Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Сатаев И. Р. Фрактальный сигнал и динамика систем, демонстрирующих удвоения периода // Известия вузов. ПНД. 1995. Т. 3, вып. 5. С. 64-87.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF 1995no5p064.pdf
(загрузок: 0)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Детерминированный хаос
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9

Фрактальный сигнал и динамика систем, демонстрирующих удвоения периода

Авторы: 
Кузнецов Александр Петрович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Кузнецов Сергей Петрович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Сатаев Игорь Рустамович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Аннотация: 

Модель фрактального сигнала, возникающая при обходе по определенному правилу элементов двухмасштабного канторова множества, при надлежащем выборе двух параметров а и b даёт возможность удовлетворительно описывать многие типы динамики, возникающие в одномерных и двумерных отображениях при переходе к хаосу. Указано расположение соответствующих этим типам поведения точек на плоскости параметров фрактального сигнала. Описана простая схема, допускающая экспериментальную реализацию и позволяющая генерировать фрактальный сигнал с регулируемыми свойствами. Развит ренормгрупповой анализ задачи о воздействии фрактального сигнала на систему, демонстрирующую каскад удвоений периода. При изменении параметров фрактального сигнала происходит бифуркация в уравнении ренормгруппы, Так это поведение на пороге хаоса может описываться фейгенбаумовской или нефейгенбаумовской неподвижной точкой этого уравнения. Приводятся численные результаты, иллюстрирующие скейлинговые свойства динамики под действием фрактального сигнала.

Ключевые слова: 
-
Благодарности: 
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 93-02-16169).
Список источников: 
  1. Peinke J, Castaing B, Chabaud B, Chilla F, Hebral B, Naert A. On a fractal and an experimental арproach to turbulence. In:  Fractals in the Natural and Applied Sciences A41. 7-10 September 1993, London, UK. P. 295-304.
  2. Schroeder M. Fractals, Chaos, Power Laws. NY.: WH Freeman; 1991. 429 p.
  3. Ebeling W, Nicolis G. Entropy of symbolic sequences: The role of correlations. Europhys. Lett. 1991;14(3):191-196. DOI: 10.1209/0295-5075/14/3/001.
  4. Кузнецов A.Л., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Воздействие фрактального сигнала на систему Фейгенбаума и бифуркация в уравнении ренормгруппы // Изв.вузов. Радиофизика. 1991. T. 34, № 6. С. 661.
  5. Kuznetsov AP, Kuznetsov SP, Sataev IR. Period doubling system under fractal sygnal: bifurcation in the renormalization group equation. Chaos, Solitons and Fractals. 1991;1(4):355-367. DOI: 10.1016/0960-0779(91)90026-6.
  6. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Генератор фрактального сигнала // Письма в ЖТФ. 1992. T. 18, вып.24. С. 19.
  7. Feigenbaum MJ. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. J. Stat. Phys. 1978;19(1):25-52. DOI: 10.1007/BF01020332.
  8. Feigenbaum MJ. The universal metric properties of nonlinear transformations. J. Stat. Phys. 1979;21(6):669-706. DOI: 10.1007/BF01107909.
  9. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. 1983. Т. 141, № 2. С. 343.
  10. Halsey ТS, Jensen МH, Kadanoff LP, Procaccia I, Shraiman BI. Fractal measures and their singularities. Phys. Rev. A. 1986;33(2):1141-1151. DOI: 10.1103/physreva.33.1141.
  11. Kuznetsov AP, Kuznetsov SP, Sataev IR. Bicritical dynamics of period-doubling system under the fractal sygnal. Int. J. Bif. Chaos. 1991;1(4):839-848. DOI: 10.1142/S0218127491000610.
  12. Кузнецов С.П. Каскад удвоений периода в комплексном кубическом отображении: ренормгрупповой анализ и количественная универсальность (в печати).
  13. Huberman B, Zisook A. Power spectra of strange attractors. Phys. Rev. Lett. 1981;46(10):626-628. DOI: 10.1103/PhysRevLett.46.626.
  14. Nauenberg M, Rudnik J. Universality and the power spectrum at the onset of chaos. Phys. Rev. B. 1981;24(1):493-495. DOI: 10.1103/PhysRevB.24.493.
  15. Hu B, Mao JM. Period Doubling: universality and critical point order. Phys. Rev. A. 1982;25(6):3259 –3261. DOI: 10.1103/PhysRevA.25.3259.
  16. Van der Weele JP, Capel HW, Kluiving К. On the scaling factors alfa(z) and delta(z). Phys. Lett. A. 1986;119(1):15-20. DOI: 10.1016/0375-9601(86)90636-5.
  17. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. С. 239.
  18. Chang SJ, Wortis M, Wright J. Iterative properties of a one-dimensional quartic map: Critical lines and tricritical behavior. Phys. Rev. A. 1981;24(5):2669-2684. DOI: 10.1103/PhysRevA.24.2669.
  19. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Дерево сверхустойчивых орбит и скейлинг в трехпараметрических отображениях // Письма в ЖТФ. 1992. T. 18, вып.21. С. 34.
  20. Kuznetsov AP, Kuznetsov SP, Sataev IR. Three- parameter scaling for one-dimensional maps. Phys. Lett. A. 1994;189(5):367-373. DOI: 10.1016/0375-9601(94)90018-3.
  21. Eckmann JP, Koch H, Wittwer P. Existence of a fixed point of the doubling transformation for area-preserving map of the plane. Phys. Rev. A. 1982;26(1):720-722. DOI: 10.1103/PhysRevA.26.720.
  22. Kuznetsov SP, Sataev IR. New types of critical dynamics for two-dimensional maps. Phys. Lett. A. 1992;162(3):236-242. DOI: 10.1016/0375-9601(92)90440-W.
  23. Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Новый тип критического поведения связанных систем при переходе к хаосу // Доклады АН СССР. 1986. T. 287, № 3. С. 619.
  24. Кузнецов С.П. Динамика двух однонаправленно связанных систем Фейгенбаума у порога гиперхаоса. Ренормгрупповой анализ // Изв.вузов Радиофизика. 1990. T. 33, №7. С. 788.
  25. Kuznetsov AP, Kuznetsov SP, Sataev IR. Variety of types of critical behavior and multistability in period doubling systems with uni-directional coupling near the onset of chaos. Int. J. Bif. Chaos. 1993;3(1):139-152. DOI: 10.1142/S0218127493000106.
  26. Kuznetsov AP, Kuznetsov SP, Sataev IR. Multi-parameter transition to chaos and fractal nature of critical attractors. In: Novak M, editor. Fractals in the Natural and Applied Sciences. Amsterdam: Elsevier; 1994. Р. 229-239.
  27. Erastova EN, Kuznetsov AP, Kuznetsov SP, Sataev IR. Two-parameter criticality in nonlinear systems near the onset of chaos. In: Proc. Int. Seminar «Nonlinear Circuits and Systems». Vol.2. М.; 1992. P. 131.
  28. MacKay RS, Van Zeijts JB. Period doubling for bimodal maps: A Horseshoe for a Renormalization Operator. Nonlinearity. 1988;1:253-277.
  29. Kuznetsov AP, Kuznetsov SP, Sataev IR, Chua L.O. Two-parameter study of transition to chaos in Chua’s circuit: Renormalization Group, Universality and Scaling. Int. J. Bif. Chaos. 1993;3(4):943-962. DOI: 10.1142/S0218127493000799.
  30. Кузнецов С.П. Критический квазиаттрактор: бесконечное самоподобное множество устойчивых циклов, возникающих при двухпараметрическом анализе перехода к хаосу // Письма в ЖТФ. 1994. T.20, вып.10. С. 11.
  31. Гольдберг А.И., Синай Я.Г., Ханин K.M. Универсальные свойства для последовательности бифуркаций утроения периода // УМН. 1983. Т. 38, № 1. С.159.
  32. Cvitanovic P, Myrheim J. Universality for period n-tupling in complex mappings. Phys. Lett. A. 1983;94(8):329-333. DOI: 10.1016/0375-9601(83)90121-4.
  33. Cvitanovic P, Myrheim J. Complex universality. Commun. Math. Phys. 1989;121:225-254. DOI: 10.1007/BF01217804.
  34. Иосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983.
  35. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. M.: Мир, 1978. Т. 1.
Поступила в редакцию: 
13.01.1995
Принята к публикации: 
12.08.1995
Опубликована: 
21.10.1996
  • 102 просмотра