у изолированных лабораторных популяций вне внешнего воздействия при поддержании постоянных условий эксперимента. Для математического объяснения внутренних механизмов появления колебательных режимов применяются дифференциальные уравнения с запаздыванием. Широко известны несколько таких моделей: Никольсона, Кушинга и наиболее подробно исследованное уравнение Хатчинсона, которые демонстрируют возникновение циклов сложной формы после бифуркации Андронова–Хопфа. Характеристики релаксационных колебаний таких моделей, например, огромная амплитуда пиков при нереальной глубине минимумов, мало соответствуют экологической действительности. Выход на пиковые показатели численности начинается обычно после преодоления пороговых значений, когда вдруг резко ослабляется действие механизмов регуляции. Актуальной задачей остается модификация уравнений с запаздыванием для рассмотрения особых наблюдаемых в реальности сценариев популяционного процесса, например специфических случаев вспышек численности насекомых. Предложена модификация модели Хатчинсона для описания частного, но критического для состояния леса сценария популяционной динамики – вспышки численности в форме серии пиков, но без стремящихся к нулю минимумов. Любая вспышка является переходным режимом существования вида в экосистеме. Далее нами разработана принципиально иная модель, которая включает один из наблюдавшихся сценариев завершения подобных процессов и пересматривает традиционную трактовку параметра пороговой емкости среды. В новом уравнении возникающие после бифуркации релаксационные колебания с увеличением амплитуды не формируют орбитально устойчивый цикл, но резко переходят в неограниченно возрастающую псевдопериодическую траекторию. Потеря свойства диссипативности траектории означает фатальные последствия для существования популяции вида в локальном ареале. Практическую значимость модель с аномальным переходом представляет для ситуаций инвазии чужеродных видов в изолированную экосистему и размножения адаптировавшихся к химикатам вредителей в агроценозах. В системной экологии сценарий неконтролируемого исчерпания ресурсов исторически связывается с проблемой острова Пасхи.

 

 

DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-2-51-62

 

Ссылка на статью: Переварюха А.Ю. Переход от релаксационных колебаний к псевдопериодической траектории в новой модели динамики численности популяции // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. Т. 25, No 2. С. 51–62.

 

Скачать полную версию
 

 
Литература

1. Verhulst P. Recherches mathematiques sur la loi d’accroissement de la population // Nouveaux memoires de l’academie royale des sciences et belles-letters de Bruxelles. 1845. Vol.18. P. 1–38.

2. Bacaer N. A Short History of Mathematical Population Dynamics. London, Springer-Verlag, 2011.

3. Базыкин А.Д. Теоретическая и математическая экология:проблема опасных границ и критериев приближения к ним // Математика и моделирование. ОНТИ НЦБИ АН СССР. Пущино, 1990. С. 232–237.

4. Nicholson A. An outline of the dynamics of animal populations // Australian Journal of Zoology. 1954. Vol. 2. Issue 1. P. 9–65.

5. Hutchinson G. An Introduction to Population Ecology. New Haven, Yale University Press, 1978.

6. Кащенко С.А. Динамика логистического уравнения, содержащего запаздывание // Математические заметки. 2015. Т. 98. С. 85–100.

7. Kolesov A.Yu., Kolesov Yu.S. Relaxation Oscillations in Mathematical Models of Ecology. Rhode Island, AMS, 1993.

8. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Об одной модификации уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50. No 12. С. 1990–2002.

9. Gopalsamy K., Kulenovic M., Ladas G. Time lags in a «food-limited» population model // Applicable Analysis. 1988. Vol. 31. Issue 3. P. 225–237.

10. Ladas G., Qian C. Oscillation and global stability in a delay logistic equation // Dynamics and Stability of Systems. 1994. Vol. 9. Issue 2. P. 153–162.

11. Ruan S. Delay Differential Equations in Single Species Dynamics // Delay Differential Equations and Applications. Springer, Berlin, 2006. P. 477–517.

12. Lin X., Wang H. Stability analysis of delay differential equations with two discrete delays // Canadian Applied Mathematics Quarterly. 2012. Vol. 20. Issue 4. P. 519–533.

13. Perevaryukha A.Y. A model of development of a spontaneous outbreak of an insect with aperiodic dynamics // Entomological Review. 2015. Vol. 95. Issue 3. P. 397–405.

14. Cooke B., Nealis V., Regniere J. Insect defoliators as periodic disturbances in northern forest ecosystems // Plant Disturbance Ecology: The Process and the Response. Elsevier, Burlington, 2007. P. 487–525.

15. Gray D.R. Historical spruce budworm defoliation records adjusted for insecticide protection in New Brunswick // Journal of the Acadian Entomological Society. 2007. Vol. 115. Issue 1. P. 1–6.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF):