Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Кащенко И. С., Кащенко С. А. Динамика уравнения с двумя запаздываниями, моделирующего численность популяции // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 2. С. 21-38. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-2-21-38

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 135)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9

Динамика уравнения с двумя запаздываниями, моделирующего численность популяции

Авторы: 
Кащенко Илья Сергеевич, Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова (ЯрГУ)
Кащенко Сергей Александрович, Ярославский государственный университет имени П.Г.Демидова (ЯрГУ)
Аннотация: 

Предмет исследования. В работе исследуется поведение решений логистического уравнения с двумя запаздываниями из некоторой окрестности состояния равновесия при большом значении коэффициента линейного роста. Такие задачи возникают при моделировании численности популяций с учетом возрастной структуры, в качестве модели численности насекомых и т.п. Новизна. Показано, что критические случаи, возникающие в задаче об устойчивости состояния равновесия, имеют бесконечную размерность: бесконечно большое число корней характеристического уравнения стремятся к мнимой оси. Кроме того, в ряде изученных ситуаций возникает дополнительное вырождение, существенно влияющее на структуру решений. Методы исследования. Для изучения поведения решений в близких к критическим случаям разработан асимптотический метод, с помощью которого были построены специальные нелинейные уравнения – квазинормальные формы, решения которых дают асимптотические приближения решений исходной задачи. Полученные результаты. Показано, что в критических случаях поведение решений исходной сингулярно возмущенной задачи определяется динамикой квазинормальной формы. Приведены асимптотические формулы, связывающие их решения. В качестве квазинормальной формы могут выступают комплексные параболические уравнения типа Гинзбурга–Ландау, а при некоторых вырождениях – уравнения с одним (возможно, большим) запаздыванием либо обобщенное уравнение Кортевега–де Фриза. Эти задачи либо не содержат малый параметр, либо зависят от него регулярно. Выводы. Изучено поведение решений сингулярно возмущенного логистического уравнения с двумя запаздываниями. Выделены критические случаи и исследованы бифуркации. Показано, что у изучаемой системы присутствуют такие динамические эффекты, как мультистабильность и гипермультистабильность, а также бесконечный процесс прямых и обратных бифуркаций при стремлении малого параметра к нулю.

Финансовая поддержка. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта No 18-29-10043.

Список источников: 
  1. Hutchinson G.E. Circular causal in ecology // Ann. N.Y. Acad. Sci. 1948. Vol. 50. P. 221–246.
  2. Erneux T. Applied Delay Differential Equations. Berlin: Springer, 2009.
  3. Wright E.M. A non-linear difference-differential equation // Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik. 1955. Vol. 194. P. 66–87.
  4. Kakutani S., Markus L. On the non-linear difference-differential equation y′(t)=(a−by(t−τ))y(t) // H. Antosiewicz, W. T. Kyner, R. Bass et al. Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations / Ed. Solomon Lefschetz. Princeton University Press, 1958. Vol. 4 of Annals of Mathematical Studies (AM-41). P. 1–18.
  5. Кащенко С.А. Пространственно-неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией // Математическое моделирование. 1990. T. 2, № 9. С. 49–69.
  6. Wu J. Theory and applications of partial functional differential Equations // Applied Mathematical Sciences, no. 119. Springer Verlag, 1996.
  7. May R.M. Stability and Complexity in Model Ecosystems. 2 edition. Princeton University Press, 2001.
  8. Kashchenko S.A. Asymptotics of the solutions of the generalized Hutchinson equation // Automatic Control and Computer Sciences. 2013. Vol. 47, no. 7. P. 470–494.
  9. Cushing J.M. Integrodifferential Equations and Delay Models in Population Dynamics. Heidelberg, 1977.
  10. Киселева Е.О. Локальная динамика уравнения Хатчинсона с двумя запаздываниями в критическом случае резонанса 1:2 // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. T. 14, № 2. С. 53–57.
  11. Преображенская М.М. Применение метода квазинормальных форм к математической модели отдельного нейрона // Моделирование и анализ информационных систем. 2014. T. 21, № 5. С. 38–48.
  12. Кащенко С.А. Динамика логистического уравнения с двумя запаздываниями // Дифференциальные уравнения. 2016. T. 52, № 5. С. 561–571.
  13. May R.M. Time delays, density-dependence and single-species oscillations // Journal of Animal Ecology. 1974. Vol. 43, no. 3. P. 747–770.
  14. Колесов Ю.С. Моделирование популяции насекомых // Биофизика. 1983. T. 28, № 3. С. 513.
  15. Кащенко С.А. Стационарные режимы уравнения, описывающего численности насекомых // Доклады Академии наук СССР. 1983. T. 273, № 2. С. 328–330.
  16. Глызин С.Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Модел. и анализ информ. систем. 2007. T. 14, № 3. С. 29–42.
  17. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. T. 49, № 1. С. 7–89.
  18. Hale J., Sjoerd M.V.L. Introduction to Functional Differential Equations. New York: SpringerVerlag, 1993.
  19. Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциальноразностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1989. T. 25, № 8. С. 1448–1451.
  20. Кащенко И.С. Локальная динамика уравнений с большим запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. T. 48, № 12. С. 2141–2150.
  21. Кащенко И.С., Кащенко С.А. Асимптотика сложных пространственно-временных структур в системах с большим запаздыванием // Известия вузов. Прикладная нелинайная динамика. 2008. T. 16, № 4. С. 137–146.
  22. Wolfrum M., Yanchuk S. Eckhaus instability in systems with large delay // Physical Review Letters. 2006. Vol. 96. 220201.
  23. Erneux T., Grasman J. Limit-cycle oscillators subject to a delayed feedback // Physical Review E. 2008. Vol. 78. 026209.
  24. Yanchuk S., Perlikowski P. Delay and periodicity // Physical Review E. 2009. Vol. 79. 046221.
  25. Балакин М.И., Рыскин Н.М. Бифуркационный механизм формирования развитой мультистабильности в осцилляторе ван дер Поля с запаздывающей обратной связью // Нелинейная динамика. 2017. T. 13, № 2. С. 151–164.
  26. Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Уравнение Гинзбурга–Ландау и нелинейная динамика неравновесных сред // Изв. вузов. Радиофизика. 1987. T. 32, № 2. С. 131–143.
  27. Нестационарные структуры и диффузионный хаос / Т.С. Ахромеева, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий, А.А. Самарский. М. : Наука, 1992.
  28. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Основы теории сложных систем. М.-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2007.
  29. Kashchenko A.A. Analysis of running waves stability in the Ginzburg–Landau equation with small diffusion // Automatic control and computer sciences. 2015. Vol. 49, no. 11. P. 514–517.
  30. Кащенко С.А. Исследование устойчивости решений линейных параболических уравнений с близкими к постоянным коэффициентами и малой диффузией // Труды семинара имени И. Г. Петровского. 1991. C. 128–155.
  31. Лем Д.Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983.
  32. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. 2-е издание. М.; Ижевск: Ин-т Комп. Исслед., 2004.
  33. Полянин А.Д, Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения. М.: Физматлит, 2002.
Поступила в редакцию: 
18.12.2018
Принята к публикации: 
01.03.2019
Опубликована: 
24.04.2019
Краткое содержание:
(загрузок: 111)