Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Волков Е. И. Вынужденные колебания биритмичной пары релаксационных осцилляторов вблизи бифуркации Андронова-Хопфа // Известия вузов. ПНД. 2004. Т. 12, вып. 6. С. 60-78. DOI: 10.18500/0869-6632-2004-12-6-60-78

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF 2004no6p060.pdf
(загрузок: 0)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Бифуркации в динамических системах различной природы
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
534.05179
DOI: 
10.18500/0869-6632-2004-12-6-60-78

Вынужденные колебания биритмичной пары релаксационных осцилляторов вблизи бифуркации Андронова-Хопфа

Авторы: 
Волков Евгений Израилевич, Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова (МГУ)
Аннотация: 

Рассмотрены динамические режимы, возникающие в системе из двух одинаковых релаксационных осцилляторов ФитцХью - Нагумо, параметры которых выбраны вблизи бифуркации рождения цикла, при действии слабого гармонического сигнала на оба элемента. Показано, что обмен медленной переменной, порождающий три устойчивых предельных цикла: синфазный, антифазный и предельно асимметричный (один осциллятор не генерирует вспышек), радикально меняет отклик системы на сигнал по сравнению с классической динамикой вынужденных колебаний. Помимо ожидаемых языков синхронизации, которые образуются при взаимодействии синфазного аттрактора с сигналом, присутствие сосуществующих решений приводит, по крайней мере, к трем эффектам: 1 - появление широких полос синхронизании сигнала и противофазного решения на высоких частотах, кратных частоте противофазных колебаний, и резкое сужение основной полосы синхронизации противофазного решения; 2 - появление интервалов периодов сигнала, в которых образуются предельные циклы с несколькими вспышками быстрой переменной в течение полного периода и с дискретным одинаковым набором межвспышечных интервалов в каждом осцилляторе; 3 - образование узких интервалов периодов сигнала, приводящих к сложным предельным циклам с неодинаковым числом вспышек быстрой переменной у осцилляторов в одном периоде и резко различными длительностями межвспышечных интервалов. Предложено качественное объяснение механизма образования сложных ритмов в рассмотренных областях параметров, задающих релаксационность осцилляторов и их близость к точке бифуркации.

Ключевые слова: 
-
Благодарности: 
Автор признателен Б. Безручко, M. Заксу, А. Кузнецову, А. Полежаеву, А. Пиковскому, M. Розенблюму за полезные обсуждения. Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, Программы «Проблемы радиофизики» ОФН РАН и Программы поддержки ведущих научных школ.
Список источников: 
  1. Van der Роl В. Forced oscillations in а circuit with non-linear resistance. (Reception with reactive triode) // Phil. Mag. 1926. Vol. 3. P. 64.
  2. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. M.: Наука, 1978
  3. Хаяси Т. Нелинейные колебания B физических системах. М.: Мир, 1968.
  4. Ланда П.С. Автоколебательные системы с конечным числом степеней свободы. M.: Наука, 1980.
  5. Pikovsky А., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization. A Universal Concept in Nonlinear Sciences. Cambridge University Press, 2001.
  6. Glass L., Mackey M.C. From Clocks to Chaos. The Rhythms of Life. Princeton University Press, 1988.
  7. Tass PA. Phase Resetting т Medicine and Biology. Stochastic Modelling and Data Analysis. Springer, Berlin, 1999.
  8. Yuasa H., Ito M. Coordination of many oscillators and generation of locomotory patterns // Biol. Cybern. 1990. Vol. 63. P. 177.
  9. Collins J.J., Stewart I.N. Coupled nonlinear oscillators and the symmetries оf animal gaits // J. Nonlinear Sci. 1993. Vol. 3. P. 349.
  10. Golubitsky M., Stewart I., Buono P.-L., Collins J.J. A modular network for legged locomotion // Physica D. 1998. Vol. 115. P. 56.
  11. Takamatsu A. et al. Spatiotemporal Symmetry in Rings of Coupled Biological Oscillators оf Physarum Plasmodial Slime mold // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 87. P. 078102.
  12. Wang X.-J., Rinzel J. Alternating and synchronous rhythms 10 reciprocally inhibitory model neurons // Neural Comput. 1992. Vol. 4. P. 84.
  13. Cymbalyuk G.S., Nikolaev E.V, Borisyuk R.M. In-phase and antiphase self-oscillations in а model of two electrically coupled pacemakers // Biol. Cybern. 1994, Vol. 71. P. 153.
  14. Абарбанель Г.Д., Рабинович М.И., Селверстон А. и др. Синхронизация в нейронных ансамблях // Усп. Физ. Наук. 1996. Т. 166. № 4. С. 363.
  15. Postnov D., Han S.K., Kook H. Synchronization оf diffusively coupled oscillators near the homoclinic bifurcation // Phys. Rev. Е. 1999, Vol. 60. P. 2799.
  16. Courbage M., Kazantsev V.B., Nekorkin V.I, Senneret M. Emergence оf chaotic attractor and anti-synchronization for two coupled monostable neurons // Chaos. 2004. Vol. 14. P. 1148.
  17. Kopell N., Somers D. Anti-phase solutions in relaxation oscillators coupled through excitatory interactions // J. Math. Biol. 1995. Vol. 33. P. 261.
  18. Ebeling W., Landa P.S., Ushakov V.G. Self-oscillations in ring Toda chains with negative friction // Phys. Rev. Е. 2001. Vol. 63. P. 046601.
  19. Ruwisch D., Bode M., Schutz P, Markus M. Parallel analog computation of coupled cell cycles with electrical oscillators // Phys. Lett. A. 1994. Vol. 186. P. 137.
  20. Brailove A.A., Linsay P.S. An experimental study of a population of relaxation oscillators with а phase-repelling mean-field coupling // Int. J. Bifurcation Chaos. 1996. Vol. 6. P. 1211.
  21. Khibnik A.I et al. Amplitude dropout in coupled lasers // Phys. Rev. А. 2000. Vol. 62. P. 063815.
  22. Bar-Eli K. Coupling of identical chemical oscillators // J. Phys. Chem. 1990. Vol. 94. P. 2368.
  23. Yoshimoto M., Yoshikawa K., Mori Y. Coupling among three chemical oscillators: synhronization, phase death, and frustration// Phys. Rev. E. 1993. Vol. 47. P. 864.
  24. Vanag V.K., Yang L., Dolnik M., Zhabotinsky A.M., Epshtein I.R. Oscillatory claster patterns in a homogeneous chemical system with global feedback // Nature. 2000. Vol. 406. P. 389.
  25. Rabinovich M., Huerta R., Bazhenov M., Kozlov A.K., Abarbanel H.D.I. Computer simulations of stimulus dependent state switching in basic circuits of bursting neurons // Phys. Rev.E. 1998. Vol. 58. P. 6418.
  26. Sosnovtseva О.К, Postnov D.E., Nekrasov А.M., Mosekilde E., Holstein-Rathlou N.-H. Phase multistability оf self-modulated oscillations // Phys. Rev. Е. 2002. Vol. 66, P. 036224.
  27. Rand R.H., Holmes P.J. Bifurcations of periodic motions in two weakly coupled van der Pol oscillators // Int. J. Non-linear Mech. 1980. Vol. 15. P. 387.
  28. Schreiber 1., Holodniok M., Kubicek M., Marek M. Periodic and aperiodic regimes in coupled dissipative chemical oscillators // J. Stat. Phis. 1986. Vol. 43, P. 314.
  29. Aronson D.G., Doedel E.J., Othmer H.G. An analitical and numerical study оf the bifurcations in а system оf linearly-coupled oscillators // Physica D. 1987. Vol. 25. Р. 20.
  30. Ashwin Р, King G.P, Swift JW. Three identical oscillators with symmetrical coupling // Nonlinearity. 1990. Vol. 3. P. 585.
  31. Crowley М.Е, Epstein 1.К. Experimental and theoretical stadies of a coupled chemical oscillator: phase death, multistability, and in-phase and out-of-phase entrainment // J.Phys.Chem. 1989. Vol. 93. P. 2496.
  32. Ruwisch Р., Bode M., Volkov D.V., Volkov E.I. Collective modes оf the three coupled relaxation oscillators: the influence оf detuning // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1999, Vol. 9, P. 1969.
  33. Ramana Reddy D.V., Sen A., Johnston G.L. Experimental evidence of time-delay induced death in coupled limit-cycle oscillators // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. P. 3381.
  34. Renversez G. Synchronization in two neurons: Results for a two-component dynamical model with time-delayed inhibition // Physica D. 1998. Vol. 114. P. 147.
  35. Volkov E.I, Stolyarov M.N. Birhythmicity in а system of two coupled oscillators // Phys. Lett. А. 1991. Vol. 159, P. 61.
  36. Volkov E.IL, Stolyarov M.N. Temporal variability in а system оf coupled mitotic timers // Biol. Cybern. 1994. Vol. 71. P. 451.
  37. Волков Д.В., Столяров M.H., Волков Е.И. Эффективный численный способ изучения динамики цепочек сильно релаксационных осцилляторов // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т. 4, № 3. С. 77.
  38. Volkov E.L, Stolyarov M.N. Temporal variability generated by coupling of mitotic timers // J. Biol. Systems. 1995. Vol. 3. P. 63.
  39. Анищенко В.C., Нейман А.B., Мосс Ф., Шиманский-Гайер Л. Стохастический резонанс: индуцированный шумом порядок // Усп. Физ. Наук. 1999. Т. 169. С. 7.
  40. Izhikevich Е.М. Resonance and selective communication via bursts т neurons having subthreshold oscillations // BioSystems. 2002. Vol.67. P.95.
  41. Medvedev G.S., Cisternas J.E. Multimodal regimes in a compartmental model of the dopamine neuron // Physica D. 2004. Vol. 194. P. 333.
  42. Somers D., Kopell N. Rapid synchronization through fast threshold modulation // Biol. Cybern. 1993. Vol. 68. P. 393.
  43. Eckhause W. Relaxation oscillations including а standard case of French ducks // In: Springer Lecture Notes Math. 1983. Vol.985. Р. 449.
  44. Braaksma B., Grasman J. Critical dynamics оf the Bonhoeffer-van der Pol equation and its chaotic response to periodic stimulation // Physica D. 1992. Vol. 68. P. 265.
  45. Lloyd Р., Lloyd A.L., Olsen L.F. The cell division cycle: а physiologically plausible dynamic model can exibit chaotic solutions // BioSystems. 1992, Vol. 27. P. 17.
  46. Landa P. S., Rabinovitch A. Exhibition of intrinsic properties of certain systems in response 10 external disturbances // Phys. Rev. Е. 2000. Vol. 61. P. 1829.
  47. Sekikawa M., Inaba N., Tsubouchi T. Chaos via duck solution breakdown in a piecewise linear van der Pol oscillator driven by an extremely small periodic perturbation // Physica D. 2004. Vol. 194. P. 227.
  48. Treutlein H., Schulten K. Noise-induced neural impulses // Eur. Biophys. J. 1986. Vol. 13. P. 355.
  49. Volkov E.I, Stolyarov M.N., Zaikin А., Kurths J. Coherence resonance and polymodality in inhibitory coupled excitable oscillators // Phys. Rev. Е. 2003. Vol. 67. P. 066202.
  50. Postnov D.E., Sosnovtseva O.V., Наn S.K., Kim W.S. Noise-induced multimode behavior in excitable systems // Phys. Rev. Е. 2002. Vol. 66. P. 016203.
  51. Volkov Е.I., Ullner E., Zaikin A.A., Kurths J. // Phys. Rev. Е. 2003. Vol. 68. P. 061112.
  52. Кернер Б., Осипов В. // Усп. Физ. Hayк. 1990. Т. 33. С. 679.
  53. Castets V., Dulos E., Boissonade J., De Kepper P. Experimental evidence оf а sustained standing turing-type nonequilibrium chemical pattern // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 64. P. 2953.
  54. Wang X-J., Rinzel J. Alternating and synchronous rhythms in reciprocally inhibitory model neurons // Neural Comp. 1992. Vol. 4. P. 84
  55. McMillen D., Kopell N., Hasty J., Collins J.J. Synchronizing genetic relaxation oscillators by intercell signalling // Proc. Natl. Acad. Sci. 2002. Vol. 99. P. 679.
  56. Kuznetsov A., Kaern M., Kopell N. Synchrony in a population of hysteresis-based generic oscillators // SIAM J. Appl. Math. 2005. Vol. 65. P. 392.
Поступила в редакцию: 
29.11.2005
Принята к публикации: 
12.04.2005
Опубликована: 
15.06.2005
  • 154 просмотра