ANALYSIS OF ATTRACTORS FOR STOCHASTICALLY FORCED «PREDATOR–PREY» MODEL


Cite this article as:

Bashkirtseva I. A., Karpenko L. V., Ryashko L. B. ANALYSIS OF ATTRACTORS FOR STOCHASTICALLY FORCED «PREDATOR–PREY» MODEL. Izvestiya VUZ, Applied Nonlinear Dynamics, 2009, vol. 17, iss. 2, pp. 37-53 DOI: 10.18500/0869-6632-2009-17-2-37-53


We consider the population dynamics model «predator–prey». Equilibria and limit cycles of system are studied from both deterministic and stochastic points of view. Probabilistic properties of stochastic trajectories are investigated on the base of stochastic sensitivity function technique. The possibilities of stochastic sensitivity function to analyse details and thin features of stochastic attractors are demonstrated.

DOI: 
10.18500/0869-6632-2009-17-2-37-53
Literature

1. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1972, вып. 25. С. 100.

2. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.

3. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985.

4. Turchin P. Complex population dynamics: A theoretical/empirical synthesis, Princeton University Press, 2003.

5. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Институт компьютерных исследований, 2002.

6. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

7. Музычук О.В. Вероятностные характеристики системы «хищник–жертва» со случайно изменяющимися параметрами // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т. 5, No 2–3. С. 80.

8. Понтрягин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ. 1933. Т. 3, вып. 3. С. 165.

9. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.

10. Рытов С.М. Введение в стохастическую радиофизику. М.: Наука, 1976.

11. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М.: Наука, 1980.

12. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

13. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

14. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир, 1987. С. 400.

15. Landa P.S., McClintock P.V.E. Changes in the dynamical behavior of nonlinear systems induced by noise // Physics Reports. 2000. Vol. 323. P. 1.

16. Lindner B., Garcia-Ojalvo J., Neiman A., Schimansky-Geier L. Effects of noise in excitable systems // Physics Reports. 2004. Vol. 392. P. 321.

17. Gammaitoni L. et al. Stochastic resonance // Rev. Mod. Phys. 1998. Vol. 70. P. 223.

18. McDonnell M.D., Stocks N.G., Pearce C.E.M., Abbott D. Stochastic resonance: From suprathreshold stochastic resonance to stochastic signal quantization. Cambridge University Press, 2008.

19. Matsumoto K., Tsuda I. Noise induced order // J. Stat. Phys. 1983. Vol. 31. P. 87.

20. Gassmann F. Noise-induced chaos-order transitions // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55. P. 2215.

21. Gao J.B., Hwang S.K., Liu J.M. When can noise induce chaos? // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. P. 1132.

22. Zaks M.A., Sailer X., Schimansky-Geier L., Neiman A.B. Noise induced complexity: From subthreshold oscillations to spiking in coupled excitable systems // Chaos. 2005. Vol. 15. P. 026117.

23. Agez G., Glorieux P., Taki M., Louvergneaux E. Two-dimensional noise-sustained structures in optics: Theory and experiments // Phys. Rev. A. 2006. Vol. 74. P. 043814.

24. Clerc M.G., Falcon C., Tirapegui E. Front propagation sustained by additive noise // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 74. P. 011303.

25. Arnold L. Random Dynamical Systems. Springer-Verlag, 1998.

26. Бланк М.Л. Конечномерные стохастические аттракторы бесконечномерных динамических систем // Функц. анализ и его прил. 1986. 20:2. C.54.

27. Бланк М.Л. Малые возмущения хаотических динамических систем // Успехи мат. наук. 1989. Т. 44, Вып. 6(270). С. 3.

28. Scheutzow M. Comparison of various concepts of a random attractor: A case study // Arch. Math. 2002. Vol. 78. P. 233.

29. Schmalfuss B. The random attractor of the stochastic Lorenz system // ZAMP. 1997. Vol. 48. P. 951.

30. Lefever R., Turner J. Sensitivity of a Hopf bifurcation to external multiplicative noise // Fluctuations and Sensitivity in Equilibrium Systems / ed. by W. Horsthemke and D.K. Kondepudi. Berlin: Springer. 1984. P. 143.

31. Lefever R., Turner J. Sensitivity of a Hopf bifurcation to multiplicative colored noise // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56. P. 1631.

32. Arnold L., Bleckert G., Schenk-Hoppe K. The stochastic Brusselator: Parametric noise destroys Hopf bifurcation // Stochastic Dynamics. Bremen. 1997. P. 71. New-York: Springer, 1999.

33. Malick K., Marcq P. Stability analysis of noise-induced Hopf bifurcation // Eur. Phys. J. 2003. Vol. 36. P. 119.

34. Leung H.K. Stochastic Hopf bifurcation in a biased van der Pol model // Physica A. 1998. Vol. 254. P. 146.

35. Namachchivaya N.Sri. Hopf bifurcation in the presence of both parametric and external stochastic excitations // J. Appl. Mech. 1988. Vol. 110. P. 923.

36. Schenk-Hoppe K.R. Bifurcation scenarios of the noisy Duffing–van der Pol oscillator // Nonlinear Dynamics. 1996. Vol. 11. P. 255.

37. Bashkirtseva I., Ryashko L., Schurz H. Analysis of noise-induced transitions for Hopf system with additive and multiplicative random disturbances// Chaos, Solitons and Fractals. 2009. Vol. 39. P. 7.

38. Bashkirtseva I. A., Ryashko L. B. Sensitivity analysis of the stochastically and periodically forced Brusselator // Physica A. 2000. Vol. 278. P. 126.

39. Fedotov S., Bashkirtseva I., Ryashko L. Stochastic dynamo model for subcritical transition // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73. P. 066307.

40. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

41. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Метод квазипотенциала в анализе чувствительности автоколебаний к стохастическим возмущениям // Изв.вузов.Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т. 6, No 5. С. 19.

42. Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б. Метод квазипотенциала в исследовании локальной устойчивости предельных циклов к случайным возмущениям // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. Т. 9, No 6. С. 104.

43. Rosenzweig M.L., MacArthur R.H. Graphical representation and stability conditions of predator-prey interactions// Amer. Natur. 1963. Vol. 97. P. 209.

44. Paladin G., Serva M., Vulpiani A. Complexity in dynamical systems with noise // Phys. Rev. Letters. 1995. Vol. 74, No 1. P. 66.

Status: 
одобрено к публикации
Short Text (PDF): 
Full Text (PDF): 

BibTeX

@article{Башкирцева -IzvVUZ_AND-17-2-37,
author = {I. A. Bashkirtseva and L. V. Karpenko and L. B. Ryashko},
title = {ANALYSIS OF ATTRACTORS FOR STOCHASTICALLY FORCED «PREDATOR–PREY» MODEL},
year = {2009},
journal = {Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics},
volume = {17},number = {2},
url = {http://andjournal.sgu.ru/en/articles/analysis-of-attractors-for-stochastically-forced-predator-prey-model},
address = {Саратов},
language = {russian},
doi = {10.18500/0869-6632-2009-17-2-37-53},pages = {37--53},issn = {0869-6632},
keywords = {Population dynamics,equilibria,limit cycles,stochastic sensitivity.},
abstract = {We consider the population dynamics model «predator–prey». Equilibria and limit cycles of system are studied from both deterministic and stochastic points of view. Probabilistic properties of stochastic trajectories are investigated on the base of stochastic sensitivity function technique. The possibilities of stochastic sensitivity function to analyse details and thin features of stochastic attractors are demonstrated. }}