Для цитирования:
Рассадин А. Э. Асимптотическое решение для SIS-модели с учётом миграции и диффузии // Известия вузов. ПНД. 2024. Т. 32, вып. 6. С. 908-920. DOI: 10.18500/0869-6632-003141, EDN: VMCMSE
Асимптотическое решение для SIS-модели с учётом миграции и диффузии
Цель настоящей работы — предложить и исследовать простую и эффективную модель эпидемии в популяции животных, учитывающую миграцию по плоскости как заболевших, так и оставшихся здоровыми особей. В рамках данной модели пространственная миграция популяции описывается введением в её уравнения и диффузионных, и адвективных членов.
Методы. В данной работе для нахождения асимптотического решения системы уравнений эпидемии применялся метод многих масштабов. Решения вспомогательных линейных уравнений параболического типа, возникающих при проведении этой процедуры, находились с помощью интеграла Пуассона. Упрощение исходной системы уравнений модели производится на основе предположения о постоянстве в начальный момент времени суммы плотностей здоровых и больных особей на односвязной области большого диаметра на плоскости.
Результаты. Показано, что в этом случае сконструированное для медленно меняющейся начальной плотности больных особей, сосредоточенной внутри этой области на значительном удалении от её границ, асимптотическое решение модели описывает эффект слияния нескольких пространственно-разнесённых небольших вспышек заболевания в одну большую вспышку при миграции всей популяции как целого. В частности, для такой начальной плотности, получающейся функциональным преобразованием гауссоиды, на больших временах формируется круговое «плато» с линейно растущим со временем эффективным радиусом.
Заключение. Построенное асимптотическое решение предложенной в данной работе модели эпидемии несложно по форме и описывает перенос заболевания на локально плоском участке земной поверхности без применения численных методов. Такое решение удобно при описании миграции больной популяции под воздействием наводнения, лесного пожара, техногенной катастрофы с заражением местности и т. д.
- Lotka A. J. Elements of physical biology. Williams & Wilkins, 1925. 460 p.
- Volterra V. Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi // Memoria della Reale Accademia Nazionale dei Lincei. 1926. Vol. 2. P. 31–113.
- Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. M.: Наука, 1985. 181 с.
- Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. M.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. 560 с.
- Фрисман В. Я., Кулаков М. П., Ревуцкая О. Л., Жданова О. Л., Неверова Г. П. Основные направления и обзор современного состояния исследований динамики структурированных и взаимодействующих популяций // Компьютерные исследования и моделирование. 2019. Т. 11, № 1. С. 119—151. DOI: 10.20537/2076-7633-2019-11-1-119-151.
- Белотелов Н. В., Коноваленко И. А. Моделирование влияния подвижности особей на пространственно-временную динамику популяции на основе компьютерной модели // Компьютерные исследования и моделирование. 2016. Т. 8, № 2. С. 297—305. DOI: 10.20537/2076-7633-2016-8-2-297-305.
- Кулаков М. П., Фрисман В. Я. Подходы к исследованию мультистабильности пространственно-временной динамики двухвозрастной популяции // Известия вузов. ПНД. 2020. Т. 28, № 6. С. 653—678. DOI: 10.18500/0869-6632-2020-28-6-653-678.
- Brauer F., Castillo-Chavez C., Feng Z. Mathematical models in epidemiology. Springer Science+ Business Media, LLC, part of Springer Nature, 2019. 619 p. DOI: 10.1007/978-1-4939-9828-9.
- Kant S., Kumar V. Stability analysis of predator–prey system with migrating prey and disease infection in both species // Applied Mathematical Modelling. 2017. Vol. 42. P. 509—539. DOI: 10.1016/j.apm.2016.10.003.
- Шабунин А. В. SIRS-модель распространения инфекций с динамическим регулированием численности популяции: Исследование методом вероятностных клеточных автоматов // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, № 2. С. 5—20. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-2-5-20.
- Arif M., Abodayeh K., Ejaz A. On the stability of the diffusive and non-diffusive predator-prey system with consuming resources and disease in prey species // Mathematical Biosciences and Engineering. 2023. Vol. 20, no 3. P. 5066—5093. DOI: 10.3934/mbe.2023235.
- Kermack W. O., McKendrick A. G. Contributions to the mathematical theory of epidemics. II. — The problem of endemicity // Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. 1932. Vol. 138, no. 834. P. 55–83. DOI: 10.1098/rspa.1932.0171.
- Аристов В. В., Строганов А. В., Ястребов А. Д. Применение модели кинетического типа для изучения пространственного распространения COVID-19 // Компьютерные исследования и моделирование. 2021. Т. 13, № 3. С. 611—627. DOI: 10.20537/2076-7633-2021-13-3-611-627.
- Бугров В. О., Рассадин А. Э. Модель распространения пандемии с двумя устойчивыми состояниями // «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»: X Международная научная молодежная школа-семинар имени Е. В. Воскресенского (Саранск, 14–18 июля 2022 г.). С. 40–48.
- Barwolff G. A local and time resolution of the COVID-19 propagation — a two-dimensional approach for Germany including diffusion phenomena to describe the spatial spread of the COVID-19 pandemic // Physics. 2021. Vol. 3. P. 536–548. DOI: 10.3390/physics3030033.
- Viguerie A., Veneziani A., Lorenzo G., Baroli D., Aretz-Nellesen N., Patton A., Yankeelov T. E., Reali A., Hughes T. J. R., Auricchio F. Diffusion–reaction compartmental models formulated in a continuum mechanics framework: application to COVID-19, mathematical analysis, and numerical study // Computational Mechanics. 2020. Vol. 66. P. 1131–1152. DOI: 10.1007/s00466-020-01888-0.
- Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.
- Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С. Исследование уравнения диффузии, соединённой с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ. Секция А. Математика и механика. 1937. Т. 1, вып. 6. С. 1–26.
- Берман В. С. Об асимптотическом решении одной нестационарной задачи о распространении фронта химической реакции // Доклады АН СССР. 1978. Т. 242, № 2. С. 265–267.
- Kardar M., Parisi G., Zhang Y. C. Dynamical scaling of growing interfaces // Physical Review Letters. 1986. Vol. 56. P. 889–892. DOI: 10.1103/PhysRevLett.56.889.
- 130 просмотров