ВРАЩАТЕЛЬНАЯ ДИНАМИКА В СИСТЕМЕ ДВУХ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

Исследованы особенности динамики двух нелинейно связанных маятников. При наличии затухания и постоянного внешнего воздействия в такой системе наряду с состояниями равновесия может существовать синфазное предельное периодическое движение. С помощью прямого численного моделирования показано, что при некоторых значениях параметра, характеризующего связь между маятниками, данное синфазное предельное вращение становится неустойчивым. В пределе малой диссипации построена асимптотическая теория, объясняющая причины потери устойчивости синфазного вращательного предельного цикла. Найдены аналитические выражения для границ зоны этой неустойчивости. В ходе численных расчетов установлено, что есть интервал значений силы связи, внутри которого в рассматриваемой системе помимо устойчивого синфазного имеются также два (устойчивый и неустойчивый) несинфазных вращательных предельных цикла. Таким образом, для нелинейно связанных маятников продемонстрировано наличие бистабильности их предельных периодических движений. Подробно проанализированы бифуркации, приводящие к возникновению и исчезновению несинфазных предельных режимов вращения.

 

Скачать полную версию

Литература

1. Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization. A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge University Press, 2001.

2. Braun O., Kivshar Yu.S. The Frenkel-Kontorova model: Concepts, Methods, and Applications. Springer, 2004.

3. Yakushevich L.V. Nonlinear Physics of DNA. 2nd Edition. Wiley-Vch, 2004.

4. Afraimovich V.S., Nekorkin V.I., Osipov G.V., Shalfeev V.D. Stability, structures and chaos in nonlinear synchronization network. Singapore: World Scientific, 1994.

5. Астахов В.В., Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Особенности возникновения квазипериодических движений в системе диссипативно связанных нелинейных осцилляторов под внешним периодическим воздействием// Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14, вып. 1. C. 37.

6. Leeman C., Lereh P., Racine G. A., Martinoli P. Vortex dynamics and phase transitions in a two-dimensional array of Josephson junctions // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56, No 12. P. 1291.

7. Ryu S., Yu W., Stroud D. Dynamics of an underdamped Josephson-junction ladde // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53, No 3. P. 2190.

8. Kim B.J., Kim S., Lee S.J. Defect motions and smearing of Shapiro steps in Josephson-junction ladders under magnetic frustration // Phys. Rev. B. 1995. Vol. 51, No 13. P. 8462.

9. Kim J., Choe W.G., KimS., Lee H.J. Dynamics of Josephson-junction ladders // Phys. Rev. B. 1994. Vol. 49, No 1. P. 459.

10. Denniston C., Tang C. Phases of Josephson-junction ladders // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75, No 21. P. 3930.

11. Qjan M., Weng J.-Z. Transitions in two sinusoidally coupled Josephson-junction rotators // Annals of Physics. 2008. Vol. 323. P. 1956.

12. Fishman R.S., Stroud D. Role of long-range Coulomb interactions in granular super conductors // Phys. Rev. B. 1988. Vol. 38, No 1. P. 290.

13. Yakushevich L.V., Gapa S., Awrejcewicz J. Mechanical analog of the DNA base pair oscillations // Dynamical Systems. Theory and Applications / Eds. by J. Awrejcewicz et al. Lodz: Left Grupa, 2009. P. 879.

14. Якушевич Л.В. Биомеханика ДНК: Вращательные колебания оснований // Компьютерные исследования и моделирование. 2011. Т. 3, No 3. С. 319.

15. Аврейцевич Я., Млынарска С., Якушевич Л.В. О нелинейных колебаниях пар оснований ДНК // Прикладная математика и механика. 2013. Т. 77, No 4. С. 1.

16. Krueger A., Protozanova E., Frank-Kamenetskii M. Sequence-dependent basepair opening in DNA double helix // Biophys. J. 2006. Vol. 90. P. 3091.

17. Takeno S., Peyrard M. Nonlinear modes in coupled rotator models // Physica D. 1996. Vol. 92. P. 140.

18. Zhang F. Kink shape modes and resonant dynamics in sine-lattices // Physica D. 1997. Vol. 110. P. 51.

19. Kosterlitz J.M., Thouless D.J. Ordering, metastability and phase transitions in twodimensional systems // J. Phys. C. Solid State Phys. 1973. Vol. 6. P. 1181.

20. Antoni M., Ruffo S. Clustering and relaxation in Hamiltonian long-range dynamics // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52, No 3. P. 2361.

21. Wang X.Y., Taylor P.L. Devil’s staircase, critical thickness, and propagating fingers in antiferroelectric liquid crystals // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76, No 4. P. 640.

22. Fillaux F., Carlile C.J. Inelastic-neutron-scattering study of methyl tunneling and the quantum sine-Gordon breather in isotopic mixtures of 4-methyl-pyridine at low temperature // Phys. Rev. B. 1990. Vol. 42, No 10. P. 5990.

23. Fillaux F., Carlile C.J., Kearley G.J. Inelastic-neutron-scattering study at low temperature of the quantum sine-Gordon breather in 4-methyl-pyridine with partially deuterated methyl groups // Phys. Rev. B. 1991. Vol. 44, No 22. P. 12280.

24. Zhang F., Collins M.A., Kivshar Yu.S. Kinks and conformational defects in nonlinear chains // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51, No 4. P. 3774.

25. Acebron J.A., Bonilla L.L., P  ́ erez Vicente C.J., Ritort F., Spigler R.  ́ The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena // Rev. Mod. Phys. 2005. Vol. 77, No 1. P. 137.

26. Tanaka H.-A., Lichtenberg A.J., Oishi S. First order phase transition resulting from finite inertia in coupled oscillator systems // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78, No 11. P. 2104.

27. Tanaka H.-A., Lichtenberg A.J., Oishi S. Self-synchronization of coupled oscillators with hysteretic responses // Physica D. Nonlin. Phenom. 1997. Vol. 100, No 3–4. P. 279.

28. Rohden M., Sorge A., Timme M., Witthaut D. Self-organized synchronization in decentralized power grids // Phys. Rev. Lett. Vol. 109, No 6. P. 064101(1).

29. Rohden M., Sorge A., Witthaut D., Timme M. Impact of network topology on synchrony of oscillatory power grids // Chaos. 2014. Vol. 24, No 1. P. 013123(1).

30. Olmi S., Navas A., Boccaletti S., Torcini A. Hysteretic transitions in the Kuramoto model with inertia // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 90, No 4. P. 042905(1).

31. Olmi S., Martens E.A., Thutupalli S., Torcini A. Intermittent chaotic chimeras for coupled rotators // Phys. Rev. E. 2015. Vol. 92, No 3. P. 030901(1).

32. Ha S.-Y., Kim Y., Li Z. Large-time dynamics of Kuramoto oscillators under the effects of inertia and frustration // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2014. Vol. 13, No 1. P. 466.

33. Gupta S., Campa А., Ruffo S. Nonequilibrium first-order phase transition in coupled oscillator systems with inertia and noise // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 89, No 2. P. 022123(1).

34. Komarov M., Gupta S., Pikovsky A. Synchronization transitions in globally coupled rotors in the presence of noise and inertia: Exact results // Europhysics Letters. 2014. Vol. 106, No 4. P. 40003(1).

35. Ji P., Peron T.K.DM., Menck P.J., Rodrigues F.A., Kurths J. Cluster explosive synchronization in complex networks // Phys. Rev. Lett. 2013. Vol. 110, No 21. P. 218701(1).

36. Ji P., Peron T.K.DM., Menck P.J., Rodrigues F.A., Kurths J. Analysis of cluster explosive synchronization in complex networks // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 90, No 6. P. 062810(1).

37. Peron T.K. DM., Ji P., Rodrigues F.A., Kurths J. Effects of assortative mixing in the second-order Kuramoto model // Phys. Rev. E. 2015. Vol. 91, No 5. P. 052805(1).

38. Goldstein G. Classical Mechanics. 3rd Edition. Addison–Wesley, 2001.

39. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. 5-е издание. М.: Физматлит, 2004.

40. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.

41. Belykh V.N., Pedersen N.F., Soerensen O.H. Shunted–Josephson-junction model. I. The autonomous case // Phys. Rev. B. 1977. Vol. 16, No 11. P. 4853.

42. Tricomi F. Integrazioni di unequazione differenziale presentatasi in elettrotecnica //  ́ Annalidella Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze. 1933. Vol. 2, No 1. P. 1. 4 (2014).

43. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987.

44. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. 2-е изд. М.: Наука, 1974.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF):