МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ: ОБЗОР Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы

В работе рассматриваются актуальные вопросы современной математической теории динамического хаоса и ее приложений. В настоящее время принято считать, что в конечномерных гладких динамических системах могут наблюдаться три принципиально различных формы хаоса. Это диссипативный хаос, математическим образом которого является странный аттрактор; консервативный хаос, для которого все фазовое пространство является большим «хаотическим морем» с беспорядочно расположенными внутри него эллиптическими островами; и смешанная динамика, характеризующаяся принципиальной неотделимостью в фазовом пространстве аттракторов, репеллеров и консервативного поведения траекторий.

В настоящей работе (открывающей цикл из трех статей) представлены элементы теории псевдогиперболических аттракторов многомерных отображений. Такие аттракторы, также как и гиперболические, являются настоящими странными аттракторами, однако, допускают существование гомоклинических касаний. Мы приводим математическое определение псевдогиперболического аттрактора для случая многомерных отображений, из которого выводим необходимые условия для его существования в трехмерном случае, формулируемые с помощью показателей Ляпунова. Мы также даем описание феноменологических сценариев возникновения псевдогиперболических аттракторов различных типов в однопараметрических семействах трехмерных диффеоморфизмов, предлагаем новые методы исследования таких аттракторов (в частности, метод карт седел и модифицированный метод диаграмм Ляпунова), а в качестве примеров рассматриваем ориентируемые и неориентируемые трехмерные обобщенные отображения Эно.

Во второй части будет дан обзор теории спиральных аттрактров как важного и часто встречающегося в приложениях типа диссипативного хаоса. Третья часть будет посвящена смешанной динамике – нового типа хаоса, который характерен, в частности, для обратимых (реверсивных) систем, то есть систем инвариантных относительно некоторых замен координат и обращения времени. Хорошо известно, что такие системы встречаются во многих задачах механики, электродинамики и других областей естествознания.

 

DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-2-4-36

 

Ссылка на статью: Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. Т. 25, No 2. P. 4–36.

 

Литература

1. Conley C.C. Isolated invariant sets and the Morse index // American Mathematical Soc. 1978. No. 38.

2. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром // Труды МИАН. 1997. Т. 216. C. 76–125.

3. Gonchenko S. Reversible mixed dynamics: A concept and examples // Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity. 2016. Vol. 5, No. 4. Pp. 345–354.

4. Gonchenko S., Turaev D. On three types of dynamics, and the notion of attractor. – To appear.

5. Aframovich V.S., Shilnikov L.P. Strange attractors and quasiattractors. In book «Nonlinear Dynamics and Turbulence» / Eds G.I. Barenblatt, G. Iooss, D.D. Joseph. Boston, Pitmen, 1983.

6. Shilnikov V.S. Mathematical problems of nonlinear dynamics: A tutorial // Int. J. Bif. and Chaos. 1997. Vol. 9, No. 7. Pp. 1953–2001.

7. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Quasiattractors and homoclinic tangencies // Computers Math. Applic. 1997. Vol. 34, No. 2–4. Pp. 195–227.

8. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Матем. сборник. 1972. Т. 88(130), No 4. Ч. 1. С. 475–492; Матем. сборник. 1973. Т. 90(132), No 1. Ч. 2. С. 139–156.

9. Гонченко S.V. Об устойчивых периодических движениях в системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой // Мат. заметки. 1983. Т. 33, вып. 5. C. 745–755.

10. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Докл. Росс. Акад. Наук. 1993. Т. 330, No 2. C. 144–147.

11. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits // Chaos. 1996. Vol. 6, No. 1. Pp. 15–31.

12. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions // Nonlinearity. 2008. Vol. 21(5). Pp. 923–972.

13. Mora L., Viana M. Abundance of strange attractors // Acta Math. 1993. Vol. 171. Pp. 1–71.

14. Palis J., Viana M. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many sinks // Ann. Math. 1994. Vol. 140. Pp. 91–136.

15. Gonchenko S.V., Sten’kin O.V., Turaev D.V. Complexity of homoclinic bifurcations and Ω-moduli // Int. Journal of Bifurcation and Chaos. 1996. Vol. 6, No. 6. Pp. 969–989.

16. Colli E. Infinitely many coexisting strange attractors // Ann. IHP. Anal. Non Lineaire. 1998. Vol. 15. Pp. 539–579.

17. Homburg A.J. Periodic attractors, strange attractors and hyperbolic dynamics near homoclinic orbits to saddle-focus equilibria // Nonlinearity. 2002. Vol. 15. Pp. 1029– 1050.

18. Gonchenko S.V., Meiss J.D. and Ovsyannikov I.I. Chaotic dynamics of three-dimen-sional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation // Regul. Chaotic  ́ Dyn. 2006. Vol. 11. Pp. 191–212.

19. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P. and Turaev D.V. On global bifurcations in threedimensional diffeomorphisms leading to wild Lorenz-like attractors // Regul. Chaotic Dyn. 2009. Vol. 14. Pp. 137–147.

20. Gonchenko S.V. and Ovsyannikov I.I. On global bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms leading to Lorenz-like attractors // Mat. Model. of Nat. Phenom. 2013. Vol. 8. Pp. 71–83.

21. Gonchenko S.V., Ovsyannikov I.I. and Tatjer J.C. Birth of Discrete Lorenz Attractors at the Bifurcations of 3D Maps with Homoclinic Tangencies to Saddle Points// Regul. Chaotic Dyn. 2014. Vol. 19. Pp. 495–505.

22. Gonchenko S.V. and Ovsyannikov I.I. Homoclinic tangencies to resonant saddles and discrete Lorenz attractors // Discr. and Cont. Dyn. Sys. Series S. 2017. Vol. 10, No. 2. Pp. 365–374.

23. Lozi R. Un attracteur de Henon // J. Phys. 1978. Vol. 39. Coll-C5. Pp. 9–10.

24. Белых В.Н. Хаотические и странные аттракторы двумерного отображения // Матем. сб. 1995. Т. 186. No 3. C. 3–18.

25. Feudel U., Kuznetsov S., Pikovsky A. Strange nonchaotic attractors: Dynamics between order and chaos in quasiperiodically forced systems // Nonlinear Science. Vol.56. World Scientific Series on Nonlinear Science: Monographs and Treatises, 2006.

26. Афраймович В.С., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность // Межвуз. сб. Методы КТДУ. Горький, 1983. C. 3–26.

27. Shilnikov L.P. Chua’s Circuit: Rigorous result and future problems // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1994. Vol. 4, No. 3. Pp. 489–519.

28. Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // Commun. Math. Phys. 1976. Vol. 50. Pp. 69–77.

29. Benedicks M., Carleson L. The dynamics of the Henon map // Ann. Math. 1991. Vol. 133. Pp. 73–169.

30. Gonchenko S.V., Simo C. and Vieiro A. Richness of dynamics and global bifurcations in systems with a homoclinic figure-eight // Nonlinearity. 2013. Vol. 26, No.3. Pp. 621–678.

31. Rossler O.E.  ̈ An equation for continuous chaos // Physics Letters A. 1976. Vol. 57, No.5. Pp. 397–398.

32. Rossler O.E.  ̈ Different types of chaos in two simple differential equations // Zeitschrift fur Naturforschung A. 1976. Vol. 31, No. 12. Pp. 1664–1670.  ̈

33. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Occurence of strange attractors in three-dimensional Volterra equations // Physics Letters A. 1980. Vol. 79, No. 4. Pp. 259–263.

34. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Possible new strange attractors with spiral structure // Commun. Math. Phys. 1981. Vol. 79. Pp. 573–579.

35. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Oscillators with chaotic behavior: An illustration of a theorem by Shilnikov // Journal of Statistical Physics. 1982. Vol. 27, No. 1.  ́ Pp. 171–182.

36. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность – I // Межвузовский сб. Методы КТДУ. Горький, 1986. C. 150–163.

37. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Шильников Л.П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, No 1. C. 3–28.

38. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O. and Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // Int. J. Bif. and Chaos. 2014. Vol. 24(8). 25 pages.

39. Gonchenko S.V., Gonchenko A.S., Ovsyannikov I.I., Turaev D.V. Examples of Lorenzlike attractors in Henon-like maps// Math. Model. Nat. Phen. 2013. Vol. 8(5). Pp. 48–70.

40. Gonchenko A., Gonchenko S. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in threedimensional generalized Henon maps // Physica D. 2016. Vol. 337. Pp. 43–57.

41. Гонченко А.С., Козлов А.Д. О сценариях возникновения хаоса в трехмерных неориентируемых отображениях // Журнал Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18, No 4. C. 17–29.

42. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Пример дикого странного аттрактора // Матем. сб. 1998. Т. 189, No 2. C. 137–160.

43. Newhouse S.E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms // Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 1979. Vol. 50. Pp. 101–151.

44. Ruelle D. Small random perturbations of dynamical systems and the definition of attractors // Comm. Math. Phys. 1981. Vol. 82. Pp. 137–151.

45. Gonchenko S., Ovsyannikov I., Simo C., Turaev D. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors // Int. J. of Bifurcation and chaos. 2005. Vol. 15, No. 11. Pp. 3493–3508.

46. Шильников А.Л. Бифуркации и хаос в системе Мориока–Шимицу // Межвузовский сб. Методы КТДУ. Горький, 1986. C. 180–183.

47. Shilnikov A.L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimuizu–Morioka model // Physica D. 1993. Vol. 62. Pp. 338–346.

48. Tucker W. The Lorenz attractor exists //Comptes Rendus de l’Academie des Sciences-Series I-Mathematics. 1999. Vol. 328, No.12. Pp. 1197–1202.

49. Ovsyannikov I.I., Turaev D. Analytic proof of the existence of the Lorenz attractor in the extended Lorenz model// Nonlinearity 2017. Vol. 30. Pp. 115–137.

50. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа // Докл. РАН. 2008. Т. 418, No 1. C. 23–27.

51. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) // Докл. Росс. Акад. Наук. 1993. Т. 329, No 4. С. 404–407.

52. Tatjer J.C. Three-dimensional dissipative diffeomorphisms with homoclinic tangencies // Ergodic Theory Dynam. Systems. 2001. Vol. 21. Pp. 249–302.

53. Gonchenko S.V., Gonchenko V.S., Tatjer J.C. Bifurcations of three-dimensional diffeomorphisms with non-simple quadratic homoclinic tangencies and generalized Henon maps // Regular and Chaotic Dynamics. 2007. Vol. 12, No. 3. Pp. 233–266.  ́

54. Сатаев Е.А. Стохастические свойства сингулярно гиперболических аттракторов // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, No 1. С. 187–206.

55. Gonchenko S.V., Gonchenko A.S., Kazakov A.O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 15, No. 5. Pp. 521–538.

56. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса // Proc. of Int.Conf. Dedicated to 90th Anniversary of L.S.Pontryagin. Vol.6. Dynamical systems. В кн. «Итоги науки и техники, современная математика и ее приложения»: Тематические обзоры. 1999. Т. 67. С. 69–128.

57. Gonchenko S., Gonchenko A. and Ming-Chia Li. On topological and hyperbolic properties of systems with homoclinic tangencies. In book «Nonlinear Dynamics New Directions». Springer International Publishing Switzerland, 2015. 27 pages.

58. Gonchenko S., Ovsyannikov I., Tatjer J.C. Birth of discrete Lorenz attractors at the bifurcations of 3D maps with homoclinic tangencies to saddle points // Regular and Chaotic Dynamics. 2014. Vol. 19, No. 4. Pp. 495–505.

59. Grines V., Levchenko Yu., Medvedev V. and Pochinka O. The topological classification of structurally stable 3-diffeomorphisms with two-dimensional basic sets // Nonlinearity. 2015. Vol. 28. Pp. 4081–4102.

60. Kuznetsov S.P. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale–Williams type // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. 144101.

61. Kuznetsov S.P. and Seleznev E.P. Strange attractor of Smale–Williams type in the chaotic dynamics of a physical system // Zh. Eksper. Teoret. Fiz. 2006 Vol. 129, No. 2. Pp. 400–412 [J. Exp. Theor. Phys. 2006. Vol. 102, No. 2. Pp. 355–364].

62. Kuznetsov S.P. and Pikovsky A. Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors // Physica D. 2007. Vol. 232. Pp. 87–102.

63. Kuznetsov S.P. Example of blue sky catastrophe accompanied by a birth of the Smale–Williams attractor// Regular and Chaotic Dynamics. 2007. Vol. 12, No. 3. Pp. 233–266.

64. Shilnikov A.L., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Normal forms and Lorenz attractors // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3. Pp. 1123–1139.

65. Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V., Chua L.O. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics // World Scientific. Part I, 1998; Part 2, 2002.

66. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 90. C. 3–210.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF):