ISSN 0869-6632 (Online)
ISSN 2542-1905 (Print)


Cite this article as:

Kuznecov A. P., Sataev I. R., Tjurjukina L. V. On the way towards multidimensional tori. Izvestiya VUZ, 2010, vol. 18, iss. 6, pp. 65-84. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2010-18-6-65-84

Language: 
Russian

On the way towards multidimensional tori

Autors: 
Kuznecov Aleksandr Petrovich, Saratov State University
Sataev Igor Rustamovich, Saratov Branch of Kotel`nikov Institute of Radiophysics and Electronics of Russian Academy of Sciences
Tjurjukina Ljudmila Vladimirovna, Saratov State University
Abstract: 

The problem of the dynamics of three coupled self­oscillators and three coupled periodically driven self­oscillators is discussed, in the last case only one of the oscillators is directly exited by the external fore. The regions of complete synchronization, two­, three­and four­frequency tori and chaos are revealed. Three typical situations of synchronization of three self­oscillators by the external driving are found. First situation refers to the mode locking of autonomous oscillators. Two other situations refer to quasi­periodic dynamics in the coupled autonomous oscillators. It is shown that multi­dimensional tori are not replaced by chaos and may dominate in the latter two cases. For the non­autonomous system under consideration the types of dynamics of three coupled oscillators are found, for which the complete synchronization of the system by the external driving is impossible independently of signal’s amplitude and frequency.

DOI: 
10.18500/0869-6632-2010-18-6-65-84
References: 

1. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 494 с. 2. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. 360 с. 3. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. 495 с. 4. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981. 351 с. 5. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Стрелкова Г.И. Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008. 144 с. 6. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР. 1944. Т. 44, No 8. С. 339. 7. Hopf E. A mathematical example displaying the features of turbulence // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1948. Vol. 1. C. 303. 8. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Commun. Math. Phys. 1971. Vol. 20, No 3. P. 167. 9. Anishchenko V., Nikolaev S., Kurths J. Bifurcational mechanisms of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // CHAOS. 2008. Vol. 18. 037123 (7 pages). 10. Анищенко В.С., Николаев С.М. Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4, No 1. C. 39. 11. Анищенко В.С., Николаев С.М. Синхронизация квазипериодических колебаний с двумя частотами // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16, No 2. C. 69. 12. Anishchenko V., Astakhov S., Vadivasova T. Phase dynamics of two coupled oscillators under external periodic force // Europhysics Letters. 2009. Vol. 86. P. 30003. 13. Анищенко В.С., В.В. Астахов, Вадивасова Т.Е., Феоктистов А.В. Численное и экспериментальное исследование внешней синхронизации двухчастотных колебаний // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, No 2. С. 237. 14. Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина Л.В. Синхронизация квазипериодических колебаний связанных фазовых осцилляторов // Письма в ЖТФ. 2010. Т. 36, No 10. С. 73. 15. Матросов В.В., Касаткин Д.В. Особенности динамики трех каскадно связанных генераторов с фазовым управлением // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004. Т. 12, No. 1–2. С. 159. 16. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Режимы поведения системы двух взаимосвязанных генераторов с фазовым управлением // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8, No. 4. С. 52. 17. Матросов В.В., Корзинова М.В. Коллективная динамика каскадного соединения фазовых систем // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2, No 2. С. 10. 18. Мельникова В.А. Кандидатская диссертация «О синхронизации многомодовых генераторов», 1977. 19. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания, 2-е изд. М.: Физматлит, 2005. 292 с. 20. Battelino P.M. Persistence of three-frequency quasiperiodicity under large perturbations // Phys. Rev. A. 1988. Vol. 38, P. 1495. 21. Pazo D., Sanchez E., Matias M.A. Transition to high-dimensional chaos through quasiperiodic motion // Journal of Bifurcation and Chaos. 2001. Vol. 11, No 10. P. 2683. 22. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Том 1. 2000. 149 с. 23. Keith W.L., Rand R.H. 1:1 and 2:1 phase entrainment in a system of two coupled limit cycle oscillators // Journal of Mathematical Biology. 1984. Vol. 20. P. 133. 24. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 296 с. 25. Baesens С., Guckenheimer J., Kim S. and MacKay R.S. Three coupled oscillators: mode locking, global bifurcations and toroidal chaos // Physica D. 1991. Vol. 49. P. 387. 26. Linsay P.S., Cumming A.W. Three-frequency quasiperiodicity, phase locking, and the onset of chaos // Physica D. 1989. Vol. 40. P. 196. 27. Ashwin P., Burylko O., Maistrenko Y. Bifurcation to heteroclinic cycles and sensitivity in three and four coupled phase oscillators // Physica D. 2008. Vol. 237. P. 454. 28. Karabacak O., Ashwin P. Heteroclinic Ratchets in a System in Networks of Coupled Oscillators // J. Nonlinear Sci. 2010. Vol 20. P. 105.

Short text (in English): 
Full text: