БИФУРКАЦИЯ БОГДАНОВА–ТАКЕНСА: ОТ НЕПРЕРЫВНОЙ К ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ

Обсуждается методически важная бифуркация – Богданова–Такенса. Для простейшей модели описаны связанные с ней бифуркации и эволюция фазовых портретов. Представлены примеры нелинейных систем с такой бифуркацией. Обсуждается метод построения дискретных моделей, основанный на полуявной схеме Эйлера. На основе непрерывного прототипа построена дискретная модель осциллятора Богданова–Такенса, дан аналитический анализ ее бифуркаций коразмерности один и два. Методом карт динамических режимов выявлена картина языков синхронизации и продемонстрировано свойство скейлинга. Даны иллюстрации разрушения и исчезновения инвариантной кривой. Обсуждается еще одно отображение, удобное для учебных целей – отображение Богданова. Представлены некоторые Интернет-ресурсы, интересные с методической точки зрения.

 
Литература

1. Ван Д., Ли Ч., Чоу Ш.-К. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. М.: МЦНМО, 2005. 416 c.

2. Kuznetsov Yuri A. Elements of applied bifurcation theory. New York: Springer, 1998. 593 p.

3. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Ижевск: РХД, 2002. 560 с.

4. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания. М.: Физ-матлит, 2002. 292 с.

5. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Физматлит, 1997. 496 с.

6. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. 360 с.

7. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 496 с.

8. Интернет-ресурс «Encyclopedia of dynamical systems», страница «FitzHugh–Nagumo model», http://www.scholarpedia.org/article/FitzHugh–Nagumo_model.

9. Barnes B., Grimshaw R. J. Analytical and numerical studies of the Bonhoeffer Van der Pol system // Austral. Math. Soc., Ser. B. 1997. Vol. 38. P. 427.

10. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 312 с.

11. Постнов Д.Э. Бифуркации регулярных аттракторов. Учебное пособие. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1996. 102 с.

12. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2006.

13. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1990. 240с.

14. Чириков Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности. Препринт ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск, 1969.

15. Сухаревский В.В. Перерассеяние частиц в поле сил ангармонического осциллятора со слабо-диссипативным возмущением. Автореф. дис... канд. физ.-мат.наук / МГУ, 2005.

16. Сухаревский В.В. Бистабильные состояния в отображении Богданова // Вестник МГУ, серия «Математика. Механика». 2003. No 5. С. 3.

17. Сухаревский В.В. Оценка температуры и плотности частиц в слабо-диссипативной теории Колмогорова–Арнольда–Мозера // Вестник МГУ, серия «Физика. Астрономия». 2005. No6. С. 28.

18. Морозов А. Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах // Серия современная математика. Москва – Ижевск: РХД, 2005. 424 с.

19. Arrowsmith D.K., Cartwright J.H.E., Lansbury A.N., Place C.M. The Bogdanov map: bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3, No 4. P. 803.

20. Богданов Р.И., Богданов Р.М. Турбулентность в слабо диссипативной версии КАМ // Тез. докл. Межд. Конф. «Анализ и особенности», посвященной 70-летию В.И. Арнольда. М.: МИАН, 2007. С. 35.

21. Gonchenko V.S., Kuznetsov Yu.A., Meijer H.G.E. Generalized Henon map and bifurcations of homoclinic tangencies // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2005. Vol. 4. P. 407.

22. Гонченко С.В., Стенькин Н.В., Шильников Л.П. О существовании счетного множества устойчивых и неустойчивых инвариантых торов у систем из областей Ньюхауса с гетероклиническими касаниями // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2, No 1. С. 3.

23. Гонченко С.В., Гонченко А.С. К вопросу о классификации линейных и нелинейных подков Смейла // Нелинейная динамика. 2007. Т. 3, No 4. С. 423.

24. Kuznetsov Yu.A., Meijer H.G.E., van Veen L. The fold-flip bifurcation // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2004. Vol. 14. P. 2253.

25. Гонченко С.В. Подковы Смейла и их бифуркации в обобщенных отображениях Эно // Тез. докл. Межд. Конф. «Анализ и особенности», посвященной 70-летию В.И. Арнольда. М.: МИАН, 2007. С. 43.

26. Meijer H.G.E. Codimension 2 bifurcations of iterated maps // Ph.D. Thesis Utrecht University. Интернет-ресурс: http://igitur-archive.library.uu.nl/dissertations/2006- 1204-200716/ind....

27. Интернет-страница Yuri A. Kuznetsov: www.math.uu.nl/people/kuznet/

28. Кузнецов А.П., Савин А.В. О возможности реализации квазипериодических режимов при переходе к неустойчивой по Лагранжу динамике // Письма в ЖТФ. 2006. Т. 32, вып. 21. С. 18.

29. Интернет-ресурс «Карты динамических режимов», http://sgtnd.narod.ru/science/atlas/rus/index.htm.

30. Интернет-ресурс «Карты ляпуновских показателей», http://sgtnd.narod.ru/chair/rus/index.htm.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF): 
Текст в формате PDF: