Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Богатов Е. М. Из истории нелинейных интегральных уравнений // Известия вузов. ПНД. 2016. Т. 24, вып. 2. С. 77-114. DOI: 10/18500/0869-6632-2016-24-2-77-114

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 372)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Тип статьи: 
Персоналии
УДК: 
51(09)

Из истории нелинейных интегральных уравнений

Авторы: 
Богатов Егор Михайлович, Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС" (СТИ НИТУ МИСиС)
Аннотация: 

Работа посвящена истории развития теории нелинейных интегральных уравнений, охватывая период до начала 1930-х годов. Анализируя особенности начального периода, авторы акцентируют внимание на том, что интегральные уравнения (в частности, нелинейные) представляют самостоятельный объект исследований со своими задачами, требующий своей системы определений и своего языка. В качестве отправной точки здесь были взяты работы А.М. Ляпунова и А. Пуанкаре по фигурам равновесия вращающихся жидкостей, в которых впервые появились нелинейные интегральные уравнения и зародились качественные методы их решения, а также возникло одно из ключевых понятий нелинейной динамики – понятие бифуркации. В этой связи внимание также уделяется результатам, полученным их последователями – Э. Шмидтом, Т. Лалеску и Г. Брату. Отмечается, что к концу 1920-х годов старая идейная основа, доминировавшая в математике XVIII–XIX веков, – «уравнение–решение» себя исчерпала; для дальнейшего развития требовались новые идеи и новые подходы. Авторы относят этот период к следующему этапу научной эволюции, когда для описания поведения нелинейных систем стали привлекаться топологические и функционально-аналитические методы и начала строиться последовательная дедуктивная теория, основанная на строгих определениях и общих конструкциях. В данном контексте анализируется вклад в развитие теории нелинейных интегральных уравнений европейских математиков – Л. Лихтенштейна и А. Гаммерштейна. Большое внимание, в свою очередь, уделяется работам отечественных математиков – П.С. Урысона и А.И. Некрасова с учётом прикладного характера их исследований. Оценивается влияние развития теории нелинейных интегральных уравнений на создание и становление функционального анализа.  

Список источников: 
  1. Эйлер Л. Интегральное исчисление. Т. 2. Перевод и предисловие И.Б. Погребысского. М., ГИТТЛ, 1957.
  2. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. Пер. с нем. под ред. А.П. Юшкевича. М.: Физматлит, 1960.
  3. Симонов Н.И. Прикладные методы анализа у Эйлера. М.: Гостехиздат, 1957.
  4. Abel N.H. Solution de quelques problemes a l’aide integrales definies. In: Oeuvres  completes de Niels Henrik Abel 1. (Nouv. Ed.; Ed. L. Sylow-S. Lie) Grondahl & Son, Christiania, 1881. P. 11–27.
  5. Abel N.H. Resolution d’un probleme de mechanique. In: Oeuvres completes de Niels Henrik Abel 1. (Nouv. Ed.; Ed. L. Sylow-S. Lie) Grondahl & Son, Christiania, 1881. P. 97–101.
  6. Bocher M. An Introduction to the Study of Integral Equations. Cambridge, The University Press, 1909.
  7. Bateman H. Report on the history and present state of the theory of integral equations // British Assoc. for the Advancement of Sci. 1910. Vol. 80. P. 345–424.
  8. Дорофеева А.В. Создание классической теории интегральных уравнений с симметрическим ядром. В сб. История и методология естественных наук. Математ. и механика. Вып. XVI. М.: МГУ, 1974. С. 63–78.
  9. Александрова И.Л. Из истории теории интегральных уравнений. Дисс... кандидата физико-математических наук: 07.00.10. М., ИИЕТ РАН, 1992.
  10. Du Bois-Reymond P. Bemerkungen uber z = 0 // J. de Crelle. 1888. Vol. 103. P. 204–229.
  11. Volterra V. Sopra alcune questioni di inversione di integrali definiti // Ann. Mat. Pura Appl. 1897. Vol. 25. P. 139–178.
  12. Volterra V. Sulla inversione degli integrali definiti // R.C. Accad. Lincei. 1896. Vol. 5. P. 177–185.
  13. Volterra V. Sopra un problema di elettrostatica // Nuovo Cimento. 1884. Vol. XVI. P. 49–57.
  14. Volterra V. Lecons sur les equations integrales et les equations integro-differentielles. Paris, 1913.
  15. Fredholm E.I. Sur une classe d’equations fonctionnelles // Acta Math. 1903. Vol. 27. P. 365–390.
  16. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen.  Leipzig: Verlag und Druck von B.G. Teubner, 1912.
  17. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil: Entwicklung willkurlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener // Math.  Ann. 1907. Vol. 63. P. 433–476.
  18. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. II Teil: Auflosung der allgemeinen linearen Integralgleichung // Math. Ann. 1907. Vol. 64. P. 161–174.
  19. Schmidt E. Uber die Auflosung linearer Gleichungen mitunendlich vielen Unbekannten // Rend. Circ. Mat. Palermo. Ser. 1. 1908. Vol. 25. P. 53–77.
  20. Dieudonne J. History of functional analysis. Amsterdam: North-Holland publishing company, 1981.
  21. Monna A.F. Functional Analysis in Historical Perspective. New York: Halstead Press, Wiley, 1973.
  22. Молодший В.Н. О. Коши и революция в математическом анализе первой четверти XIX века // ИМИ. 1978. Вып. 23. С. 32–55.
  23. Люстерник Л.А. Молодость Московской математической школы // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 1, No 133. C. 137–161.
  24. Мухин Р.Р. Хаос и неинтегрируемость в гамильтоновых системах // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. Vol. 14, No 1. С. 3–24.
  25. Люстерник Л.А. Молодость Московской математической школы // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 4, No 136. С. 147–185.
  26. Bernkopf M. The development of function spaces with particular reference to their origins in integral equation theory // Arch. Hist. Ex. Sсi. 1966. Vol. 3. P. 1–96.
  27. Birkhoff G.& Kreyszig E. The establishment of functional analysis // Historia Math. 1984. Vol. 11. P. 258–321.
  28. Lindstrom J. On the origin and early history of functional analysis. UUDM project Report 2008:1, Uppsala University, 2008.
  29. Bourbaki N. Elements d’histoire des mathematiques. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York. 2007.
  30. Weyl H. David Hilbert and his mathematical work // Bull. Amer. Math. Soc. 1944. Vol. 50, No 9. P. 612–654.
  31. Рид К. Гильберт. М.: Наука, 1977.
  32. Klein F. Elementarmathematik vom hoheren Standpunkte aus. Teil I. Arithmetik. Algebra. Analysis. Vierte Auflage. Springer, Berlin, 1913.
  33. Гильберт Д. Общая теория интегральных уравнений. Д. Гильберт. Избранные труды: в 2 т. Под ред. А. Н. Паршина. Т. 2: Анализ. Физика. Проблемы Гильберта. М.: Факториал, 1998. С. 68–366.
  34. Медведев Ф.А. Очерки истории теории функций действительного переменного. 2-е изд. М.: УРСС, 2006.
  35. Riesz F. Uber orthogonal Functionensysteme // Ouevres completes. 1960. Vol. 1. Budapest. P. 385–395.
  36. Riesz F. Sur les systeme orthogonaux de fonctions // C.R. Acad. Sci. 1907. Vol. 144. P. 615–619.
  37. Fisher E. Sur la convergence en moyenne // C.R. Acad. Sci. 1907. Vol. 144. P. 1022–1024.
  38. Riesz F. Les systemes d’equations lineaires  a une infinite d’inconnues. Paris, Gauthier-Villar, 1913.
  39. Riesz F. Uber lineare Funktionalgleichungen // Acta Math. 1918. Vol. 41. P. 71–98.  
  40. Гильберт Д. Сущность и цели анализа бесконечно многих переменных / Д. Гильберт. Избранные труды: в 2-х т. Под ред. А. Н. Паршина. Т. 2: Анализ. Физика. Проблемы Гильберта. М.: Факториал, 1998. С. 35–49.
  41. Вейль Г. Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания математики. Математический способ мышления. М.: Наука, 1989. С. 24–41.
  42. Тихомиров В.М. Замечания к работе «Сущность и цели анализа бесконечно многих переменных» / Д. Гильберт. Избранные труды: в 2-х т. Под ред. А.Н. Паршина. Т. 2: Анализ. Физика. Проблемы Гильберта. М.: Факториал, 1998. С. 35–49.
  43. Hilbert D. Uber das Unendliche // Math. Ann. 1926. Vol. 95. P. 161–190.  
  44. Воронцов-Вельяминов Б.А. Лаплас. 2-е изд., испр. и перераб. М.: Наука, 1985.
  45. Мухин Р.Р. Очерки по истории динамического хаоса (исследования в СССР в 1950–1980-е годы). 2-е издание. М.: УРСС, 2012.
  46. Ляпунов А.М. О форме небесных тел. Избранные труды. Под ред. В.И. Смирнова. Л.: Изд-во Академии наук СССР, 1948. C. 303–322.
  47. Ляпунов А.М. Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости. СПб., Издание Академии наук, 1884.
  48. Юшкевич А.П. А.М. Ляпунов и Академия наук Института Франции (по неопубликованным архивным документам) // ИМИ. 1965. Vol. XVI. P. 375–388.
  49. Смирнов В.И., Юшкевич А.П. Переписка А.М. Ляпунова с А. Пуанкаре и П. Дюэмом. Т. XXIX. 1985. C. 265–284.
  50. Liapounoff A.M. Sur la stabilite des figures ellipsoпdales d’equilibre d’un liquide  anime d’un mouvement de rotation // Ann. Faculte Sci. Univ. Toulouse, 2 ser. 1904.  Vol. 6. P. 5–116.
  51. Ляпунов А.М. Об одной задаче Чебышёва // Записки Академии наук по физ.-мат. отд. 8 сер. 1905. Т. 17, No 3. С. 1–32.
  52. Liapunoff A.M. Sur les figures d’ equilibre peu differentes des ellipsoides d’unemasse liquide, homogene, dou ee d’un mouvement de rotation. I partie. Etude generale du probleme. St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., 1906.
  53. Liapunoff A.M. Sur les figures d’ equilibre peu differentes des ellipsoides d’unemasse liquide, homogene, douee d’un mouvement de rotation. II partie. Figures  d’equilibre derivees des ellipsoides de Maclaurin. St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., 1909.
  54. Liapunoff A.M. Sur les figures d’ equilibre peu differentes des ellipsoides d’unemasse liquide, homogene, douee d’un mouvement de rotation. III partie. Figures d’equilibre derivees des ellipsoides de Jacobi. St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., 1912.
  55. Liapunoff A.M. Sur les figures d’ equilibre peu differentes des ellipsoides d’une  masse liquide, homogene, douee d’un mouvement de rotation. IV partie. Nouvelles  formules pour la recherches des figures d’equilibre. St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des  Sc., 1914.
  56. Liapunoff A.M. Recherches dans la theorie de la figures des corps celestes // Memoires de l’Academie Imperiale des Sciences de St. Petersburg. 8-me Serie. 1903. Vol. 14, No 7. P. 1–37.
  57. Пуанкаре А. О кривых определяемых дифференциальными уравнениями. Пер. с франц. С примечаниями А.А. Андронова и с дополнениями Е. Леонтович, А. Майер, В. Степанова, И. Петровского и Ю. Рожанской. М., ГИТТЛ, 1947.
  58. Kovalevskaya S. Zusaetze und Bemerkungen zu Laplace’s Untersuchungen ueber die Gestalt der Saturnringe // Astronom. Nachr. 1885. Vol. 111. P. 37–48.
  59. Аппель П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. Пер. с фр. под ред. и с доп. Н.И. Идельсона. М.-Л.: ОНТИ, 1936.
  60. Poincare Н.  Sur l’equilibre d’une masse fluide anim ee d’un mouvement de rotation  // C.R. Acad. Sci. 1885. Vol. 100. P. 346–348.
  61. Poincare Н.  Note sur la stabilite de l’anneau de Saturne // Bull. astronom. 1885.  Vol. 2. P. 507–508.
  62. Poincare Н.  Sur l’equilibre d’une masse fluide anim ee d’un mouvement de rotation  // Acta Math. 1885. Vol. 7, No 1. P. 259–380.
  63. Poincare Н.  Sur la stabilite de l’equilibre des figures piriformes affectees par une  masse // Proc. Roy. Soc. 1901. Vol. 69. P. 148–149; Philos. Trans. A. 1902. Vol. 198. P. 333–373; 1902. Vol. 200. P. 67.
  64. Jeans J.H. The motion of tidally distorted masses // Memories of the Roy. Astr. Soc. 1917. Vol. LXII.
  65. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. III Teil. Uber die Auflosing der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrer  Losungen // Math. Ann. 1908. Vol. 65. P. 370–399.
  66. Fredholm Hilbert Schmidt. Three Fundamental Papers on. Integral Equations. Translated with commentary by. G.W. Stewart, 2011. Available at www.umiacs.umd.edu/ stewart/FHS.pdf (accessed 19.10.15).
  67. Хведелидзе Б.В. Уравнение Ляпунова–Шмидта. Матем. энциклопедия. Т. 3. М.: Советская энциклопедия, 1982. С. 473–474.
  68. Picard E. Sur une equation fonctionnelle // C.R. Acad. Sci. 1904. Vol. 139.  P. 245–248.
  69. Picard E. Sur une equation fonclionnelle se presentant dans la theorie de certaines  equation aux derivees partielles // C.R. Acad. Sci. 1907. Vol. 5. P. 1009–1012.
  70. Picard E. Traite d’Analyse. T. III. Gauthier-Villars. Paris, 1905.
  71. Davis H.T. Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations. Dover, New York, 1962.
  72. Lalescu’ T. Sur l’equation de Volterra // J. de Math., ser. 6. 1908. Vol. 4. P. 125–202.  
  73. Bratu G. Sur certaines equations integrales non lineaires // C.R. Acad. Sci. Paris.  1910. Vol. 150. P. 896–899.
  74. Bratu G. Sur les equations integrales non lineaires // Bulletin de la S. M. F. 1914.  Vol. 42. P. 113–142.
  75. Урысон П.C. Об одном типе нелинейных интегральных уравнений // Матем. сб. 1923. Т. 31. Вып. 2. С. 236–255.
  76. Александров П.С. О моём друге. Нейман Л.С. Радость открытия. М.: Детская литература, 1972. С. 135–149.
  77. Нейман Л.С. Радость открытия (математик Павел Урысон). М.: Детская литература, 1972.
  78. Математика: Наука в СССР за пятнадцать лет (1917–1932). М.-Л.: ГТТИ, 1932.
  79. Урысон П.С. Труды по топологии и другим областям математики. Прим. и ступит. статья П.С. Александрова. Т. 1–2. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.
  80. Архангельский А.В., Тихомиров В.М. Павел Самуилович Урысон (1898–1924) // УМН. 1998. Т. 53. Вып. 5, No 323. С. 5–26.
  81. Колмогоров А.Н. Научный руководитель. Нейман Л.С. Радость открытия. М.: Детская литература, 1972. C. 160–164.
  82. Некрасов А.И. О волнах установившегося вида // Изв. Иваново-Вознесен. политехн. ин-та. 1921. Т. 3. C. 52–65.
  83. Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1951.
  84. Некрасов А.И. О волнах установившегося вида, гл.2. О нелинейных интегральных уравнениях // Изв. Иваново-Вознесен. политехн. ин-та. 1922. Vol. 6. P. 155–171.
  85. Лапко А.Ф., Люстерник Л.А. Из истории советской математики // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 6, No 138. С. 13–140.
  86. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие // УМН. 1962. Т. 17. Выл. 2, No 104. С. 13–75.
  87. Секерж-Зенькович Я.И. Александр Иванович Некрасов (к семидесятипятилетию со дня рождения) // УМН. 1960. Т. 15. Вып. 1, No 91. C. 153–162.
  88. Вайнберг М.М., Айзенгендлер П.Г. Методы исследования в теории разветвления решений. Итоги науки. Сер. Математика. Мат. анал. ВИНИТИ. М., 1966, C. 7–69.
  89. Люстерник Л.А. Молодость Московской математической школы // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 2, No 134. C. 199–239.
  90. Liapunoff A.M. Sur certaines series de figures d’equilibre d’un liquide heterog  eneen rotation. Partie 1-re. Leningrad, 1925.
  91. Liapunoff A.M. Sur certaines series de figures d’equilibre d’un liquide heterog ene `en rotation. Partie 2-me. Leningrad, 1927.
  92. Lichtenstein L. Vorlesungen Uber einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen  und Integro-Differentialgleichungen nebst Anwendungen. Berlin: Julius Springer, 1931.
  93. Смирнов Н.С. Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений. Л.-М.: ОНТИ, 1936.
  94. Hammerstein A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen // Acta Math. 1930. Vol. 54. P. 117–176.
  95. Golomb M. Review of the article «Hammerstein, A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen». Jahrbuch Database. URL: http://www.zentralblatt-math.org/jahrbuch/?id=66165&type=pdf (accessed: 19.10.15)
  96. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М.: Наука, 1975.
  97. Banach S. Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux  equations integrales // Fund. Math. 1923. Vol. 3. P. 133–181.  
  98. Hahn H. Uber lineare Gleichungssysteme in linearen Raumen // J. Reine Angew.  Math. 1927. Vol. 157. P. 214–229.
Поступила в редакцию: 
05.03.2016
Принята к публикации: 
30.04.2016
Опубликована: 
30.04.2016
Краткое содержание:
(загрузок: 88)