ISSN 0869-6632 (Online)
ISSN 2542-1905 (Print)


Cite this article as:

Kuznecov A. P., Sataev I. R. Verification of hyperbolicity conditions for a chaotic attractor in a system of coupled nonautonomous van der pol oscillators. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2006, vol. 14, iss. 5, pp. 3-29. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2006-14-5-3-29

Language: 
Russian
Heading: 

Verification of hyperbolicity conditions for a chaotic attractor in a system of coupled nonautonomous van der pol oscillators

Autors: 
Kuznecov Aleksandr Petrovich, Saratov State University
Sataev Igor Rustamovich, Saratov Branch of Kotel`nikov Institute of Radiophysics and Electronics of Russian Academy of Sciences
Abstract: 

 We present a method and results of numerical computations on veri?cation of hyperbolic nature for the chaotic attractor in a system of two coupled nonautonomous van der Pol oscillators (Kuznetsov, Phys. Rev. Lett., 95, 2005, 144101). At selected parameter values, we indicate a toroidal domain in four-dimensional phase space of Poincar? e map (topologically, a direct product of a circle and a three-dimensional ball), which is mapped into itself and contains the attractor we analyze. In accordance with our computations, in this absorbing domain the conditions are valid guaranteeing hyperbolicity, which are formulated in terms of contracting and expanding cones in the vector spaces of the small state perturbations (the tangent spaces). We discuss also some numerical results illustrating certain attributes of hyperbolic dynamics.  

Key words: 
DOI: 
10.18500/0869-6632-2006-14-5-3-29
References: 

1. Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны / Под ред. А.В.Гапонова–Грехова. М.: Наука, 1979. С. 192. 2. Современные проблемы математики: Фундаментальные направления // Итоги науки и техники. Под ред. Р.В. Гамкрелидзе. М.: Изд. ВИНИТИ АН СССР, 1985. Т. 2. 3. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002. 559 с. 4. Devaney R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. NY: Addison-Wesley, 1989. 5. Shilnikov L. Mathematical problems of nonlinear dynamics: A Tutorial // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1997. Vol. 7, No 9. P. 1353. 6. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем / Пер. с англ. М.: Факториал, 1999. 768 c. 7. Afraimovich V. and Hsu S.-B. Lectures on chaotic dynamical systems // AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, Vol. 28, American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA, 2003. 8. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1993. 9. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 10. Бунимович Л.А., Синай Я.Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца // Нелинейные волны. Под ред. А.В.Гапонова–Грехова. М.: Наука, 1979. С. 212. 11. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР. 1977. Vol. 234. P. 336. 12. Шильников Л.П., Тураев Д.В. О катастрофах голубого неба // Доклады РАН. 1995. Т. 342 , No5. С. 596. 13. Hunt T.J. and MacKay R.S. Anosov parameter values for the triple linkage and a physical system with a uniformly chaotic attractor // Nonlinearity. 2003. Vol. 16. P. 499. 14. Hunt T.J. Low Dimensional Dynamics: Bifurcations of Cantori and Realisations of Uniform Hyperbolicity. PhD Thesis, Univ. of Cambridge, 2000 (http://www.timhunt.me.uk/maths/thesis.ps.gz). 15. Belykh V., Belykh I. and Mosekilde The hyperbolic Plykin attractor can exist in neuron models // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15, No 11. P. 3567. 16. Kuznetsov S.P. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale–Williams type // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 44101. 17. Кузнецов C.П., Селезнев Е.П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла – Вильямса // ЖЭТФ. 2006. Vol. 129, No 2. С. 400. 18. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975. 240 с. 19. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с. 20. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с. 21. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 22. LAPACK – Linear Algebra PACKage, version 3.0. May, 2000 (http://www.netlib.org/lapack). 23. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. Part {I}: Theory. Part {II}: Numerical application // Meccanica. 1980. Vol. 15. P. 9. 24. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. 25. Bunimovich L.A., Sinai Ya.G. Statistical mechanics of coupled map lattices // Theory and application of coupled map lattices / Ed. by K.Kaneko. John Wiley & Sons Ltd, 1993. P. 169. 26. Bunimovich L.A., Sinai Ya.G. Spacetime chaos in coupled map lattices // Nonlinearity. 1988. Vol. 1. P. 491.

Short text (in English): 
Full text: