ОТОБРАЖЕНИЯ С КВАЗИПЕРИОДИЧНОСТЬЮ РАЗНОЙ РАЗМЕРНОСТИ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИМИ БИФУРКАЦИЯМИ

В работе обсуждается построение удобных и информационно емких трехмерных отображений, демонстрирующих существование 2-торов и 3-торов. Первое отображение получено путем дискретизации потоковой системы – генератора квазипериодических колебаний. Второе – путем дискретизации климатической модели Лоренц-84. Третье отображение предложено в теории квазипериодических бифуркаций Симо, Броером, Витоло. Необходимость обсуждения таких отображений связана с возможностью для них квазипериодичности разной размерности, а также квазипериодических бифуркаций, то есть бифуркаций инвариантных торов. Данный вопрос пока еще недостаточно освещен как в научной, так и в учебной литературе. Основным методом исследования является построение карт ляпуновских показателей. Карты получены численными методами. На таких картах разными оттенками показаны области периодических режимов, двухчастотной квазипериодичности, трехчастотной квазипериодичности и хаоса. Представлены также иллюстрации динамики в виде фазовых портретов. Обсуждаются особенности и классификационные признаки квазипериодических бифуркаций – бифуркаций инвариантных торов. Квазипериодические бифуркации анализируются с помощью графиков ляпуновских показателей и бифуркационных деревьев. Обсуждается различие квазипериодической бифуркации Хопфа и седло-узловой бифуркации инвариантных торов. Обсуждается зависимость картины от параметра – шага дискретизации. При малых значениях этого параметра картина близка к традиционной системе языков Арнольда, которые, однако, теперь наблюдаются на базе двухчастотных режимов и погружены в трехчастотную область. Новым моментом является появление встроенных в эти языки областей периодических резонансов высокого порядка. С ростом параметра дискретизации картина меняется. Языки с характерными остриями-основаниями сменяются полосами двухчастотных режимов со встроенными поперечными полосами периодических резонансов, от которых, в свою очередь, отходит новая система веерообразных языков двухчастотных режимов. Фазовые портреты внутри языков переходят от многооборотных кривых к системе изолированных овалов. Таким образом, показано, что картина, ассоциирующаяся с квазипериодической бифуркацией Хопфа, достаточно сложна и требует для своего анализа трех параметров. Сопоставляются случаи разных отображений. Показано, что «тор-отображение» наиболее полно описывает круг существенных феноменов в системах с квазипериодичностью разной размерности.

DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-4-33-50

Образец цитирования: Кузнецов А.П., Седова Ю.В. Отображения с квазипериодичностью разной размерности и квазипериодическими бифуркациями // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. Т. 25, No 4. С. 33–50. DOI: 10.18500/0869-6632-2017-25-4-33-50

Литература

1. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Ижевск: РХД, 2002. 560 с.
2. Кузнецов С.П. Динамический хаос. 2-е издание. М.: Физматлит, 2006. 356 с.
3. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: ЛИБРОКОМ, 2009. 320 с.
4. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 253 с.
5. Thompson J.M.T., Stewart H.B. Nonlinear dynamics and chaos: Geometrical methods for engineers and scientists. Chichester: Wiley, 1986. 376 p.
6. Постнов Д.Э. Введение в динамику итерируемых отображений. Саратов: Издательство Саратовского университета, 2007. 160 с.
7. Kuznetsov Yu.A. Elements of applied bifurcation theory. New York: Springer-Verlag, 1998, 591 p.

8. Meijer H.G.E. Codimension 2 bifurcations of iterated maps // Doctoral thesis Utrecht University. (PhD thesis, Utrecht University, 2006 из Интернета)
9. Wiggins S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. New York: Springer-Verlag, 2003. 843 p.
10. Elhadj Z., Sprott J.C. A minimal 2-D quadratic map with quasi-periodic route to chaos // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2008. Vol. 18, No 5. P. 1567.
11. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Поздняков М.В., Седова Ю.В. Универсальное двумерное отображение и его радиофизическая реализация // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, No 3. С. 461.
12. Arrowsmith D.K., Cartwright J.H.E., Lansbury A.N., Place C.M. The Bogdanov map: bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1993. Vol.3, No 4. P. 803.
13. Кузнецов А.П., Савин А.В., Седова Ю.В. Бифуркация Богданова–Такенса: от непрерывной к дискретной модели // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т.17, No 6. С. 139.
14. Gonchenko S. V., Ovsyannikov I. I., Simo C., Turaev D.V.  ́ Three-dimensional Henonlike maps and wild Lorenz-like attractors // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15, No 11. P. 3493.

15. Gonchenko S. V., Meiss J. D., Ovsyannikov I. I. Chaotic dynamics of three-dimensional Henon maps that originate from a homoclinic bifurcation // Regul. Chaotic Dyn. 2006. Vol. 11, No. 2. P. 191.
16. Адилова А.Б., Кузнецов А.П., Савин А.В. Динамика связанных дискретных осцилляторов Ресслера // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2013. Т. 21, No 5. С. 108.
17. Richter H. The generalized Henon maps: Examples for higher-dimensional chaos // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2002. Vol. 12, No 6. P. 1371.
18. Richter H. On a family of maps with multiple chaotic attractors // Chaos, Solitons & Fractals. 2008. Vol. 36, No 3. P. 559.
19. Elhadj Z., Sprott J.C. Classification of three-dimensional quadratic diffeomorphisms with constant Jacobian // Frontiers of Physics in China. 2009. Vol. 4, No 1. P. 111.

20. Broer H, Simo C., Vitolo R.  ́ Quasi-periodic bifurcations of invariant circles in lowdimensional dissipative dynamical systems // Regul. Chaotic Dyn. 2011. Vol. 16, No 1-2. P. 154.
21. Кузнецов А.П., Сатаев И.В., Станкевич Н.В., Тюрюкина Л.В. Физика квазипериодических колебаний. Саратов: Издательский центр «Наука», 2013. 424 с.
22. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. М.; Ижевск: ИКИ, 2004. 288 с.
23. Морозов А.Д. Резонансы, циклы и хаос в квазиконсервативных системах. М.; Ижевск: ИКИ, 2005. 424 с.

24. Matsumoto T., Chua L., Tokunaga R. Chaos via torus breakdown // IEEE Transactions on Circuits and Systems. 1987. Vol. 34, No. 3. P. 240.

25. Anishchenko V.S., Nikolaev S.M., Kurths J. Peculiarities of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 76. P. 046216.
26. Анищенко В.С, Николаев С.М. Генератор квазипериодических колебаний. Бифуркация удвоения двумерного тора // Письма ЖТФ. 2005. Т. 31, вып. 19. С. 88.

27. Анищенко В.С, Николаев С.М. Устойчивость, синхронизация и разрушение квазипериодических колебаний // Нелинейная динамика. 2006. Т. 2, No 3. С. 267.
28. Kuznetsov A.P., Kuznetsov S.P., Stankevich N.V. A simple autonomous quasiperiodic self-oscillator // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2010. Vol. 15. P. 1676.
29. Кузнецов А.П., Станкевич Н.В. Автономные системы с квазипериодической динамикой: Примеры и свойства (обзор) // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2015. Т. 23, No 3. С. 71.

30. Kuznetsov A.P., Sedova Yu.V. The simplest map with three-frequency quasi-periodicity and quasi-periodic bifurcations // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2016. Vol. 26, No 8. P. 1630019.

31. Broer H, Simo C., Vitolo R.  ́ Hopf saddle-node bifurcation for fixed points of 3D-diffeomorphisms: Analysis of a resonance «bubble» // Physica D. 2008. Vol. 237, No 13. P. 1773.
32. Vitolo R., Broer H., Simo C.  ́ Routes to chaos in the Hopf-saddle-node bifurcation for fixed points of 3D-diffeomorphisms // Nonlinearity. 2010. Vol. 23. P. 1919.
33. Broer H., Simo C., Vitolo R.  ́ The Hopf-saddle-node bifurcation for fixed points of 3D-diffeomorphisms: the Arnol’d resonance web // Reprint from the Belgian Mathematical Society. 2008. P. 769.

34. Shil’nikov A., Nicolis G., Nicolis C. Bifurcation and predictability analysis of a loworder atmospheric circulation model // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1995. Vol. 5, No 6. P. 1701.
35. Broer H., Simo C., Vitolo R.  ́ Bifurcations and strange attractors in the Lorenz-84 climate model with seasonal forcing // Nonlinearity. 2002. Vol. 15, No. 4. P. 1205.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF):