Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Седова Н. О. Об асимптотической устойчивости по выходу для систем с запаздыванием // Известия вузов. ПНД. 2026. Т. 34, вып. 2. С. 183-205. DOI: 10.18500/0869-6632-003208, EDN: RIFMQY

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF and_2026-2_sedova_183-205.pdf
(загрузок: 25)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Бифуркации в динамических системах. Детерминированный хаос. Квантовый хаос.
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.929.7
DOI: 
10.18500/0869-6632-003208
EDN: 
RIFMQY

Об асимптотической устойчивости по выходу для систем с запаздыванием

Авторы: 
Седова Наталья Олеговна, Ульяновский государственный университет
Аннотация: 

Цель настоящего исследования — получить достаточные условия асимптотической устойчивости по выходу для нелинейных неавтономных систем с запаздыванием, описываемых уравнениями с обыкновенными производными. Отдельно рассматривается равномерная и неравномерная асимптотическая устойчивость по выходу; в отличие от классической асимптотической устойчивости по Ляпунову, эти свойства в общем случае не равносильны даже для
автономной системы.

Методы. Исследуются возможности прямого метода Ляпунова для формулировки достаточных условий асимптотической устойчивости по выходу для нелинейных систем с запаздыванием. На примере наиболее хорошо изученной задачи по части переменных анализируются известные результаты об асимптотической устойчивости по выходу для систем с запаздыванием в терминах функций и функционалов Ляпунова, обсуждаются отличия требований к вспомогательным конструкциям по сравнению с достаточными условиями классической асимптотической устойчивости, а также условия, обеспечивающие равномерность сходимости.

Результаты. Представлены новые результаты об асимптотической устойчивости и равномерной асимптотической устойчивости по выходу для неавтономной системы с запаздыванием в терминах функции Ляпунова–Разумихина, от которой не требуется знакоопределенность по выходу.

Заключение. Сформулированы новые достаточные условия асимптотической устойчивости по выходу для нелинейных неавтономных систем с запаздыванием. В терминах функций Ляпунова–Разумихина получены условия простой и равномерной асимптотической устойчивости по выходу. При этом требования к этим функциям и к правой части системы менее строгие по сравнению с известными подобными результатами, что расширяет возможности применения метода к исследованию конкретных систем.
 

Ключевые слова: 
нелинейная неавтономная динамическая система с запаздыванием
асимптотическая устойчивость по выходу
прямой метод Ляпунова
условия Разумихина
Список источников: 
  1. Sontag E.D., Wang Y. Notions of input to output stability // Systems and Control Letters. 1999. Vol. 38, no. 4–5. P. 235–248. DOI: 10.1016/S0167-6911(99)00070-5.
  2. Kankanamalage H.G., Lin Y., Wang Y. Remarks on different notions on output stability for nonlinear delay systems // arXiv:2208.14415v1. arXiv Preprint, 2022. DOI: 10.48550/arXiv.2208.14415.
  3. Kolmanovskii V., Myshkis A. Introduction to the Theory and Applications of Functional Differential Equations. Dordrecht: Springer, 2013. 648 p. DOI: 10.1007/978-94-017-1965-0.
  4. Хейл Д.К. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.
  5. Fridman E. Introduction to Time-Delay Systems. Cham: Birkhauser, 2014. 362 p. DOI: 10.1007/978-3-319-09393-2.
  6. Воротников В.И. К частичной устойчивости и детектируемости функционально-дифференциальных систем с последействием // Автоматика и телемеханика. 2020. № 2. С. 3–17. DOI: 10.31857/S0005231020020014.
  7. Vorotnikov V.I. Partial Stability and Control. Boston: Birkhauser, 1998. 430 p. DOI: 10.1007/978-1-4612-4150-8.
  8. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.
  9. Chaillet A., Karafyllis I., Pepe P., Wang Y. The ISS framework for time-delay systems: a survey // Math. Control Signals Syst. 2023. Vol. 35, no 2. P. 237–306. DOI: 10.1007/s00498-023-00341-w.
  10. Orlowski J., Chaillet A., Sigalotti M. Counterexample to a Lyapunov condition for uniform asymptotic partial stability // IEEE Control Systems Letters. 2020. Vol. 4, no 2. P. 397–401. DOI: 10.1109/LCSYS.2019.2939717.
  11. Sedova N. Razumikhin conditions in partial stability problem for delay systems // In: 2016 International Conference Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy's Conference). IEEE, 2016. P. 1–4. DOI: 10.1109/STAB.2016.7541220.
  12. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20, № 4. С. 500–512.
  13. Красовский Н.Н. Об асимптотической устойчивости систем с последействием // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20, № 4. С. 513–518.
  14. Ren W., Jungers R.M., Dimarogonas D.V. Razumikhin and Krasovskii approaches for safe stabilization // Automatica. 2022. Vol. 146. P. 110563. DOI: 10.1016/j.automatica.2022.110563.
  15. Karafyllis I., Pepe P., Jiang Z.-P. Global output stability for systems described by retarded functional differential equations: Lyapunov characterizations // European Journal of Control. 2008. Vol. 14, no 6. P. 516–536.. %. DOI: 10.3166/ejc.14.516-536.
  16. Teel A.R., Praly L. A smooth Lyapunov function from a class-mathcalKL estimate involving two positive semidefinite functions // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 2000. Vol. 5. P. 313–367. DOI: 10.1051/cocv:2000113.
  17. Lakshmikantham V., Liu X.Z. Stability Analysis in Terms of Two Measures. Singapore: World Scientific, 1993. 402 p.
  18. Мовчан А.А. Устойчивость процессов по двум метрикам // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24, № 6. С. 988–1001.
  19. Андреев А.С. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 2009. № 9. С. 4–55.
  20. Ким А.В., Пименов В.Г. i-гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2004. 256 с.
  21. Driver R. Existence and stability of solutions of a delay-differential system // Arch. Rational Mech. Anal. 1962. Vol. 10. P. 401–426. DOI: 10.1007/BF00281203.
  22. Karafyllis I., Chaillet A. Lyapunov conditions for uniform asymptotic output stability and a relaxation of Barbalat's lemma // arXiv:2012.07607. arXiv Preprint, 2020. DOI: 10.48550/arXiv.2012.07607.
  23. Ignatyev A.O. On the partial equiasymptotic stability in functional differential equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2002. Vol. 268, no. 2. P. 615–628. DOI: 10.1006/jmaa.2001.7835.
  24. Воротников В.И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и перспективы развития // Автоматика и телемеханика. 2005. № 4. С. 3–59.
  25. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник МГУ. Сер. Мат., Мех., Физ., Астр., Хим. 1957. № 4. С. 9–16.
  26. Corduneanu C. Sur la stabilite partielle // Revue Roumaine de Mathematiques Pures et Appliquees. 1964. Vol. 9, no. 3. P. 229–236.
  27. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.
  28. Zhao J. A note on Razumikhin theorems in uniform ultimate boundedness // Miskolc Mathematical Notes. 2014. Vol. 15, no. 1. P. 239–254. DOI: 10.18514/MMN.2014.530.
  29. Vorotnikov V.I. On partial stability of retarded functional differential systems // Applied Mathematics Sciences. 2015. Vol. 9, no. 6. P. 279–284. DOI: 10.12988/ams.2015.411905.
  30. Vorotnikov V.I. On Razumikhin approach for partial stability problem of retarded systems // Applied Mathematics Sciences. 2015. Vol. 9, no. 121. P. 6021–6028. DOI: 10.12988/ams.2015.58511.
  31. Андреев А.С. Устойчивость неавтономных функционально-дифференциальных уравнений. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2005. 328 c.
  32. Павликов С.В. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости. Набережные Челны: Ин-т управления, 2006. 264 c.
  33. Седова Н.О. К вопросу о принципе сведения для нелинейных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2011. № 9. С. 74–86.
  34. Angeli D., Ingalls B., Sontag E.D., Wang Y. Separation principles for input-output and integral-input-to-state stability // SIAM Journal on Control and Optimization. 2004. Vol. 43, no. 1. P. 256–276. DOI: 10.1137/S0363012902419047.
  35. Седова Н.О. Вырожденные функции в исследовании асимптотической устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений // Матем. заметки. 2005. Т. 78, № 3. С. 468–472. DOI: 10.1007/s11006-005-0141-9.
  36. Sedova N. On employment of semidefinite functions in stability of delayed equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2003. Vol. 281, iss. 1. P. 307–319. DOI: 10.1016/S0022-247X(03)00101-X.
Поступила в редакцию: 
22.09.2025
Принята к публикации: 
25.12.2025
Опубликована онлайн: 
27.12.2025
Опубликована: 
31.03.2026
  • 409 просмотров