Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Кузнецов С. П. Автогенератор грубого гиперболического хаоса // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 6. С. 39-62. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-6-39-62

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF and_2019-6_kuznetsov.pdf
(загрузок: 225)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Бифуркации в динамических системах. Детерминированный хаос. Квантовый хаос.
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9:534.1
DOI: 
10.18500/0869-6632-2019-27-6-39-62

Автогенератор грубого гиперболического хаоса

Авторы: 
Кузнецов Сергей Петрович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Аннотация: 

Тема и цель исследования. Цель состоит в разработке автогенератора грубого хаоса, у которого на аттракторе реализуется динамика, близкая к потоку Аносова на многообразии отрицательной кривизны, в построении и анализе математической модели, а также проведении схемотехнического моделирования динамики с помощью программного продукта Multisim.

Исследуемые модели. Сформулирована математическая модель, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений девятого порядка с алгебраической нелинейностью, и предложена схемотехническая реализация генератора хаоса.

Результаты. Проведено численное исследование динамики, подтвердившее существование аттрактора, составленного из траекторий, близких к геодезическому потоку на поверхности отрицательной кривизны (P-поверхность Шварца). Проведено схемотехническое моделирование электронного генератора. Представлены иллюстрации в виде осциллограмм, спектров мощности, изображений потока траекторий на аттракторе. Для математической модели проведено вычисление показателей Ляпунова и выполнена проверка гиперболической природы аттрактора с помощью анализа гистограмм углов пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий.

Обсуждение. Предложенный электронный генератор демонстрирует хаос, обладающий структурной устойчивостью в силу гиперболической природы аттрактора, что влечет нечувствительность динамики по отношению к малому изменению параметров системы, несовершенству изготовления, помехам. Этому гиперболическому аттрактору, кроме того, свойственна приблизительная равномерность растяжения и сжатия элементов фазового объема в непрерывном времени, что определяет хорошие спектральные свойства сигнала. Хотя рассмотрение проведено на уровне низкочастотного устройства, представляется возможной проработка и модификация схемы также для создания генераторов грубого хаоса высоких и сверхвысоких частот.
 

Ключевые слова: 
динамическая система
хаос
аттрактор
геодезический поток
динамика Аносова
гиперболичность
показатель Ляпунова
Список источников: 
  1. Dmitriev A.S., Panas A.I., Starkov S.O. Experiments on speech and music signals transmission using chaos // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 1995. Vol. 5. P. 1249–1254.
  2. Kennedy M., Setti G., Rovatti R. Chaotic electronics in telecommunications. CRC press, 2000.
  3. Bollt E.M. Review of chaos communication by feedback control of symbolic dynamics // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2003. Vol. 13. P. 269–285.
  4. Короновский А.А., Москаленко О.И., Храмов А.Е. О применении хаотической синхронизации для скрытой передачи информации // УФН. 2009. Т. 179. №12. С. 1281–1310.
  5. Kaddoum G. Wireless chaos-based communication systems: A comprehensive survey // IEEE Access. 2016. Vol. 4. P. 2621–2648. 
  6. Isaeva O.B., Jalnine A.Yu., Kuznetsov S.P. Chaotic communication with robust hyperbolic transmitter and receiver // IEEE Xplore. Progress In Electromagnetics Research Symposium. Proceedings: St Petersburg, Russia, 22–25 May 2017. P. 3129–3136.
  7. Baptista M.S. Cryptography with chaos // Physics Letters A. 1998. Vol. 240, no. 1-2. P. 50–54.
  8. Kocarev L. Chaos-based cryptography: a brief overview // IEEE Circuits and Systems Magazine. 2001. Vol. 1, no. 3. P. 6–21.
  9. Dachselt F., Schwarz W. Chaos and cryptography // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications. 2001. Vol. 48, no. 12. P. 1498–1509.
  10. Antonik P., Gulina M., Pauwels J., Massar S. Using a reservoir computer to learn chaotic attractors, with applications to chaos synchronization and cryptography // Physical Review E. 2018. Vol. 98, no. 1. 012215.
  11. Verschaffelt G., Khoder M., Van der Sande G. Random number generator based on an integrated laser with on-chip optical feedback // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2017. Vol. 27. 114310.
  12. Bakiri M., Guyeux C., Couchot J.F., Oudjida A.K. Survey on hardware implementation of random number generators on FPGA: Theory and experimental analyses // Computer Science Review. 2018. Vol. 27. P. 135–153.
  13. Yeoh W.Z., Teh J.S., Chern H.R. A parallelizable chaos-based true random number generator based on mobile device cameras for the Android platform // Multimedia Tools and Applications. 2019. Vol. 78, no. 12. P. 15929–15949.
  14. Karakaya B., Gulten A., Frasca M. ¨ A true random bit generator based on a memristive chaotic circuit: Analysis, design and FPGA implementation // Chaos, Solitons & Fractals. 2019. Vol. 119. P. 143–149.
  15. Liu Z., Zhu X., Hu W., Jiang F. Principles of chaotic signal radar // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2007. Vol. 17. P. 1735–1739.
  16. Pappu C.S., Flores B.C., Debroux P.S., Boehm J.E. An electronic implementation of Lorenz chaotic oscillator synchronization for bistatic radar applications // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 2017. Vol. 53, no. 4. P. 2001–2013.
  17. Jiang T., Long J., Wang Z., Qiao S., Cui W., Ma W., Ran L. Experimental investigation of a direct chaotic signal radar with Colpitts oscillator // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 2010. Vol. 24, no. 8-9. P. 1229–1239.
  18. Xiong G., Xi C., He J., Yu W. Radar target detection method based on cross-correlation singularity power spectrum // IET Radar, Sonar & Navigation. 2019. Vol. 13, no. 5. P. 730–739.
  19. Xu H., Li L., Li Y., Zhang J., Han H., Liu L., Li J. Chaos-based through-wall life-detection radar // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2019. Vol. 29. 1930020.
  20. Banerjee S., Yorke J.A., Grebogi C. Robust chaos // Physical Review Letters. 1998. Vol. 80, no. 14. P. 3049–3052.
  21. Potapov A., Ali M.K. Robust chaos in neural networks // Physics Letters A. 2000. Vol. 277, no. 6. P. 310–322.
  22. Elhadj Z., Sprott J.C. On the robustness of chaos in dynamical systems: Theories and applications // Frontiers of Physics in China. 2008. Vol. 3, no. 2. P. 195–204.
  23. Elhadj Z. and Sprott J.C. Robust Chaos and Its Applications. World Scientific, Singapore, 2011. 472 p.  
  24. Glendinning P.A., Simpson D.J.W. Robust Chaos and the Continuity of Attractors // arXiv preprint arXiv: 1906.11974. 2019.
  25. Gusso A., Dantas W. G., Ujevic S. Prediction of robust chaos in micro and nanoresonators under two-frequency excitation // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2019. Vol. 29, no. 3. 033112.
  26. Deshpande A., Chen Q., Wang Y., Lai Y.C., Do Y. Effect of smoothing on robust chaos // Physical Review E. 2010. Vol. 82, no. 2. 026209.
  27. Shilnikov L. Mathematical problems of nonlinear dynamics: A tutorial // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 1997. Vol. 7, no. 9. P. 1353–2001.
  28. Gonchenko S.V., Shil’nikov L.P., Turaev D.V. Quasiattractors and homoclinic tangencies // Computers & Mathematics with Applications. 1997. Vol. 34, no. 2-4. P. 195–227.
  29. Botella–Soler V., Castelo J.M., Oteo J.A., Ros J. Bifurcations in the Lozi map // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2011. Vol. 44, no. 30. 305101.
  30. Elhadj Z. Lozi Mappings: Theory and Applications. CRC Press, 2013.
  31. Belykh V.N., Belykh I. Belykh map // Scholarpedia. 2011. Vol. 6, no. 10. P. 5545.
  32. Кузнецов С.П. Аттрактор Белых в отображении Заславского и его трансформация при сглаживании // Известия вузов. ПНД. 2018. Т. 26, № 1. С. 64–79.
  33. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи математических наук. 1970. Т. 25, № 1 (151). С. 113–185.
  34. Аносов Д.В., Арансон С.Х., Гринес В.З., Плыкин Р.В., Сатаев Е.А., Сафонов А.В., Солодов В.В., Старков А.Н., Степин А.М., Шлячков С.В. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». M.: ВИНИТИ, 1991. Т. 66. 242 с.
  35. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. 768с.
  36. Hasselblatt B., Pesin Ya. Hyperbolic dynamics // Scholarpedia. 2008. Vol. 3, no. 6. C. 2208.
  37. Pugh C., Peixoto M.M. Structural stability. Scholarpedia. 2008. Vol. 3, no. 9. C. 4008.
  38. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 90. С. 3–210.
  39. Аносов Д.В., Синай Я.Г. Некоторые гладкие эргодические системы // Успехи математических наук. 1967. Т. 22, № 5 (137). С. 107–172.
  40. Синай Я. Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. С. 192–212.
  41. Kuznetsov S.P. Hyperbolic Chaos: A Physicist’s View. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2012. 336 p.
  42. Кузнецов С.П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы: От математики к физике. Москва; Ижевск: ИКИ, 2013. 488 с.
  43. Кузнецов С.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: От математики к физике // УФН. 2011. 181, № 2. С. 121–149.
  44. Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла–Вильямса // ЖЭТФ. 2006. Т. 129, № 2. С. 400–412.
  45. Кузнецов С.П., Пономаренко В.И. О возможности реализации странного аттрактора типа Смейла–Вильямса в радиотехническом генераторе с запаздыванием // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34, вып. 18. С. 1–8. 
  46. Turukina L.V., Pikovsky A. Hyperbolic chaos in a system of resonantly coupled weakly nonlinear oscillators // Physics Letters A. 2011. Vol. 375, no. 11. P. 1407–1411.
  47. Кузнецов С.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Автономная система – генератор гиперболического хаоса. Схемотехническое моделирование и эксперимент // Известия вузов. ПНД. 2013. Т. 21, № 5. С. 17–30.
  48. Isaeva O.B., Kuznetsov S.P., Sataev I.R., Savin D.V., Seleznev E.P. Hyperbolic chaos and other phenomena of complex dynamics depending on parameters in a nonautonomous system of two alternately activated oscillators // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2015. Vol. 25, no. 12. 1530033.
  49. Mangiarotti S., Letellier C. Topological analysis for designing a suspension of the Henon map // Physics Letters A. 2015. Vol. 379, no. 47-48. P. 3069–3074.
  50. Balazs N.L., Voros A. Chaos on the pseudosphere // Physics Reports. 1986. Vol. 143, no. 3. P. 109–240.
  51. Hadamard J. Les surfaces a courbures opposees et leurs lignes geodesique // J. Math. Pures Appl. 1898. Vol. 4. P. 27–73.
  52. Хернитер М.Е. Multisim. Современная система компьютерного моделирования и анализа схем электронных устройств. М: Издательский дом «ДМК-пресс», 2006. 488 с.
  53. Тёрстон У.П., Уикс Д.Р. Математика трехмерных многообразий // В мире науки. 1984, № 9. С. 74–88.
  54. Hunt T.J. and MacKay R.S. Anosov parameter values for the triple linkage and a physical system with a uniformly chaotic attractor // Nonlinearity. 2003. Vol. 16. P. 1499–1510.
  55. Кузнецов С.П. Гиперболический хаос в автоколебательных системах на основе тройного шарнирного механизма: Проверка отсутствия касаний устойчивых и неустойчивых многообразий фазовых траекторий // Нелинейная динамика. 2016. Т.12. № 1. С. 121–143.
  56. Meeks W.H., Perez J. A Survey on Classical Minimal Surface Theory. University Lecture Series. Vol. 60. American Mathematical Society, 2012. 182 p.
  57. Прасолов В.В. Наглядная топология. М.: МЦНМО, 1995. 111 с.
  58. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. 3-е изд. М.: Физматлит, 2005. 264 с.
  59. Goldstein H., Poole Ch.P. Jr., Safko J.L. Classical Mechanics. 3d ed. Boston, Mass.: AddisonWesley, 2001. 680 p.
  60. Лихарев К.К. Введение в динамику джозефсоновских переходов. М.: Наука, 1985. 320 с.
  61. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972. 446 с.
  62. Best R.E. Phase-Locked Loops: Design, Simulation and Applications. McGraw Hill, 2007. 490 p.
  63. Kuznetsov S.P. From geodesic flow on a surface of negative curvature to electronic generator of robust chaos // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2016. Vol. 26, no. 14. 1650232.
  64. Кузнецов С.П. От динамики Аносова на поверхности отрицательной кривизны к электронному генератору грубого хаоса // Известия Саратовского университета – Новая серия. Серия Физика. 2016. Т. 16, № 3. С. 131–144.
  65. Пиковский А.С., Рабинович М.И., Трахтенгерц В.Ю. Возникновение стохастичности при распадном ограничении параметрической неустойчивости // ЖЭТФ. 1978. Т. 74. С. 1366–1374.
  66. Horowitz P. Build a Lorenz attractor: http://frank.harvard.edu/∼paulh/misc/lorenz.htm 
  67. Weady S., Agarwal S., Wilen L., Wettlaufer J.S. Circuit bounds on stochastic transport in the Lorenz equations // Physics Letters A. 2018. Vol. 382. P. 1731–1737.
  68. Fitch A.L., Iu H.H., Lu D.D. An analog computer for electronic engineering education // IEEE Transactions on Education. 2010. Vol. 54, no. 4. P. 550–557.
  69. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 2. С. 4–36.
  70. Bonatti C., Diaz L.J., Viana M. Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity. A Global Geometric and Probobalistic Perspective. Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 2005. 384 p.
  71. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968. 464 с.
  72. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. Т. 2. М.: Мир, 1972. 287 с.
  73. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems; a method for computing all of them // Meccanica. 1980. Vol. 15, no. 1. P. 9–20.
  74. Shimada I., Nagashima T. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical systems // Progress of Theoretical Physics. 1979. Vol. 61, no. 6. P. 1605–1616.
  75. Pikovsky A., Politi A. Lyapunov Exponents: A Tool to Explore Complex Dynamics. Cambridge University Press, 2016. 295 p.
  76. Lai Y.-Ch., Grebogi C., Yorke J.A., Kan I. How often are chaotic saddles nonhyperbolic? // Nonlinearity. 1993. Vol. 6. P. 779–798.
  77. Anishchenko V.S., Kopeikin A.S., Kurths J., Vadivasova T.E., Strelkova G.I. Studying hyperbolicity in chaotic systems // Physics Letters A. 2000. Vol. 270. P. 301–307.
  78. Kuptsov P.V. Fast numerical test of hyperbolic chaos // Physical Review E. 2012. Vol. 85. 015203.
  79. Круглов В.П. Методика и результаты численной проверки гиперболической природы аттракторов для редуцированных моделей распределенных систем // Известия вузов. ПНД. 2014. Т. 22, № 6. С. 79–93.
  80. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity of chaotic dynamics in time-delay systems // Physical Review E. 2016. Vol. 94б no. 1. 010201.
  81. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Lyapunov analysis of strange pseudohyperbolic attractors: Angles between tangent subspaces, local volume expansion and contraction // Regular and Chaotic Dynamics. 2018. Vol. 23, no. 7-8. P. 908–932.
Поступила в редакцию: 
11.08.2019
Принята к публикации: 
10.10.2019
Опубликована: 
02.12.2019
Краткое содержание:
Иконка PDF and_2019-6_kuznetsov_1.pdf
(загрузок: 146)
  • 1686 просмотров