ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПЕРАТОРА ПЕРРОНА–ФРОБЕНИУСА

В работе выявляется структура полиномиальных собственных функций и функций ядра оператора Перрона–Фробениуса, соотнесенного с одномерными хаотическими отображениями, итеративная функция которых обладает следующими свойствами: кусочно-линейный характер; полные ветви, каждая из которых переводит область своего задания на полный интервал определения отображения; произвольный наклон ветви (области задания ветви), отсутствие щелей между ветвями.

Знание решения спектральной задачи позволяет аналитически определить скорость установления инвариантного распределения в системе, скорость расцепления корреляций в динамической системе, обладающей хаотическими свойствами, строить разложения функций, аналогичные разложению Эйлера–Маклорена.

В качестве метода решения спектральной задачи используется комбинированный подход, основанный на методе производящей функции для собственных функций оператора и методе неопределенных коэффициентов.

Впервые получено общее аналитическое решение спектральной задачи для случая произвольных наклона кусочно-линейных ветвей отображения и их сочетания.

Найдено решение задачи на полиномиальные собственные функции и собственные значения оператора Перрона–Фробениуса для произвольных кусочно-линейных отображений с полными ветвями без «щелей» – конечных областей нулевого значения итеративной функции. Определен также общий вид функций, составляющих ядро оператора. Результаты верифицируются на примере сдвигов Бернулли.

Факторизация производящей функции для собственных функций оператора позволяет найти универсальный набор рекуррентно вычисляемых коэффициентов, на основе которых и конструируются собственные полиномиальные функции. Полученные решения включают как частные случаи решения подобной задачи для отображений, представляющих композицию полных линейных ветвей, но характеризуемых одинаковым модулем производной и произвольным чередованием знака производной (сдвиги Бернулли, разнообразные пилообразные отображения).

 

DOI:10.18500/0869-6632-2016-24-4-6-16

 

Ссылка на статью: Аникин В.М., Аркадакский С.С., Купцов С.Н., Ремизов С.А. Полиномиальные собственные функции оператора Перрона–Фробениуса // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2016. Т. 24, No 4. С. 6–16.

 
 
Литература

1. Аникин В.М., Голубенцев А.Ф. Аналитические модели детерминированного хаоса / Предисл. Д.И. Трубецкова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 328 с.

2. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Ремизов А.С. Несамосопряженные линейные операторы в хаотической динамике. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2015. 96 с.

3. Аникин В.М. Спектральные задачи для оператора Перрона–Фробениуса // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т. 17, No 4. С. 35–48.

4. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.

5. Кнут Д. Искусство программирования. В 3 т. Т. 2: Получисленные алгоритмы. 3-е изд. М.: Вильямс, 2000. 832 с.

6. Аникин В.М. Отображение Гаусса: эволюционные и вероятностные свойства. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 80 с.

7. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Купцов С.Н., Ремизов А.С., Василенко Л.П. Релаксационные свойства хаотических динамических систем // Известия РАН.Сер. Физическая. 2009. Т. 73, No 12. С. 1739–1744.

8. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Купцов С.Н., Ремизов А.С., Василенко Л.П. Классификация хаотических моделей малоразмерной нелинейной динамики // Известия РАН. Сер. Физическая. 2009. Т. 73, No 12. С. 1790–1792.

9. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. К решению парадигмы времени. М.: УРСС, 2000. 240 с.

10. Аникин В.М., Трубецков Д.И. Вопросы теории детерминированного хаоса в работах А.Ф. Голубенцева (к 80-летию со дня рождения) // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2013. Т. 21, No 5. С. 120–123.

11. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. О некоторых свойствах оператора Фробениуса–Перрона // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8, No 2. С. 67–73.

12. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Инвариантные функциональные подпространства линейных эволюционных операторов хаотических отображений // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т. 13, No 1–2. С. 3–17.

13. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Ремизов А.С. Аналитическое решение спектральной задачи для оператора Перрона–Фробениуса кусочно-линейных хаотических отображений // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. Т. 14, No 2. С. 16–34.

14. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Ремизов А.С. Особенности решения спектральной задачи для оператора Перрона–Фробениуса, обусловленные критическим сочетанием параметров хаотического отображения // Теоретическая физика.2007. Т. 8. С. 176–183.

15. Аникин В.М., Ремизов А.С., Аркадакский С.С. Собственные функции и числа оператора Перрона–Фробениуса кусочно-линейных хаотических отображений// Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика.2007. Т. 15, No 2. С. 62–75.

16. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Ремизов А.С., Купцов С.Н., Василенко Л.П. Определение инвариантной плотности отображения Реньи на основе гауссова подхода // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16, No 6. С. 46–56.

17. Аникин В.М., Аркадакский С.С., Купцов С.Н., Ремизов А.С., Василенко Л.П. О показателе Ляпунова для хаотических одномерных отображений с равномерным инвариантным распределением // Известия РАН. Сер. физическая. 2008. Т. 72, No 12. С. 1800–1804.

18. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979. С. 611.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF):