РОЖДЕНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ МНОГОСЛОЙНОЙ ЗАМКНУТОЙ КРИВОЙ В НЕОБРАТИМЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ

В статье обсуждается новый феномен, открытый авторами совсем недавно в двумерных эндоморфизмах, демонстрирующих переход к хаосу через разрушение замкнутой инвариантной кривой. Как известно, при рациональном числе вращения на этой кривой имеется четное число периодических орбит, половина из которых устойчивые, а половина – седловые, а сама кривая образована замыканием неустойчивых могогообразий седловых циклов. Как оказалось, если отображение необратимо, то седловая периодическая орбита, лежащая на замнкутой инвариантной кривой, обычно претерпевает бифуркацию удвоения периода или бифуркацию вилки. В результате этого на инвариантной кривой мягко рождаются два новых «слоя», образованные неустойчивыми многообразиями седлового цикла удвоенного периода или неустойчивыми многообразиями двух седловых циклов того же периода в случае бифуркации вилки.

 

Литература

1. Афраймович В. С., Шильников Л. П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность //Методы качественной теории диффернециальных уравнений. Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1983. С. 3.

2. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций //Современные проблемы математики: фундаментальные направления /Под ред. В. И. Арнольда. М.: ВИНИТИ, 1986.

3. Anishchenko V. S., Astakhov V. V., Neiman A. B., Vadivasova T. E., Schimansky-Geier L. Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. Tutorial and Modern Development. Berlin: Springer, 2007.

4. Maistrenko V., Maistrenko Yu., Mosekilde E. Torus breakdown in noninvertible maps // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67. P. 046215.

5. Frouzakis C. E., Kevrekidis I. G., Peckhman B. B. A route to computational chaos revisited: noninvertibility and breakup of an invariant circle // Physica D. 2003. Vol. 177. P. 101.

6. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise- Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, 2003.

7. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., De S., Banerjee S. Transition from phase-locked dynamics to chaos in a piecewise-linear map // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 77. P. 026206.

8. Lorenz E. N. Computational chaos – a prelude to computational instability // Physica D. 1989. Vol. 35. P. 299.

9. Krauskopf B., Osinga H. M., Peckham B. B. Unfolding the cusp-cusp bifurcation of planar endomorphisms // SIAM J. Applied Dynamical Systems. 2007. Vol. 6(2). P. 403.

10. England J. P., Krauskof B., Osinga H. M. Bifurcations of stable sets in noninvertible planar maps // Int. J. Bifurcat. Chaos. 2005. Vol. 15. P. 891.

11. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Birth of bilayered torus and torus breakdown in a piecewise-smooth dynamical system // Phys. Lett. A. 2006. Vol. 351. P. 167.

12. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Formation and destruction of multilayered tori in coupled map systems // Chaos. 2008. Vol. 18. P. 037124.

13. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Multilayered tori in a system of two coupled logistic maps // Phys. Lett. A. 2009. Vol. 373. P. 946.

14. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Novel routes to chaos through torus breakdown in noninvertible maps // Physica D. 2009. Vol. 283. P. 589.

15. Mira C., Gardini L., Barugols A., Cathala J. C. Chaotic Dynamics in Two-Dimensional Noninvertible Maps. Singapore: World Scientific, 1996.

16. Frouzakis C. E., Gardini L., Kevrekidis I. G., Millerioux G., Mira C. On some properties of invariant sets of two-dimensional noninvertible maps // Int. J. Bifurcat. Chaos. 1997. Vol. 7. P. 1167.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF): 
Текст в формате PDF: