Для цитирования:
Кузнецов С. П. Аттрактор Белых в отображении Заславского и его трансформация при сглаживании // Известия вузов. ПНД. 2018. Т. 26, вып. 1. С. 64-79. DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-1-64-79
Аттрактор Белых в отображении Заславского и его трансформация при сглаживании
Если при задании оператора эволюции динамических систем допустить использование негладких или разрывных функций, то ситуации квазигиперболической хаотической динамики реализуются достаточно просто. Это имеет место, например, на аттракторах в модельном отображении Лози и в отображении Белых. В настоящей статье рассматривается квазигиперболический аттрактор Белых в отображении, описывающем динамику ротатора с диссипацией в присутствии периодических толчков, у которых интенсив- ность зависит по пилообразному закону от мгновенной угловой координаты ротатора, а также исследуется трансформация аттрактора при сглаживании пилообразной функции. Представлены преобразования, сводящие задачу к отображению Белых стандартной формы. Приводятся результаты численных расчетов, иллюстрирующих динамику системы с непрерывным временем на аттракторе Белых. Представлены и обсуждаются также результаты для модели со сглаженной пилообразной функцией в зависимости от параметра, характеризующего масштаб сглаживания. На графиках зависимости показателей Ляпунова при сглаживании пилообразной функции можно видеть появление окон периодической динамики, что говорит о нарушении квазигиперболической природы аттрактора. Приведены также карты динамических режимов на плоскости параметров системы, где присутствуют области периодических движений («языки Арнольда»), уменьшающиеся по мере уменьшения характерного масштаба сглаживания и исчезающие в предельном случае разрывной пилообразной функции. Поскольку изначально аттрактор Белых введен в контексте радиофизических задач (фазовая автоподстройка частоты), предпринятый здесь анализ представляет интерес с точки зрения возможного использования хаотической динамики на этом аттракторе в электронных устройствах.
- Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Максимов Н.А., Панас А.И. Генерация хаоса. М.: Техносфера, 2012. 432 с.
- Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // УМН. 1970. Т. 25:1 (151). С. 113–185.
- Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. 768 с.
- Кузнецов С.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: От математики к физике // УФН. 2011. Т. 181. № 2. С. 121–149.
- Bonatti C., Diaz L.J., Viana M. Dynamics beyond Uniform Hyperbolicity. A Global Geometric and Probabilistic Perspective. Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 2005. 384 p.
- Тураев Д.В., Шильников Л.П. Пример дикого странного аттрактора // Математический сборник. 1998. Т. 189, № 2. С. 137–160.
- Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. Т. 25, № 2. С. 4–36.
- Afraimovich V.S. Strange attractors and quasiattractors // Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. 1984. Vol. 1. Pp. 1133–1138.
- Shilnikov L. Mathematical problems of nonlinear dynamics: A tutorial // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1997. Vol. 7, No. 9. Pp. 1953–2001.
- Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // The Theory of Chaotic Attractors. New-York: Springer, 1976. Pp. 94–102.
- Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Physics Letters A. 1976. Vol. 57, No. 5. Pp. 397–398.
- Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990. 312 с.
- Лоскутов А.Ю. Очарование хаоса // Успехи физических наук. 2010. Т. 180, № 12. С. 1305–1329.
- Кузнецов С.П. Динамический хаос. Москва: Физматлит, 2001. 296 с.
- Banerjee S., Yorke J.A., Grebogi C. Robust chaos // Physical Review Letters. 1998. Vol. 80, No. 14. Pp. 3049–3052.
- Elhadj Z., Sprott J.C. Robust Chaos and Its Applications. Singapore: World Scientific, 2011. 472 p.
- Lozi R. Un attracteur etrange du type attracteur de Henon // Le Journal de Physique Colloques. 1978. Vol. 39, No. C5. P. C5-9–C5-10.
- Botella–Soler V., Castelo J.M., Oteo J.A., Ros J. Bifurcations in the Lozi map // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2011. Vol. 44, No. 30. P. 305101.
- Системы фазовой синхронизации / Ред. В.В. Шахгильдян и Л.Н. Белюстина. М.: Радио и связь, 1982. 288 с.
- Белых В.Н. О моделях систем фазовой синхронизации и их исследовании // Динамика систем. Межвузовский сборник. 1976. № 11. С. 23–32.
- Белых В.Н. Хаотические и странные аттракторы двумерного отображения // Математический сборник. 1995. Т. 186, № 3. С. 3–18.
- Belykh V.N., Belykh I. Belykh map // Scholarpedia. 2011. Vol. 6, No. 10. P. 5545.
- Deshpande A., Chen Q., Wang Y., Lai Y.C., Do Y. Effect of smoothing on robust chaos // Physical Review E. 2010. Vol. 82, No. 2. 026209.
- Aziz-Alaoui M.A., Robert C., Grebogi C. Dynamics of a Henon–Lozi-type map // Chaos, Solitons & Fractals. 2001. Vol. 12, No. 12. Pp. 2323–2341.
- Zaslavsky G.M. The simplest case of a strange attractor // Physics Letters A. 1978. Vol. 63, No. 3. Pp. 145–147.
- Мун Ф. Хаотические колебания. Вводный курс для научных работников и инженеров. Москва: Мир, 1990. 311 с.
- Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. Part 1: Theory // Meccanica. 1980. Vol. 15, No. 1. Pp. 9–20.
- Shimada I., Nagashima T. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical systems // Progr. Theor. Phys. 1979. Vol. 61, No. 6. Pp. 1605–1616.
- Kaplan J.L., Yorke J.A. A chaotic behavior of multi-dimensional differential equations. In: Functional Differential Equations and Approximations of Fixed Points // Lecture Notes in Mathematics. Vol. 730 // Ed. by Peitgen H.O. and Walther H.O. Berlin, N.-Y.: Springer, 1979. Pp. 204–227.
- 2231 просмотр