Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Бесчастнов Ю. Н. Моделирование динамики цены криптовалют через неявные стохастические полиномиальные связи и теорию катастроф // Известия вузов. ПНД. 2026. Т. 34, вып. 4. С. 517-545. DOI: 10.18500/0869-6632-003220, EDN: XKAAHD

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF and_2026-4_beschastnov_517-545.pdf
(загрузок: 2)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Моделирование глобальных процессов. Нелинейная динамика и гуманитарные науки.
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
530.182
DOI: 
10.18500/0869-6632-003220
EDN: 
XKAAHD

Моделирование динамики цены криптовалют через неявные стохастические полиномиальные связи и теорию катастроф

Авторы: 
Бесчастнов Юрий Николаевич, Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН
Аннотация: 

 Работа посвящена созданию теоретической модели криптовалютных микрокризисов (резкого расхождения ожиданий участников рынка), в которой режимы и их переключения являются внутренним свойством системы, а не задаются извне.

Цель — переход от экзогенных моделей с переключениями к эндогенной модели на базе теории ката строф. Основные задачи: (1) формализация модели через стохастические полиномиальные связи; (2) анализ решений этой системы; (3) вывод уравнений динамики и разработка метода выделения корней.

Главные результаты: разработан метод выделения стохастических корней, решающий проблему бесконечного числа решений; получены замкнутые формулы для сингулярных стохастических дифференциальных уравнений, описывающих динамику стохастических корней многочлена; представлена калибровка модели на симуляционных данных для катастрофы А+3, демонстри рующая способность подхода воспроизводить ключевые стилизованные факты многорежимности временного ряда. Полученный аппарат открывает дальнейшие перспективы для управления рисками на высоковолатильных рынках.

Ключевые слова: 
теория катастроф
бифуркации
стохастические полиномиальные связи
микрокризисы
сингулярные стохастические дифференциальные уравнения
Благодарности: 
Моим научным наставникам Г. Г. Малинецкому и В. А. Громову.
Список источников: 
  1. Bergomi L. Stochastic Volatility Modeling. Boca Raton: CRC Press, 2015. 522 p.
  2. Nguyen H.-D., Yin G.G., Zhu C. Hybrid Switching Diffusions. Cham: Springer, 2009. 541 p. DOI: 10.1007/978-3-031-93303-5.
  3. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1984. Т 1. 350 c.
  4. Cherny A.S., Engelbert H.-J. Singular Stochastic Differential Equations. Berlin: Springer, 2005. 128 p. DOI: 10.1007/b104187.
  5. Yin G.G., Zhang Q. Continuous-Time Markov Chains and Applications: A Two-Time-Scale Approach. New York: Springer, 2012. 430 p. DOI: 10.1007/978-1-4614-4346-9.
  6. Bauerle N., Rieder U. Markov Decision Processes with Applications to Finance. Berlin: Springer, 2011. 388 p. DOI: 10.1007/978-3-642-18324-9.
  7. Bujorianu L.M. Stochastic Reachability Analysis of Hybrid Systems. London: Springer, 2012. 250 p. DOI: 10.1007/978-1-4471-2795-6.
  8. Jourdain B., Zhou A. Existence of a calibrated regime switching local volatility model // Mathematical Finance. 2020. Vol. 30, no. 2. P. 501–546. DOI: 10.1111/mafi.12231.
  9. Lux T. Estimation of regime-switching diffusions via Fourier transforms // Statistics and Computing. 2024. Vol. 34, no. 2. P. 88. DOI: 10.1007/s11222-024-10397-6.
  10. Bect J. A unifying formulation of the Fokker–Planck–Kolmogorov equation for general stochastic hybrid systems // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 2010. Vol. 4, no. 2. P. 357–370.linebreak. DOI: 10.1016/j.nahs.2009.07.008.
  11. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений.linebreak М.: Наука, 1969. 527 c.
  12. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа.linebreak М.: Наука, 1975. 511 c.
  13. Sidorov N., Sidorov D., Sinitsyn A.V. Toward General Theory of Differential-Operator and Kinetic Models. Singapore: World Scientific, 2020. 496 p. DOI: 10.1142/11651.
  14. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж. 1990. Т. 37. С. 3–87.
  15. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. 232 c.
  16. Kuznetsov Y.A. Elements of Applied Bifurcation Theory. Cham: Springer, 2023. 703 p.linebreak. DOI: 10.1007/978-3-031-22007-4.
  17. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения / Под ред. Дж.Б. Келлера и С. Антмана; пер. с англ. Б.В. Логинова и Л.С. Срубщика; под ред. В.А. Треногина и В.И. Юдовича. М.: Мир, 1974. 254 c.
  18. Gromov V.A. Catastrophes of cylindrical shell // In: Dutta H. (ed) Mathematical Modelling: Principle and Theory. Providence: American Mathematical Society, 2023. P. 215–244. DOI: 10.1090/conm/786/15798.
  19. Громов В.А., Томащук К.К., Бесчастнов Ю.Н., Сидоренко А.А., Какурин В.В. Метод построения полной бифуркационной картины краевой задачи для нелинейных уравнений в частных производных: применение теоремы Колмогорова–Арнольда // Известия вузов. ПНД. 2025. Т. 33, № 4. С. 435–465. DOI: 10.18500/0869-6632-003160.
  20. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 126 с.
  21. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения. М.: Мир, 1980. 607 с.
  22. Rosser J.B. From Catastrophe to Chaos: A General Theory of Economic Discontinuities. New York: Springer, 2013. 402 p. DOI: 10.1007/978-1-4613-3796-6.
  23. Олемской А.И., Харченко Д.О. Самоорганизация самоподобных стохастических систем.linebreak M.: Ижевский институт компьютерных исследований, 2007. 296 c.
  24. Arnold L. Random dynamical systems // In: Johnson R. (ed) Dynamical Systems. Berlin: Springer, 2006. P. 1–43. DOI: 10.1007/BFb0095238.
  25. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН. 2003. Т. 173, № 8. С. 847–876. DOI: 10.3367/UFNr.0173.200308c.0847.
  26. Curado E.M.F., Nobre F.D. Derivation of nonlinear Fokker-Planck equations by means of approximations to the master equation // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67, no. 2. P. 021107. DOI: 10.1103/PhysRevE.67.021107.
  27. Хорстхемке В., Лефевер Р. Индуцированные шумом переходы: Теория и применение в физике, химии и биологии. М.: Мир, 1987. 397 c.
  28. Berglund N., Gentz B. Noise-Induced Phenomena in Slow-Fast Dynamical Systems. London: Springer, 2006. 276 p. DOI: 10.1007/1-84628-186-5.
  29. Baruník J., Vosvrda M. Can a stochastic cusp catastrophe model explain stock market crashes? // Journal of Economic Dynamics and Control. 2009. Vol. 33, no. 10. P. 1824–1836. DOI: 10.1016/j.jedc.2009.04.004.
  30. Brock W.A., Hommes C.H. A rational route to randomness // Econometrica. 1997. Vol. 65, no. 5. P. 1059–1095. DOI: 10.2307/2171879.
  31. Brock W.A., Hommes C.H. Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simple asset pricing model // Journal of Economic Dynamics and Control. 1998. Vol. 22, no. 8–9. P. 1235–1274. DOI: 10.1016/S0165-1889(98)00011-6.
  32. Aoki M., Yoshikawa H. Reconstructing Macroeconomics: A Perspective from Statistical Physics and Combinatorial Stochastic Processes. Cambridge: Cambridge University Press, 2011. 352 p.
  33. Voit J. The Statistical Mechanics of Financial Markets. Berlin: Springer, 2005. 378 p.linebreak. DOI: 10.1007/b137351.
  34. Kaplan G., Moll B., Violante G.L. Monetary policy according to HANK // American Economic Review. 2018. Vol. 108, no. 3. P. 697–743. DOI: 10.1257/aer.20160042.
  35. Auclert A., Bardoczy B., Rognlie M., Straub L. Using the sequence‐space Jacobian to solve and estimate heterogeneous‐agent models // Econometrica. 2021. Vol. 89, no. 5. P. 2375–2408. DOI: 10.3982/ECTA17434.
  36. Dawid H., Harting P., van der Hoog S., Neugart M. Macroeconomics with heterogeneous agent models: fostering transparency, reproducibility and replication // Journal of Evolutionary Economics. 2019. Vol. 29. P. 467–538. DOI: 10.1007/s00191-018-0594-0.
  37. Engelbert H.J., Schmidt W. On solutions of one-dimensional stochastic differential equations without drift // Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiete. 1985. Vol. 68. P. 287–314. DOI: 10.1007/BF00532642.
  38. Girsanov I.V. An example of non-uniqueness of the solution of the stochastic equation of K. Ito // Theory Probab. Appl. 1962. Vol. 7, no. 3. P. 325–331. DOI: 10.1137/1107031.
  39. Cherny A.S. On the uniqueness in law and the pathwise uniqueness for stochastic differential equations // Theory Probab. Appl. 2002. Vol. 46, no. 3. P. 406–419. DOI: 10.1137/S0040585X97979093.
  40. Kolodziejczyk M., Ottobre M., Simpson G. Counting the number of stationary solutions of partial differential equations via infinite dimensional sampling // Philos. Trans. A Math. Phys. Eng. Sci. 2025. Vol. 383, no. 2298. P. 20240239. DOI: 10.1098/rsta.2024.0239.
  41. Frank T.D. Nonlinear Fokker-Planck Equations: Fundamentals and Applications. Berlin: Springer, 2005. 408 p. DOI: 10.1007/b137680.
  42. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики // Известия вузов. ПНД. 2001. Т. 9, № 3. С. 119–121.
  43. Jain K., Firoozye N., Kochems J., Treleaven P. Limit order book simulations: A review // arXiv:2402.17359. arXiv Preprint, 2024. DOI: 10.48550/arXiv.2402.17359.
  44. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986. 512 c.
  45. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 598 c.
  46. Gelfand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky A.V. Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants. Boston: Birkhäuser, 1994. 523 p. DOI: 10.1007/978-0-8176-4771-1.
  47. Duffie D., Singleton K.J. Simulated moments estimation of Markov models of asset prices // NBER Technical Working Papers 0087. New York: National Bureau of Economic Research, Inc., 1990.
  48. Martínez-Iriarte J., Sun Y., Wang X. Asymptotic F tests under possibly weak identification // Journal of Econometrics. 2020. Vol. 218, no. 1. P. 140–177. DOI: 10.1016/j.jeconom.2019.10.011.
Поступила в редакцию: 
11.02.2026
Принята к публикации: 
03.05.2026
Опубликована онлайн: 
12.05.2026
Опубликована: 
31.07.2026
  • 447 просмотров