ISSN 0869-6632 (Online)
ISSN 2542-1905 (Print)


Cite this article as:

Kuznecov A. P., Kuznecov S. P., Stankevich N. V. Autonomous generator of quasiperiodic oscillations. Izvestiya VUZ, 2010, vol. 18, iss. 2, pp. 51-61. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2010-18-2-51-61

Language: 
Russian

Autonomous generator of quasiperiodic oscillations

Autors: 
Kuznecov Aleksandr Petrovich, Saratov State University
Kuznecov Sergej Petrovich, Saratov Branch of Kotel`nikov Institute of Radiophysics and Electronics of Russian Academy of Sciences
Stankevich Natalija Vladimirovna, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Abstract: 

A simple autonomous three­dimensional system is introduced that demonstrates quasiperiodic self­oscillations and has as attractor a two­dimensional torus. The computing illustrations of quasiperiodic dynamics are presented: phase portraits, Fourie spectrums, graphics of Lyapunov exponents. The existing of Arnold tongues on the parametric plane and transition from quasiperiodic dynamics to chaos through destruction of invariant curve in the Poincare section are shown.

DOI: 
10.18500/0869-6632-2010-18-2-51-61
References: 

1. Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. 494 с. 2. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. 360 с. 3. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. 495 с. 4. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. 896 с. 5. Glazier J.A. and Libchaber A. Quasi-Periodicity and Dynamical Systems: An Experimentalist’s view. IEEE Trans // Circuits and Systems. 1988. Vol. 35, No 7. P. 790. 6. Izhikevich E.M. Neural excitability, spiking and bursting // International J. of Bifur- cation and Chaos. 2000. Vol. 10, No 6. P. 1171. 7. Straube R., Flockerzi D., Muller S.C., and Hauser M.J.B.  ? Origin of bursting pH oscillations in an enzyme model reaction system // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. 066205. 8. Shilnikov A. and Kolomiets M. Methods of the qualitative theory for the Hindmarsh- Rose model: A case study. A tutorial // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2008. Vol. 18, No 8. P. 2141. 9. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. Москва: Изд-во URSS, 2003. 416 с. 10. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР. 1944. Т. 44, No 8. P. 339. 11. Hopf E. A mathematical example displaying the features of turbulence // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1948. Vol. 1. P. 303. 12. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности. В сб. Странные аттракторы, под ред. Синая Я.Г. и Шильникова Л.П. М.: Мир, 1981. C. 117. 13. Tavakol R., Tworkovsky A. An example of quasiperiodic motion on T A. 1984. Vol. 100, No 6. P. 273 14. Анищенко В.С., В.В. Астахов, Вадивасова Т.Е, Стрелкова Г.И. Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008. 144 стр. 15. Anishchenko V., Nikolaev S., and Kurths J. Bifurcational mechanisms of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // CHAOS. 2008. Vol. 18. 037123. 16. Анищенко В.С., Николаев С.М. Механизмы синхронизации резонансного предельного цикла на двумерном торе // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4, No 1. C. 39. 17. Анищенко В.С., Николаев С.М. Синхронизация квазипериодических колебаний с двумя частотами // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16, No 2. C. 69. 18. Anishchenko V., Astakhov S. and Vadivasova T. Phase dynamics of two coupled oscillators under external periodic force // Europhysics Letters. 2009. Vol. 86. P. 30003. 19. Анищенко В.С., Астахов С.В., Вадивасова Т.Е., Феоктистов А.В. Численное и экспериментльное исследование внешней синхронизации двухчастотных колебаний // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, No 2. С. 237. 20. Anishchenko V.S., Nikolaev S.M., Kurths J. Peculiarities of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // Phys. Rev. Е. 2007. Vol. 76, 040101. 21. Anishchenko V., Nikolaev S. and Kurths J. Winding number locking on a two-dimensional torus: Synchronization of quasiperiodic motions // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73, 056202. 22. Анищенко В.С., Николаев С.М. Генератор квазипериодических колебаний. Бифуркация удвоения двумерного тора // Письма ЖТФ. 2005. Т. 31, вып. 19. P. 88. 23. Matsumoto T., Chua L., Tokunaga R. Chaos via torus breakdown // IEEE Transactions on Circuits and Systems. 1987. Vol. 34, No 3. С. 240. 24. Егоров Е.Н., Короновский А.А., Храмов А.Е. Структура бассейнов притяжения аттракторов генератора «TORUS» // Радиотехника и электроника. 2004. Vol. 49,No 6. P. 720. 25. Nishiuchi Y., Ueta T. and Kawakami H. Stable torus and its bifurcation phenomena in a simple three-dimensional autonomous circuit // Chaos, Solitons & Fractals. 2006. Vol. 27, No 4. P. 941. 26. Zhusubaliyev Zh.T. and Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. World Scientific, New Jersy, London, Singapore, Hong-Kong, 2003. 372 p. 27. Genesio R. and Ghilardi C. On the onset of quasi-periodic solutions in third-order nonlinear dynamical systems // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15, 3165. 28. Wu Wen-Juan W.-J., Chen Z.-Q., and Yuan Z.-Z. Analysis of two-torus in a new four-dimensional autonomous system // Chinese Physics B. 2008. Vol. 17. P. 1674. 29. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания, 2-е изд. М.: Физматлит, 2005. 292 с. 30. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 296 с. 31. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them // Meccanica. 1980. Vol. 15. P. 9. 32. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 312 с.

Short text (in English): 
Full text: