ПРОВЕРКА УСЛОВИЙ ГИПЕРБОЛИЧНОСТИ ХАОТИЧЕСКОГО АТТРАКТОРА В СИСТЕМЕ СВЯЗАННЫХ НЕАВТОНОМНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ВАН ДЕР ПОЛЯ

Представлены методика и результаты численных расчетов по проверке условий гиперболичности хаотического аттрактора в отображении Пуанкаре для системы двух связанных неавтономных осцилляторов ван дер Поля (Kuznetsov, Phys. Rev. Lett., 95, 2005, 144101). При выбранных значениях параметров в четырехмерном фазовом пространстве отображения Пуанкаре указана область в форме тороида (топологически эквивалентная прямому произведению окружности и трехмерного шара), которая отображается внутрь себя и содержит анализируемый аттрактор. В этой области, согласно проведенным вычислениям, выполнены условия расположения расширяющихся и сжимающихся конусов в касательном пространстве (пространстве векторов возмущения состояний системы), гарантирующие гиперболичность. Представлены также численные результаты, иллюстрирующие некоторые атрибуты гиперболической динамики.

Ключевые слова: 
-
Литература

1. Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны / Под ред. А.В.Гапонова–Грехова. М.: Наука, 1979. С. 192.

2. Современные проблемы математики: Фундаментальные направления // Итоги науки и техники. Под ред. Р.В. Гамкрелидзе. М.: Изд. ВИНИТИ АН СССР, 1985. Т. 2.

3. Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002. 559 с.

4. Devaney R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. NY: Addison-Wesley, 1989.

5. Shilnikov L. Mathematical problems of nonlinear dynamics: A Tutorial // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 1997. Vol. 7, No 9. P. 1353.

6. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем / Пер. с англ. М.: Факториал, 1999. 768 c.

7. Afraimovich V. and Hsu S.-B. Lectures on chaotic dynamical systems // AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, Vol. 28, American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville, MA, 2003.

8. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1993.

9. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Москва – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

10. Бунимович Л.А., Синай Я.Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца // Нелинейные волны. Под ред. А.В.Гапонова–Грехова. М.: Наука, 1979. С. 212.

11. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР. 1977. Vol. 234. P. 336.

12. Шильников Л.П., Тураев Д.В. О катастрофах голубого неба // Доклады РАН. 1995. Т. 342 , No5. С. 596.

13. Hunt T.J. and MacKay R.S. Anosov parameter values for the triple linkage and a physical system with a uniformly chaotic attractor // Nonlinearity. 2003. Vol. 16. P. 499.

14. Hunt T.J. Low Dimensional Dynamics: Bifurcations of Cantori and Realisations of Uniform Hyperbolicity. PhD Thesis, Univ. of Cambridge, 2000 (http://www.timhunt.me.uk/maths/thesis.ps.gz).

15. Belykh V., Belykh I. and Mosekilde The hyperbolic Plykin attractor can exist in neuron models // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15, No 11. P. 3567.

16. Kuznetsov S.P. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale–Williams type // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 44101.

17. Кузнецов C.П., Селезнев Е.П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла – Вильямса // ЖЭТФ. 2006. Vol. 129, No 2. С. 400.

18. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975. 240 с.

19. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с.

20. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.

21. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.

22. LAPACK – Linear Algebra PACKage, version 3.0. May, 2000 (http://www.netlib.org/lapack).

23. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.-M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. Part {I}: Theory. Part {II}: Numerical application // Meccanica. 1980. Vol. 15. P. 9.

24. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001.

25. Bunimovich L.A., Sinai Ya.G. Statistical mechanics of coupled map lattices // Theory and application of coupled map lattices / Ed. by K.Kaneko. John Wiley & Sons Ltd, 1993. P. 169.

26. Bunimovich L.A., Sinai Ya.G. Spacetime chaos in coupled map lattices // Nonlinearity. 1988. Vol. 1. P. 491.

Статус: 
одобрено к публикации
Краткое содержание (PDF): 
Текст в формате PDF: