Для цитирования:
Кащенко И. С., Кащенко С. А. Динамика уравнения с двумя запаздываниями, моделирующего численность популяции // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 2. С. 21-38. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-2-21-38
Динамика уравнения с двумя запаздываниями, моделирующего численность популяции
Предмет исследования. В работе исследуется поведение решений логистического уравнения с двумя запаздываниями из некоторой окрестности состояния равновесия при большом значении коэффициента линейного роста. Такие задачи возникают при моделировании численности популяций с учетом возрастной структуры, в качестве модели численности насекомых и т.п. Новизна. Показано, что критические случаи, возникающие в задаче об устойчивости состояния равновесия, имеют бесконечную размерность: бесконечно большое число корней характеристического уравнения стремятся к мнимой оси. Кроме того, в ряде изученных ситуаций возникает дополнительное вырождение, существенно влияющее на структуру решений. Методы исследования. Для изучения поведения решений в близких к критическим случаям разработан асимптотический метод, с помощью которого были построены специальные нелинейные уравнения – квазинормальные формы, решения которых дают асимптотические приближения решений исходной задачи. Полученные результаты. Показано, что в критических случаях поведение решений исходной сингулярно возмущенной задачи определяется динамикой квазинормальной формы. Приведены асимптотические формулы, связывающие их решения. В качестве квазинормальной формы могут выступают комплексные параболические уравнения типа Гинзбурга–Ландау, а при некоторых вырождениях – уравнения с одним (возможно, большим) запаздыванием либо обобщенное уравнение Кортевега–де Фриза. Эти задачи либо не содержат малый параметр, либо зависят от него регулярно. Выводы. Изучено поведение решений сингулярно возмущенного логистического уравнения с двумя запаздываниями. Выделены критические случаи и исследованы бифуркации. Показано, что у изучаемой системы присутствуют такие динамические эффекты, как мультистабильность и гипермультистабильность, а также бесконечный процесс прямых и обратных бифуркаций при стремлении малого параметра к нулю.
Финансовая поддержка. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта No 18-29-10043.
- Hutchinson G.E. Circular causal in ecology // Ann. N.Y. Acad. Sci. 1948. Vol. 50. P. 221–246.
- Erneux T. Applied Delay Differential Equations. Berlin: Springer, 2009.
- Wright E.M. A non-linear difference-differential equation // Journal fur die Reine und Angewandte Mathematik. 1955. Vol. 194. P. 66–87.
- Kakutani S., Markus L. On the non-linear difference-differential equation y′(t)=(a−by(t−τ))y(t) // H. Antosiewicz, W. T. Kyner, R. Bass et al. Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations / Ed. Solomon Lefschetz. Princeton University Press, 1958. Vol. 4 of Annals of Mathematical Studies (AM-41). P. 1–18.
- Кащенко С.А. Пространственно-неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией // Математическое моделирование. 1990. T. 2, № 9. С. 49–69.
- Wu J. Theory and applications of partial functional differential Equations // Applied Mathematical Sciences, no. 119. Springer Verlag, 1996.
- May R.M. Stability and Complexity in Model Ecosystems. 2 edition. Princeton University Press, 2001.
- Kashchenko S.A. Asymptotics of the solutions of the generalized Hutchinson equation // Automatic Control and Computer Sciences. 2013. Vol. 47, no. 7. P. 470–494.
- Cushing J.M. Integrodifferential Equations and Delay Models in Population Dynamics. Heidelberg, 1977.
- Киселева Е.О. Локальная динамика уравнения Хатчинсона с двумя запаздываниями в критическом случае резонанса 1:2 // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. T. 14, № 2. С. 53–57.
- Преображенская М.М. Применение метода квазинормальных форм к математической модели отдельного нейрона // Моделирование и анализ информационных систем. 2014. T. 21, № 5. С. 38–48.
- Кащенко С.А. Динамика логистического уравнения с двумя запаздываниями // Дифференциальные уравнения. 2016. T. 52, № 5. С. 561–571.
- May R.M. Time delays, density-dependence and single-species oscillations // Journal of Animal Ecology. 1974. Vol. 43, no. 3. P. 747–770.
- Колесов Ю.С. Моделирование популяции насекомых // Биофизика. 1983. T. 28, № 3. С. 513.
- Кащенко С.А. Стационарные режимы уравнения, описывающего численности насекомых // Доклады Академии наук СССР. 1983. T. 273, № 2. С. 328–330.
- Глызин С.Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Модел. и анализ информ. систем. 2007. T. 14, № 3. С. 29–42.
- Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. T. 49, № 1. С. 7–89.
- Hale J., Sjoerd M.V.L. Introduction to Functional Differential Equations. New York: SpringerVerlag, 1993.
- Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциальноразностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1989. T. 25, № 8. С. 1448–1451.
- Кащенко И.С. Локальная динамика уравнений с большим запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. T. 48, № 12. С. 2141–2150.
- Кащенко И.С., Кащенко С.А. Асимптотика сложных пространственно-временных структур в системах с большим запаздыванием // Известия вузов. Прикладная нелинайная динамика. 2008. T. 16, № 4. С. 137–146.
- Wolfrum M., Yanchuk S. Eckhaus instability in systems with large delay // Physical Review Letters. 2006. Vol. 96. 220201.
- Erneux T., Grasman J. Limit-cycle oscillators subject to a delayed feedback // Physical Review E. 2008. Vol. 78. 026209.
- Yanchuk S., Perlikowski P. Delay and periodicity // Physical Review E. 2009. Vol. 79. 046221.
- Балакин М.И., Рыскин Н.М. Бифуркационный механизм формирования развитой мультистабильности в осцилляторе ван дер Поля с запаздывающей обратной связью // Нелинейная динамика. 2017. T. 13, № 2. С. 151–164.
- Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Уравнение Гинзбурга–Ландау и нелинейная динамика неравновесных сред // Изв. вузов. Радиофизика. 1987. T. 32, № 2. С. 131–143.
- Нестационарные структуры и диффузионный хаос / Т.С. Ахромеева, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий, А.А. Самарский. М. : Наука, 1992.
- Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Основы теории сложных систем. М.-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2007.
- Kashchenko A.A. Analysis of running waves stability in the Ginzburg–Landau equation with small diffusion // Automatic control and computer sciences. 2015. Vol. 49, no. 11. P. 514–517.
- Кащенко С.А. Исследование устойчивости решений линейных параболических уравнений с близкими к постоянным коэффициентами и малой диффузией // Труды семинара имени И. Г. Петровского. 1991. C. 128–155.
- Лем Д.Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983.
- Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. 2-е издание. М.; Ижевск: Ин-т Комп. Исслед., 2004.
- Полянин А.Д, Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. Точные решения. М.: Физматлит, 2002.
- 2267 просмотров