Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Кузнецов С. П. Аттрактор Белых в отображении Заславского и его трансформация при сглаживании // Известия вузов. ПНД. 2018. Т. 26, вып. 1. С. 64-79. DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-1-64-79

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 70)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9

Аттрактор Белых в отображении Заславского и его трансформация при сглаживании

Авторы: 
Кузнецов Сергей Петрович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А.Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Аннотация: 

Если при задании оператора эволюции динамических систем допустить использование негладких или разрывных функций, то ситуации квазигиперболической хаотической динамики реализуются достаточно просто. Это имеет место, например, на аттракторах в модельном отображении Лози и в отображении Белых. В настоящей статье рассматривается квазигиперболический аттрактор Белых в отображении, описывающем динамику ротатора с диссипацией в присутствии периодических толчков, у которых интенсив- ность зависит по пилообразному закону от мгновенной угловой координаты ротатора, а также исследуется трансформация аттрактора при сглаживании пилообразной функции. Представлены преобразования, сводящие задачу к отображению Белых стандартной формы. Приводятся результаты численных расчетов, иллюстрирующих динамику системы с непрерывным временем на аттракторе Белых. Представлены и обсуждаются также результаты для модели со сглаженной пилообразной функцией в зависимости от параметра, характеризующего масштаб сглаживания. На графиках зависимости показателей Ляпунова при сглаживании пилообразной функции можно видеть появление окон периодической динамики, что говорит о нарушении квазигиперболической природы аттрактора. Приведены также карты динамических режимов на плоскости параметров системы, где присутствуют области периодических движений («языки Арнольда»), уменьшающиеся по мере уменьшения характерного масштаба сглаживания и исчезающие в предельном случае разрывной пилообразной функции. Поскольку изначально аттрактор Белых введен в контексте радиофизических задач (фазовая автоподстройка частоты), предпринятый здесь анализ представляет интерес с точки зрения возможного использования хаотической динамики на этом аттракторе в электронных устройствах.

Список источников: 
  1. Дмитриев А.С., Ефремова Е.В., Максимов Н.А., Панас А.И. Генерация хаоса. М.: Техносфера, 2012. 432 с.
  2. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // УМН. 1970. Т. 25:1 (151). С. 113–185.
  3. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. 768 с.
  4. Кузнецов С.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: От математики к физике // УФН. 2011. Т. 181. № 2. С. 121–149.
  5. Bonatti C., Diaz L.J., Viana M. Dynamics beyond Uniform Hyperbolicity. A Global Geometric and Probabilistic Perspective. Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 2005. 384 p.
  6. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Пример дикого странного аттрактора // Математический сборник. 1998. Т. 189, № 2. С. 137–160.
  7. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017. Т. 25, № 2. С. 4–36.
  8. Afraimovich V.S. Strange attractors and quasiattractors // Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. 1984. Vol. 1. Pp. 1133–1138.
  9. Shilnikov L. Mathematical problems of nonlinear dynamics: A tutorial // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1997. Vol. 7, No. 9. Pp. 1953–2001.
  10. Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // The Theory of Chaotic Attractors. New-York: Springer, 1976. Pp. 94–102.
  11. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Physics Letters A. 1976. Vol. 57, No. 5. Pp. 397–398.
  12. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990. 312 с.
  13. Лоскутов А.Ю. Очарование хаоса // Успехи физических наук. 2010. Т. 180, № 12. С. 1305–1329.
  14. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Москва: Физматлит, 2001. 296 с.
  15. Banerjee S., Yorke J.A., Grebogi C. Robust chaos // Physical Review Letters. 1998. Vol. 80, No. 14. Pp. 3049–3052.
  16. Elhadj Z., Sprott J.C. Robust Chaos and Its Applications. Singapore: World Scientific, 2011. 472 p. 
  17. Lozi R. Un attracteur etrange du type attracteur de Henon // Le Journal de Physique Colloques. 1978. Vol. 39, No. C5. P. C5-9–C5-10.
  18. Botella–Soler V., Castelo J.M., Oteo J.A., Ros J. Bifurcations in the Lozi map // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2011. Vol. 44, No. 30. P. 305101.
  19. Системы фазовой синхронизации / Ред. В.В. Шахгильдян и Л.Н. Белюстина. М.: Радио и связь, 1982. 288 с.
  20. Белых В.Н. О моделях систем фазовой синхронизации и их исследовании // Динамика систем. Межвузовский сборник. 1976. № 11. С. 23–32.
  21. Белых В.Н. Хаотические и странные аттракторы двумерного отображения // Математический сборник. 1995. Т. 186, № 3. С. 3–18.
  22. Belykh V.N., Belykh I. Belykh map // Scholarpedia. 2011. Vol. 6, No. 10. P. 5545.
  23. Deshpande A., Chen Q., Wang Y., Lai Y.C., Do Y. Effect of smoothing on robust chaos // Physical Review E. 2010. Vol. 82, No. 2. 026209.
  24. Aziz-Alaoui M.A., Robert C., Grebogi C. Dynamics of a Henon–Lozi-type map // Chaos, Solitons & Fractals. 2001. Vol. 12, No. 12. Pp. 2323–2341.
  25. Zaslavsky G.M. The simplest case of a strange attractor // Physics Letters A. 1978. Vol. 63, No. 3. Pp. 145–147.
  26. Мун Ф. Хаотические колебания. Вводный курс для научных работников и инженеров. Москва: Мир, 1990. 311 с.
  27. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.M. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltonian systems: A method for computing all of them. Part 1: Theory // Meccanica. 1980. Vol. 15, No. 1. Pp. 9–20.
  28. Shimada I., Nagashima T. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical systems // Progr. Theor. Phys. 1979. Vol. 61, No. 6. Pp. 1605–1616.
  29. Kaplan J.L., Yorke J.A. A chaotic behavior of multi-dimensional differential equations. In: Functional Differential Equations and Approximations of Fixed Points // Lecture Notes in Mathematics. Vol. 730 // Ed. by Peitgen H.O. and Walther H.O. Berlin, N.-Y.: Springer, 1979. Pp. 204–227.
Поступила в редакцию: 
03.10.2017
Принята к публикации: 
03.11.2017
Опубликована: 
28.02.2018
Краткое содержание:
(загрузок: 0)