ФЕНОМЕН УРАВНЕНИЯ ВАН ДЕР ПОЛЯ

Настоящий обзор посвящен знаменитому голландскому ученому Балтазару ван дер Полю, который внес ощутимый вклад в развитие радиотехники, физики и математики. В обзоре выделен лишь один момент его творчества, связанный с уравнением, носящим его имя, и удивительно широким диапазоном применения этого уравнения в естествознании. В обзоре изложены следующие вопросы.

  • Биография ван дер Поля, его уравнение и предполагаемые предшественники.

  • О вкладе А.А. Андронова в теорию автоколебаний.

  • Уравнение ван дер Поля и моделирование процессов в человеческом организме (модели сердца и системы «сердце–сосуды»; моделирование процессов в толстой кишке; модель возбуждающих и тормозящих нейронных взаимодействий; моделирование синхронизации при обработке и передаче информации в нейронных сетях; моделирование различных задач, связанных с опорно-двигательным аппаратом человека; модель голосовых связок).

  • Развитие и модификации уравнения ван дер Поля.

Литература

1. Ginoux J.M., Letellier C. Van der Pol and the history of relaxation oscillations: Toward the emergence of a concept // Chaos. 2012. Vol. 22, No 2. P. 023120-15.

2. Cartwright M.L. Balthazar Van der Pol // Journal London Math. Soc. 1960, Vol. 35. P. 367.

3. Ван дер Поль Балт. Нелинейная теория электрических колебаний / Пер. Я.А. Копиловича. М.: Гос. изд-во по технике связи, 1935. 42 с.

4. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2010. 560 с. (глава 14).

5. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. 360 с.

6. Горяченко В.Д. Андронов Александр Александрович. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2001.

7. Трубецков Д.И. Синхронизация: ученый и время. Лекции на школах «Нелинейные дни в Саратове для молодых». Вып. 2. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2006. 112 с.

8. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959.

9. Фейнберг Е.Л. Родоначальник. О Леониде Исааковиче Мандельштаме // УФН. 2002. Т. 172. С. 102.

10. Фабрикант В.А. О Л.И. Мандельштаме // Академик Мандельштам. К 100-летию со дня рождения. М.: Наука, 1979. С. 234.

11. Филиппов А.Т. Многоликий солитон. М.: Наука, 1986. 230 с.

12. Cveticanin L. On the Van der Pol oscillator: An overview // Applied Mechanics and Materials. 2013. Vol. 430. P. 3.

13. Kuang Y.C., Biernacki P.D., Lahrichi A., Mickelson A. Analysis of an experimental technique for determining Van der Pol parameters of a transistor oscillator // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1998. Vol. 46, No 7. P. 914.

14. Van der Pol B. On relaxation-oscillations // Philosophical Magazine & Journal of Science. 1926. Vol. 2, No 11. P. 978.

15. Van der Pol B. and van der Mark J. The heartbeat considered as a relaxation oscillation, and an electrical model of the heart // Philosophical Magazine & Journal of Science. 1928. Vol. 6, No 38. P. 763.

16. Привезенцев А.П., Саблин Н.И., Филиппенко Н.М., Фоменко Г.П. Нелинейные колебания виртуального катода в триодной системе // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37, No 7. С. 1242.

17. Магда И.И, Пащенко А.В., Романов С.С. К теории пучковых обратных связей в генераторах с виртуальным катодом // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения. 2003. No 4. C. 167.

18. Sze H., Price D., Harteneck B. Phase locking of two strongly coupled vircators // J. Appl. Phys. 1990. Vol. 67, No 5. P. 2278.

19. Репин Б.Г., Дубинов А.Е. Исследование режимов фазировки трех виркаторов в рамках модели связанных осцилляторов Ван-дер-Поля // Журнал технической физики. 2006. Т. 76, вып. 4. C. 99.

20. Liao P., York R.A. A new phase-shifterless beam-scanning technique using arrays of coupled oscillators // I EEE transactions on microwave theory and techniques. 1993. Vol. 41, No 10. P. 1810.

21. Yabuno H., Kaneko H., Kuroda M., Kobayashi T. Van der Pol type self-excited micro-cantilever probe of atomic force microscopy // Nonlinear Dyn. 2008, No 54. P. 137.

22. Menzel K.O., Bockwoldt T., Arp O., Piel A. Modeling Dust-Density Wave Fields as a System of Coupled van der Pol Oscillators // IEEE Transactions on Plasma Science. 2013. Vol. 41, No 4. P. 735.

23. Miwadinou C.H., Hinviy L.A., Monwanou A.V. Chabi Orou J.B. Nonlinear dynamics of plasma oscillations modeled by a forced modified Van der Pol–Duffing oscillator. arXiv:1308.6132.

24. Klinger T., Greiner F., Rohde A., Piel A. Van der Pol behavior of relaxation oscillations in a periodically driven thermionic discharge // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 52, No 4. P. 4316.

25. Klinger T., Piel A., Seddighi F., Wilke C. Van der Pol Dynamics of ionization waves // Physics Letters A. 1993. Vol. 182, No 2, 3. P. 312.

26. Гембаржевский Г.В. Электроразрядный эффект в плазменном течении следа: перераспределение энергии пульсаций в область низких частот // Письма в ЖТФ. 2009. Т. 35, вып. 5. С. 95.

27. Lashinsky H., Rosenberagn J., Detrick L. Power line radiation: Possible evidence of van der Pol oscillations in the magnetosphere // Geophysical Research Letters. 1980. Vol. 7, No 10. P. 837.

28. Sun Z.Z., Sun Y., Wang X.R., Cao J.P., Wang Y.P., Wang Y.Q. Self-sustained current oscillations in superlattices and the van der Pol equation // Applied Physics Letters. 2005. Vol. 87. 1821100.

29. Tony E.L. and Sadeghpour H.R. Quantum synchronization of quantum van der Pol oscillators with trapped ions // Phys. Rev. Lett. 2013. Vol. 111, No 23. 234101.

30. Лэмб У. Теория оптических мазеров. В сб.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика. М.: Мир, 1966. с. 281.

31. Pampalon E., Lapucci A. Locking-range analysis for three coupled lasers // Optics letters. 1993. Vol. 18, No 22. P. 1881.

32. Khibnik A.I., Braimanc Y., Kennedyd T.A.B., Wiesenfeldd K. Phase model analysis of two lasers with injected field // Physica D. 1998. Vol. 111, No 1-4. P. 295.

33. Braimanc Y., Kennedyd T.A.B., Wiesenfeldd K., Khibnik A.I. Entrainment of solid-state laser arrays // Phys. Rev. A. 1995. Vol. 52. P. 1500. 

34. Khibnik A.I., Braimanc Y., Protopopescu V., Kennedyd T.A.B., Wiesenfeldd K. Amplitude dropout in coupled lasers // Phys. Rev. A. 2000. Vol. 62. P. 063815.

35. Глова А.Ф. Синхронизация излучения лазеров с оптической связью // Квантовая Электроника. 2003. No 4. C. 283.

36. Каганов В.И. Ветроэнергетический метод предотвращения развития тропического циклона // Письма в ЖТФ. 2006. Т. 32, вып. 6. С. 42.

37. Skop R.A., Griffin O.M. A model for the vortex-excited resonant response of bluff cylinders // Journal of Sound and Vibration. 1973. Vol. 27, No 2. P. 225.

38. Facchinettia M.L., Langre E., Biolley F. Vortex shedding modeling using diffusive van der Pol oscillators // ComptesRendusMecanique. 2002. Vol. 330, No 7. P. 451.

39. Veskos P., Demiris Y. Developmental acquisition of entrainment skills in robot swinging using van der Pol oscillators // Proceedings of the Fifth International Workshop on Epigenetic Robotics: Modeling Cognitive Development in Robotic Systems Lund University Cognitive Studies. 2005. P. 87.

40. Пащенко Р.Э., Пащенко Э.И., Максюта Д.В. Формирование фрактальных сигналов на основе уравнения ван дер Поля // Системы управления, навигации и связи. 2009, вып. 3(11). C. 225.

41. Зайцев В.В., Зайцев О.В. Способ защиты информации с использованием алгоритма генерации хаотических автоколебаний // Вестник СамГу – естественно-научная серия. 2006, No 9(49). С. 66.

42. Lucero J. and Schoentgen J. Modeling vocal fold asymmetries with coupled van der Pol oscillators // Proceedings of Meetings on Acoustics. 2013. Vol. 19. 060165. P. 1.

43. Long G.R., Tubis A., Jones K.L. Modeling synchronization and suppression of spontaneous otoacoustic emissions using Van der Pol oscillators: Effects of aspirin administration // J. Acoust. Soc. Am. 1991. Vol. 89, No 3. P. 1201.

44. Dutra M.S., de Pina Filho A.C., Romano V.F. Modeling of a bipedal locomotor using coupled nonlinear oscillators of Van der Pol // Biol. Cybern. 2003. Vol. 88. P. 286.

45. Булдаков Н.С., Самочетова Н.С., Ситников А.В., Суятинов С.И. Моделирование связей в системе «сердце-сосуды» // Наука и образование, Электронный научно-технический журнал. 2013. С. 123.

46. Beek P.J., Schmidt R.C., Morris A.W., Sim M.-Y., Turvey M.T. Linear and nonlinear stiffness and friction in biological rhythmic movements // Biol. Cybern. 1995. Vol. 73, No 6. P. 499.

47. Kawahara T. Coupled van der Pol oscillators – A model of excitatory and inhibitory interactions // Biol. Cybern. 1980. Vol. 39. P. 37.

48. Linkens D.A., Taylor I., Duthie H.L. Mathematical modeling of the colorectal myo-electrical activity in humans // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. 1976. Vol. BME-23, No 2. P. 101.

49. Wilson H.R., Cowan J.D. Excitatory and inhibitory interactions in localized populations of model neurons // Biophys. J. 1972. Vol. 12. P. 1.

50. Осипов Г.В. Синхронизация при обработке и передаче информации в нейронных сетях. Учебно-методические материалы по программе повышения квалификации «Хранение и обработка информации в биологических системах», Нижний Новгород, 2007.

51. Кузнецов А.П., Кузнецов С. П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Изд-во  Физматлит, 2002. 292 с.

52. Селиверстова Е.С. О двух моделях автоколебаний в нефизических системах // Изв. вузов. ПНД. 2013. Т. 21, No 3. С. 112.

53. Хохлов Р.В. К теории захватывания при малой амплитуде внешней силы // ДАН СССР. 1954. Т. 97, No 3. С. 411.

54. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003, 494 с. (Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: a universal concept in nonlinear sciences, Cambridge university press, 2001, 432 p.)

55. Balanov A.G., Janson N.B., Postnov D.E., Sosnovtseva O. Synchronization: from simple to complex. Springer, 2009. 437 p.

56. Rand R., Holmes P.J. Bifurcation of periodic motions in two weakly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1980. Vol. 15. P. 387.

57. Ivanchenko M., Osipov G., Shalfeev V., Kurths J. Synchronization of two non-scalar-coupled limit-cycle oscillators // Physica D. 2004. Vol. 189, No 1–2. P. 8.

58. Adler R.A. A study of locking phenomena in oscillators// Proc. IRE. June 1946. Vol.34, No34. P.351.

59. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Связанные осцилляторы ван дер Поля и ван дер Поля–Дуффинга: Фазовая динамика и компьютерное моделирование // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16, No 4. С. 101.

60. Kuznetsov A.P., Stankevich N.V., Turukina L.V. Coupled van der Pol–Duffing oscillators: Phase dynamics and structure of synchronization tongues // Physica D. 2009. Vol. 238, No 14. P. 1203.

61. Кузнецов А.П., Паксютов В.И., Роман Ю.П. Особенности синхронизации в системе неидентичных связанных осцилляторов ван дер Поля и ван дер Поля –Дуффинга. Широкополосная синхронизация // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15, No 4. С. 3.

62. Kuznetsov A.P., Roman Ju.P. Properties of synchronization in the systems of non-identical coupled van der Pol and van der Pol–Duffing oscillators. Broadband synchronization // Physica D. 2009. Vol. 238, No 16. P. 1499.

63. Кузнецов А.П., Емельянова Ю.П., Селезнев Е.П. Синхронизация связанных автоколебательных систем с неидентичными параметрами // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, No 2. С. 62.

64. Astakhov V., Koblyanskii S., Shabunin A., Kapitaniak T. Peculiarities of the transitions to synchronization in coupled systems with amplitude death // Chaos. 2011. Vol. 21, No 2. 023127(12).

65. Baesens С., Guckenheimer J., Kim S., MacKay R.S. Three coupled oscillators: mode locking, global bifurcations and toroidal chaos // Physica D. 1991. Vol. 49. PP. 387.

66. Emelianova Yu.P., Kuznetsov A.P., Sataev I.R., Turukina L.V. Synchronization and multi-frequency oscillations in the low-dimensional chain of the self-oscillators // Physica D. 2013. Vol. 244, No 1. P. 36.

67. Емельянова Ю.П., Кузнецов А.П., Тюрюкина Л.В. Динамика трех неидентичных по управляющим параметрам связанных осцилляторов ван дер Поля // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19, No 5. С. 76.

68. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Turukina L.V. About Landau–Hopf scenario in a system of coupled self-oscillators // Physics Letters A. 377. 2013. 3291.

69. Emelianova Y.P., Kuznetsov A.P., Turukina L.V., Sataev I.R., Chernyshov N.Yu. A structure of the oscillation frequencies parameter space for the system of dissipa-tively coupled oscillators // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2014. Vol. 19, No 4. P. 1203.

70. Mendelowitz L., Verdugo A., Rand R. Dynamics of three coupled limit cycle oscillators with application to artificial intelligence // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2009. Vol. 14, Issue 1, January. P. 270.

71. Rand R., Wong J. Dynamics of four coupled phase-only oscillators // Communi-cations in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2009. Vol. 14, Issue 11, November. P. 3901.

72. Hong H., Strogatz S.H. Kuramoto Model of Coupled Oscillators with Positive and Negative Coupling Parameters: An Example of Conformist and Contrarian Oscillators // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 106. 054102.

73. Hong H., Strogatz S.H. Mean-field behavior in coupled oscillators with attractive and repulsive interactions // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85. 056210.

74. Borgers C., Kopell N. Synchronization in networks of excitatory and inhibitory neurons with sparse, random connectivity // Neural Computation, 2003. Vol. 15. P. 509.

75. Rompala K., Rand R., Howland H. Dynamics of three coupled van der Pol oscillators with application to circadian rhythms // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2007. Vol. 12, No 5. P. 794.

76. Кузнецов А.П., Чернышов Н.Ю., Тюрюкина Л.В. Синхронизация и квазипериодические колебания трех реактивно связанных осцилляторов // Нелинейная динамика. 2013. Т. 9, No 1. С. 11.

77. Pikovsky A., Rosenau P. Phase compactons // Physica D. 2006. Vol. 218. P. 56.

78. Topaj D. and Pikovsky A. Reversibility vs synchronization in oscillator lattices // Physica D. 2002. Vol. 170. P. 118.

79. Bridge J., Rand R., Sah S.M. Dynamics of a ring network of phase-only oscillators // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation Vol. 14, Issue 11, November 2009. P. 3901.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF):