Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Гонченко С. В., Кайнов М. Н., Казаков А. О., Тураев Д. В. О методах проверки псевдогиперболичности странных аттракторов // Известия вузов. ПНД. 2021. Т. 29, вып. 1. С. 160-185. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-160-185

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF kazakov.pdf
(загрузок: 1384)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Бифуркации в динамических системах. Детерминированный хаос. Квантовый хаос.
Тип статьи: 
Обзорная статья
УДК: 
517.925 + 517.93
DOI: 
10.18500/0869-6632-2021-29-1-160-185

О методах проверки псевдогиперболичности странных аттракторов

Авторы: 
Гонченко Сергей Владимирович, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Кайнов Максим Н, Высшая школа экономики
Казаков Алексей Олегович, Высшая школа экономики
Тураев Дмитрий Владимирович, Имперский колледж Лондона
Аннотация: 

Тема работы – странные аттракторы многомерных отображений и потоков. Странные аттракторы можно разделить на две группы: настоящие аттракторы, которые сохраняют свою хаотичность при малых возмущениях, и квазиаттракторы (по Афраймовичу–Шильникову), внутри которых при малых возмущениях могут возникать устойчивые периодические траектории. Основная цель настоящей работы – это построение эффективных критериев, позволяющих различать такие аттракторы, а также проверка этих критериев с помощью численных экспериментов. В качестве «настоящих» аттракторов мы рассматриваем так называемые псевдогиперболические аттракторы. В работе дается их определение и описываются характеристические свойства, на основании которых строятся два вида численных методов, позволяющих проверить принципиально важное свойство псевдогиперболических аттракторов: непрерывность полей сильно сжимающих пространств и пространств, где есть растяжение объемов. В качестве примеров, на которых протестированы численные методы проверки псевдогиперболичности, рассматриваются классическое отображение Эно, сингулярно-гиперболическое отображение Лози, аносовский диффеоморфизм двумерного тора, классические системы Лоренца и Шимицу–Мориока, а также трехмерное отображение Эно.

Ключевые слова: 
хаотический аттрактор
псевдогиперболичность
квазиаттрактор
показатели Ляпунова
аттрактор Лоренца
отображение Эно
Благодарности: 
This work was supported by the RSF grants No. 19-11-00280 (Introduction, Sections 1 and 3.3) and 19-71-10048 (Sections 2 and 3). Numerical results with models in Section 3 were supported by the Laboratory of Dynamical Systems and Applications NRU HSE, of the Russian Ministry of Science and Higher Education (Grant No. 075-15-2019-1931). Authors also thank RFBR (grants 18-29-10081 and 19-01-00607) and the Theoretical Physics and Mathematics Advancement Foundation «BASIS». The authors also thank P.V. Kuptsov for fruitful discussion and useful comments.
Список источников: 
  1. Аносов Д.В., Арансон С.Х., Гринес В.З., Плыкин Р.В., Сатаев Е.А., Сафонов А.В., Солодов В.В., Старков А.Н., Степин А.М., Шлячков С.В. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». М.: ВИНИТИ, 1991. T. 66. С. 5–242.
  2. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, no. 2. P. 130–141. DOI: 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
  3. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР. 1977. T. 234, № 2. С. 336–339.
  4. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды ММО. 1982. Т. 44. С. 150–212.
  5. Плыкин Р.В. Источники и стоки А-диффеоморфизмов поверхностей // Матем. сб. 1974. Т. 94(136), № 2(6). С. 243–264. DOI: 10.1070/SM1974v023n02ABEH001719.
  6. Аносов Д.В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция // В книге:Математические события ХХ века. М.: ФАЗИС, 2003. С. 1–18.
  7. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Пример дикого странного аттрактора // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 2. С. 137–160. DOI: 10.4213/sm300.
  8. Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Turaev D.V. Wild pseudohyperbolic attractor in a four-dimensional Lorenz system // Nonlinearity. 2021. Vol. 34(2). P. 1–30.
  9. Guckenheimer J., Williams R.F. Structural stability of Lorenz attractors // Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1979. Vol. 50, no. 5. P. 59–72. DOI: 10.1007/BF02684769.
  10. Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // ДАН СССР. 1965. Т. 160, № 3. С. 558–561.
  11. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Матем. сб. 1970. Т. 81(123), № 1. С. 92–103. DOI: 10.1070/SM1970v010n01ABEH001588.
  12. Kuznetsov S.P. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale–Williams type // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95, no. 14. P. 144101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.95.144101.
  13. Кузнецов С.П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы. От математики к физике// Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2013. 488 с.
  14. Kuznetsov S.P. Some lattice models with hyperbolic chaotic attractors // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2020. Vol. 16, no. 1. P. 13–21. DOI: 10.20537/nd200102.
  15. Aframovich V.S., Shilnikov L.P. Strange attractors and quasiattractors // Nonlinear Dynamics and Turbulence (eds. G.I. Barenblatt, G. Iooss, D.D. Joseph), Boston, Pitmen. 1983.
  16. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Quasiattractors and homoclinic tangencies // Computers & Mathematics with Applications. 1997. Vol. 34, no. 2–4. P. 195–227. DOI: 10.1016/S0898-1221(97)00124-7.
  17. Galias Z., Tucker W. Is the Henon attractor chaotic? // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2015. Vol. 25, no. 3. P. 033102. DOI: 10.1063/1.4913945.
  18. Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I., Simo C., Turaev D.V. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15, no. 11. P. 3493–3508. DOI: 10.1142/S0218127405014180.
  19. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Шильников Л.П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 3–28. DOI: 10.20537/nd1201001.
  20. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized Henon maps // Physica D. 2016. Vol. 337. P. 43–57. DOI: 10.1016/j.physd.2016.07.006.
  21. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Hyperbolic attractor in a system of coupled non-autonomous van der Pol oscillators: Numerical test for expanding and contracting cones // Phys. Lett. A. 2007. Vol. 365, no. 1–2. P. 97–104. DOI: 10.1016/j.physleta.2006.12.071.
  22. Kuptsov P.V. Fast numerical test of hyperbolic chaos // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85, no. 1. P. 015203. DOI: 10.1103/PhysRevE.85.015203.
  23. Круглов В.П. Методика и результаты численной проверки гиперболической природы аттракторов для редуцированных моделей распределенных систем // Известия вузов. ПНД. 2014. Т. 22, № 6. С. 79–93. DOI: 10.18500/0869-6632-2014-22-6-79-93.
  24. Kuznetsov S.P., Kruglov V.P. Verification of hyperbolicity for attractors of some mechanical systems with chaotic dynamics // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. Vol. 21, no. 2. P. 160–174. DOI: 10.1134/S1560354716020027.
  25. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity in chaotic systems with multiple time delays // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. Vol. 56, no. 3. P. 227–239. DOI: 10.1016/j.cnsns.2017.08.016.
  26. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 2. С. 4–36. DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-2-4-36.
  27. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Kozlov A.D. Elements of contemporary theory of dynamical chaos: A tutorial. Part I. Pseudohyperbolic attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2018. Vol. 28, no. 11. P. 1830036. DOI: 10.1142/S0218127418300367.
  28. Kuptsov P.V., Politi A. Large-deviation approach to space-time chaos // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 107, no. 11. P. 114101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.107.114101.
  29. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа // ДАН. 2008. Т. 418, № 1. С. 23–27.
  30. Tucker W. The Lorenz attractor exists // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences - Series I - Mathematics. 1999. Vol. 328, no. 12. P. 1197–1202. DOI: 10.1016/S0764-4442(99)80439-X.
  31. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Turaev D.V. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. P. 1440005. DOI: 10.1142/S0218127414400057.
  32. Ginelli F., Poggi P., Turchi A., Chate H., Livi R., Politi A. ´ Characterizing dynamics with covariant Lyapunov vectors // Phys. Rev. Let. 2007. Vol. 99, no. 13. P. 130601. DOI: 10.1103/PhysRevLett.99.130601.
  33. Wolfe C.L., Samelson R.M. An efficient method for recovering Lyapunov vectors from singular vectors // Tellus A: Dynamic Meteorology and Oceanography. 2007. Vol. 59, no. 3. P. 355–366. DOI: 10.1111/j.1600-0870.2007.00234.x.
  34. Kuptsov P.V., Parlitz U. Theory and computation of covariant Lyapunov vectors // Journal of Nonlinear Science. 2012. Vol. 22, no. 5. P. 727–762. DOI: 10.1007/s00332-012-9126-5.
  35. Shilnikov A.L., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Normal forms and Lorenz attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3, no. 5. P. 1123–1139. DOI: 10.1142/S0218127493000933.
  36. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Samylina E. On discrete Lorenz-like attractors// International Journal of Bifurcation and Chaos. 2021 (в печати).
  37. Benedicks M., Carleson L. The dynamics of the Henon map // Annals of Mathematics. 1991. Vol. 133, no. 1. P. 73–169. DOI: 10.2307/2944326.
  38. Mora L., Viana M. Abundance of strange attractors // Acta mathematica. 1993. Vol. 171, no. 1. P. 1–71. DOI: 10.1007/BF02392766.
  39. Wang Q., Young L.-S. Toward a theory of rank one attractors // Annals of Mathematics. 2008. Vol. 167, no. 2. P. 349–480. DOI: 10.4007/annals.2008.167.349.
  40. Chigarev V., Kazakov A.O., Pikovsky A.S. Kantorovich–Rubinstein–Wasserstein distance between overlapping attractor and repeller // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2020. Vol. 30, no. 7. P. 073114. DOI: 10.1063/5.0007230.
  41. Быков В.В., Шильников А.Л. О границах области существования аттрактора Лоренца // Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1989. С. 151–159.
  42. Creaser J.L., Krauskopf B., Osinga H.M. Finding first foliation tangencies in the Lorenz system// SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2017. Vol. 16, no. 4. P. 2127–2164. DOI: 10.1137/17M1112716.
  43. Roshchin N.V. Unsafe stability boundaries of the Lorentz model // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1978. Vol. 42, no. 5. P. 1038–1041. DOI: 10.1016/0021-8928(78)90049-7.
  44. Шильников Л.П.. Теория бифуркаций и модель Лоренца // В книге: Марсден Дж., МакКракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. С. 317–335.
  45. Шильников Л.П. Избранные научные труды Л.П. Шильникова // Университет ННГУ им. Лобачевского (ред. Афраймович В.С., Беляков Л.А., Гонченко С.В., Лерман Л.М., Морозов А.Д., Тураев Д.В., Шильников А.Л.), 2017.
  46. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2 // Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2019. 546 с.
  47. Шильников А.Л. Бифуркации и хаос в модели Мариока–Шимицу. Часть 2 // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб. науч. тр. Горький: ГГУ, 1988. C. 130–138.
  48. Golmakani A. and Homburg A.J. Lorenz attractors in unfoldings of homoclinic-flip bifurcations // Dynamical Systems. 2011. Vol. 26, no. 1. P. 61–76. DOI: 10.1080/14689367.2010.503186.
  49. Xing T., Barrio R. and Shilnikov A.L. Symbolic quest into homoclinic chaos // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. P. 1440004. DOI: 10.1142/S0218127414400045.
  50. Сатаев Е.А. Отсутствие устойчивых траекторий у неавтономных возмущений систем типа системы Лоренца // Матем. сб. 2005. Т. 196, № 4. С. 99-134. DOI: https://doi.org/10.4213/sm1288.
  51. Shimizu T., Morioka N. On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one in a simple model // Phys. Lett. A. 1980. Vol. 76, no. 3–4. P. 201–204. DOI: 10.1016/0375-9601(80)90466-1.
  52. Шильников А.Л. Бифуркации и хаос в системе Мариока–Шимицу // Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. тематич. сб. науч. тр., Горький: ГГУ, 1986. С. 180–193.
  53. Shilnikov A.L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimizu-Morioka model // Physica D. 1993. Vol. 62, no. 1–4. P. 338–346. DOI: 10.1016/0167-2789(93)90292-9.
  54. Capinski M.J., Turaev D.V., Zgliczy ´ nski P. ´ Computer assisted proof of the existence of the Lorenz attractor in the Shimizu–Morioka system // Nonlinearity. 2018. Vol. 31, no. 12. P. 5410–5440. DOI: 10.1088/1361-6544/aae032.
  55. Gonchenko S.V., Gonchenko A.S., Ovsyannikov I.I., Turaev D.V. Examples of Lorenz-like attractors in Henon-like maps // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 2013. Vol. 8, no. 5. P. 48–70. DOI: 10.1051/mmnp/20138504.
  56. Gonchenko S.V., Meiss J.D., Ovsyannikov I.I. Chaotic dynamics of three-dimensional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation // Regular and Chaotic Dynamics. 2006. Vol. 11, no. 2. P. 191–212. DOI: 10.1070/RD2006v011n02ABEH000345.
  57. Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I., Tatjer J.C. Birth of discrete Lorenz attractors at the bifurcations of 3D maps with homoclinic tangencies to saddle points // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. Vol. 19, no. 4. P. 495–505. DOI: 10.1134/S1560354714040054.
  58. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. On global bifurcations in three-dimensional diffeomorphisms leading to wild Lorenz-like attractors // Regular and Chaotic Dynamics. 2009. Vol. 14, no. 1. P. 137–147. DOI: 10.1134/S1560354709010092.
  59. Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I. On global bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms leading to Lorenz-like attractors // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 2013. Vol. 8, no. 5. P. 71–83. DOI: 10.1051/mmnp/20138505.
  60. Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I. Homoclinic tangencies to resonant saddles and discrete Lorenz attractors // Discrete & Continuous Dynamical Systems Series S. 2017. Vol. 10, no. 2. P. 273–288. DOI: 10.3934/dcdss.2017013.
  61. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 18, no. 5. P. 521–538. DOI: 10.1134/S1560354713050055.
  62. Гонченко А.С., Самылина Е.А. Об области существования дискретного аттрактора Лоренца в неголономной модели кельтского камня // Известия вузов. Радиофизика. 2019. Т. 62, № 5. С. 412–428. DOI: 10.1007/s11141-019-09984-9.
Поступила в редакцию: 
18.12.2020
Принята к публикации: 
30.12.2020
Опубликована: 
01.02.2020
  • 3148 просмотров