БИФУРКАЦИИ ДВУМЕРНОГО ТОРА В КУСОЧНО-ГЛАДКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Исследуется динамика системы неавтономных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. В плоскости параметров численно и аналитически рассчитаны области с различным динамическим поведением. Показано, что в кусочно-гладких динамических системах наряду с классической бифуркацией Неймарка–Сакера существуют еще два механизма рождения инвариантного тора, не имеющие аналогов в гладких системах. В первом случае тор возникает из периодической орбиты через С-бифуркацию. Во втором случае инвариантный тор рождается из устойчивого состояния равновесия. Здесь состояние равновесия исчезает на С-бифуркационной границе и мягко сменяется неустойчивым циклом, окруженным резонансным или эргодическим тором.

Литература

1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

2. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994.

3. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, 2003.

4. Leine R.I., Nijmeijer H. Dynamics and Bifurcations of Non-Smooth Mechanical Systems. Berlin: Springer Verlag, 2004.

5. Арнольд В.И., Афраймович В.С., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций // Современные проблемы математики: фундаментальные направления /Под ред. В. И. Арнольда. М.: ВИНИТИ, 1986.

6. Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Neiman A.B., Vadivasova T.E., Schimansky-Geier L. Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. Tutorial and Modern Development. Berlin: Springer, 2007.

7. Фейгин М.И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-непрерывных системах // ПММ. 1970. Т. 34, вып. 5. С. 861.

8. di Bernardo M, Feigin M.I., Hogan S.J., Homer M.E. Local analysis of C-bifurcations in n-dimensional piecewise-smooth dynamical systems // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. Vol. 10, No 11. P. 1881.

9. Nusse H.E., Yorke J.A. Border-collision bifurcations including «period two to period three» for piecewise smooth systems // Physica D. 1992. No 57. P. 39.

10. Banerjee S., Ranjan P., Grebogi C. Bifurcations in two-dimensional piecewise smooth maps – theory and applications in switching circuits // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2000. Vol. 47, No 5. P. 633.

11. Zhusubaliyev Zh.T., Soukhoterin E.A., Mosekilde E. Border-collision bifurcations and chaotic oscillations in a piecewise-smooth dynamical system // Int. J. Bifurcation Chaos. 2001. Vol. 11, No 12. P. 1193.

12. di Bernardo M., Budd C. J., Champneys A.R. Grazing bifurcations in n-dimensional piecewise-smooth dynamical systems // Physica D. 2001. Vol. 160. P. 222.

13. Banerjee S., Verghese G.C. (Eds.) Nonlinear phenomena in power electronics. New York: IEEE Press, 2001.

14. Keener J., Sneyd J. Mathematical Physiology. New York: Springer Verlag, 1998.

15. Laugesen J., Mosekilde E. Border-collision bifurcations in a dynamic management game // Comp. Oper. Res. 2006. No 33. P. 464.

16. di Bernardo M., Budd C., Champneys A.R., Kowalczyk P., Nordmark A.B., Olivar G., Piiroinen P.T. Bifurcations in nonsmooth dynamical systems // SIAM Review. 2008. Vol. 50, No 4. P. 629.

17. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Torus birth bifurcation in a DC/DC converter // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2006. Vol. 53, No 8. P. 2006. 1839.

18. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Birth of bilayered torus and torus breakdown in a piecewise-smooth dynamical system // Phys. Lett. A. 2006. Vol. 351, No 3. P. 167.

19. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Maity S.M., Mohanan S., Banerjee S. Border collision route to quasiperiodicity: Numerical investigation and experimental confirmation // Chaos. 2006. Vol. 16. P. 023122-1–023122-11.

20. Кобзев А.В. Многозонная импульсная модуляция. Новосибирск: Наука, 1979.

21. Кобзев А.В., Михальченко Г.Я., Музыченко Н.М. Модуляционные источники питания РЭА. Томск: Радио и связь. Томский отдел, 1990.

22. Lai J.S., Peng F.Z. Multilevel converters – a new breed of power converters // IEEE Trans. Ind. Appl. 1996. Vol. 32, No 3. P. 509.

23. Meynard T.A., Foch H., Thomas P., Courault J., Jakob R., Nahrstaedt M. Multicell converters: Basic concepts and industry applications // IEEE Trans. Ind. Electron. 2002. Vol. 49, No 5. P. 955.

24. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Direct transition from a stable equilibrium to quasiperiodicity in non-smooth systems // Phys. Lett. A. 2008. Vol. 372, No 13. P. 2237.

25. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб.: Изд-во СПб ун-та, 1993.

26. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF): 
Текст в формате PDF: