БИФУРКАЦИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ НА ГРАНИЦЕ ХАОСА

Показано, что неподвижная точка уравнения ренормгруппы, отвечающая системе двух подсистем с однонаправленной связью – унимодального отображения с показателем степени экстремума κ и отображения, аккумулирующего сумму функций состояния первой подсистемы, претерпевает при изменении параметра κ бифуркацию удвоения периода, что приводит к рождению цикла периода 2 в уравнении ренормгруппы. При κ = 2 это решение отвечает ситуации на пороге возникновения хаоса, обозначаемой как критическое поведение типа C (Kuznetsov and Sataev, Phys. Lett., 1992, 236). На основе комбинации аналитических методов и численных расчетов построено и проанализировано асимптотическое разложение решения по степеням отклонения параметра κ от критического значения κc = 1.984396. Проведенное рассмотрение аналогично подходу, известному в теории фазовых переходов как ε-разложение, когда «тривиальная» неподвижная точка ренормгруппового преобразования претерпевает бифуркацию с появлением новой неподвижной точки, ответственной за универсальное критическое поведение с нетривиальными критическими индексами.

Ключевые слова: 
-
Литература

1. Feigenbaum M.J. Universal behavior in nonlinear systems // Physica D. 1983. Vol. 7. P. 16–39.

2. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. 1983. Т. 141, No 2. С. 343–374.

3. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин К.М. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм // УМН. 1984. Т. 39, No 3. С. 3–37.

4. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 424 с.

5. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 296 c.

6. Greene J.M., MacKay R.S., Vivaldi F., and Feigenbaum M.J. Universal behavior in families of area preserving maps // Physica D. 1981. Vol. 3. P. 468–486.

7. Collet P., Eckmann J.-P., and Koch H. On universality for area-preserving maps of the plane // Physica D. 1981. Vol. 3. P. 457–467.

8. Widom M. and Kadanoff L.P. Renormalization group analysis of area-preserving maps // Physica D. 1982. Vol. 5. P. 287–292.

9. Hu B. and Rudnick J. Exact solution of the Feigenbaum renormalization group equations for intermittency // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48. P. 1645–1648.

10. Feigenbaum M.J., Kadanoff L.P., and Shenker S.J. Quasiperiodicity in dissipative systems: A renormalization group analysis // Physica D. 1982. Vol. 5. P. 370–386.

11. Ostlund S., Rand D., Sethna J., and Siggia E.D. Universal properties of the transition from quasi-periodicity to chaos in dissipative systems // Physica D. 1983. Vol. 8. P. 303–342.

12. Collet P., Coullet P., and Tresser C. Scenarios under constraint// J. Physique Lett. 1985. Vol. 46. P. L143–L147.

13. Greene J.M. and Mao J. Higher-order fixed points of the renormalisation operator for invariant circles // Nonlinearity. 1990. Vol. 3. P. 69–78.

14. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу через удвоения периода в диссипативных динамических системах // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т. 2, No3–4. C. 90–105.

15. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., and Sataev I.R. A variety of period-doubling universality classes in multi-parameter analysis of transition to chaos // Physica D. 1997. Vol. 109. P. 91–112.

16. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Критическое поведение при переходе к хаосу через удвоения периода. Модельные отображения и ренормгрупповой анализ // В кн.: Нелинейные волны 2002 / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова и В.И.Некоркина. Н.Новгород: ИПФ РАН, 2003. C. 395–415.

17. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и ε-разложение. М.: Мир, 1975. 255 с.

18. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1978. Т. 1. 405 с.

19. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P. and Sataev I.R. Period doubling system under fractal signal: Bifurcation in the renormalization group equation // Chaos, Solitons and Fractals. 1991. Vol. 1. P. 355–367.

20. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Фрактальный сигнал и динамика систем, демонстрирующих удвоения периода // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3, No5. C. 64–87.

21. Kuznetsov S.P. and Sataev I.R. New types of critical dynamics for two-dimensional maps // Phys. Lett. A. 1992. Vol. 162. P. 236–242.

22. Kuznetsov S.P. and Sataev I.R. Period-doubling for two-dimensional non-invertible maps: Renormalization group analysis and quantitative universality // Physica D. 1997. Vol. 101. P. 249–269.

23. Hu B. and Mao J.M. Period doubling: Universality and critical-point order // Phys. Rev. A. 1982. Vol. 25. P. 3259–3261.

24. Hu B. and Satija I.I. A spectrum of universality classes in period-doubling and period tripling // Phys. Lett. A. 1983. Vol. 98. P. 143–146.

25. Hauser P.R., Tsallis C., and Curado E.M.F. Criticality of rouds to chaos of the 1 − a|x|

26. Guckenheimer J. and Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. New York, Springer, 1983.

27. Kuznetsov S.P. and Sataev I.R. Universality and scaling for the breakup of phase synchronization at the onset of chaos in a periodically driven Rossler oscillator // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. P. 046214.

28. Kuznetsov A.P., Turukina L.V., Savin A.V., Sataev I.R., Sedova J.V., and Milovanov S.V. Multi-parameter picture of transition to chaos // Izvestiya vuz. Applied Nonlinear Dynamics (Saratov). 2002. Vol. 10, No 3. P. 80–96. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF): 
Текст в формате PDF: