Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Мухин Р. Р. Из истории теории динамических систем: Проблема классификации // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 5. С. 95-112. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-5-95-112

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 234)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
51(09)

Из истории теории динамических систем: Проблема классификации

Авторы: 
Мухин Равиль Рафкатович, Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС" (СТИ НИТУ МИСиС)
Аннотация: 

Целью работы является изучение истории представлений о классификации динамических систем, являющихся важнейшим объектом современной математики и имеющих огромное количество приложений. Решение проблемы классификации позволяет сделать первые шаги в понимании устройства системы в целом. Метод. Исследование основано на анализе оригинальных работ с привлечением некоторых воспоминаний участников описываемых событий. Результаты. Постановка проблемы восходит к А. Пуанкаре, разделившего дифференциальные уравнения на интегрируемые и неинтегрируемые. Дж. Биркгоф уже на языке динамических систем выделил неэргодические и эргодические системы, взяв за принцип классификации усложнение характера движения. К концу 1950-х гг. сложилась иерархия консервативных динамических систем: интегрируемые системы, эргодические системы, системы с перемешиванием, К-системы, В-системы. В диссипативном случае выделяли аналоги интегрируемых консервативных систем и системы со сложным, нерегулярным движением. С появлением в 1960-е гг. гиперболической теории была выдвинута гипотеза (С. Смейл) о существовании структурно устойчивых систем в многомерном случае. Но оказалось, что такие системы (системы Морса–Смейла) не образуют плотного множества, в многомерном случае типичны системы с гомоклинической структурой. Далее выяснилось, что реальные системы неоднородны, в них сосуществуют области с регулярным и нерегулярным движением с очень сложной топологией: системы с разделенным фазовым пространством в консервативном случае и квазиаттракторы – в диссипативном. Формы сосуществования упорядоченности и хаоса оказались очень многообразными. Имеются системы со «смешанной» динамикой. В системах с гомоклиническим касанием в общем невозможен даже полный качественный анализ. Интегрируемые системы, системы Морса–Смейла сами представляют сложно устроенные множества, и их классификация является нетривиальной задачей. Проблема классификации может быть решена лишь для отдельных групп динамических систем. Обсуждение. Динамические системы оказались необъятным объектом как по их многообразию, так и по сложности устройства. Исчерпывающая классификация динамических систем представляется неразрешимой задачей. Это характерно и для других областей математики, что обусловлено бесконечным разнообразием внешнего мира.

Список источников: 
  1. Liouville J. Remarques nouvelles sur l’equation de Riccati // J. Math. Pures et Appl. 1841. Vol. 6. P. 1–13, 36.
  2. Bour J. Sur l’integration des equations differentielles de la Mecanique Analytic // J. Math. Pureset Appl. 1855. Vol. 20. P. 185–200.
  3. Liouville J. Note a l’occasion du memoire precident de M. Edmond Bour // J. Math. Pures et ´ Appl. 1855. Vol. 20. P. 201–202.
  4. Poincare Н. Sur les proprietes des fonctions definies aux differences partielles. Ph. D. Thesis, Universite de Paris. Paris: Gautier-Villars, 1879. 93 p.
  5. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / Пер. с франц. Е. Леонтович, А. Майер под ред. А.А. Андронова. М.: ГИТТЛ, 1947. 392 с.
  6. Poincare Н. Sur le probleme des trois corps et lesequations de la Dynamique // Acta Math. 1890. Vol. 13. P. 1–270.
  7. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. труды. В 3 т. М.: Наука, 1971. Т. 1. 772 с.; 1972. Т. 2. 998 с.
  8. Poincare Н. Sur unе theoreme de geometrie // Rendicont. Circolo mat. Palermo. 1912. Vol. 33.
  9. Александров П.С. Пуанкаре и топология // УМН. 1972. Т. 27. В. 1. С. 147–158. 
  10. Дж. Биркгоф. Динамические системы / Пер. с англ. Ижевск: РХД, 1999. 408 с.
  11. Визгин В.П. Развитие взаимосвязи принципов инвариантности с законами сохранения в классической физике. М.: Наука, 1972. 242 с.
  12. Markov A.A. Sur une propriete generale des ensemble minimaux de Birkhoff // Comp. Ren. Acad. Sci. 1931. Vol. 193. P. 823–825.
  13. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск: РХД, 1999. 284 c.
  14. Bolzmann L. Uber der Warmegleichgewicht zwischen meharatomigen Gasmolekulen // Sitzber. Akad. Wiss. Wien. 1871. B. 63. S. 397–418.
  15. Lo Bello A. On the Origin and History of Ergodic Theory // Bolletino di Storia delle Scienze Mathematiche. 1983. A. iii. No. 1. P. 37–75.
  16. Birkhoff G.D. Proof of recurrence theorem for strongly transitive systems and proof of the ergodic theorem // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 1931. Vol. 17. P. 650–660.
  17. Hopf E. Эргодическая теория // УМН. 1949. Т. 4. В. 1. С. 113–182.
  18. Gibbs J.W. Elementary Principles of Statistical Mechanics. N.Y.: Charles Shribner’s Sons, L.; Edward Arnold, 1902.
  19. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. 272 с.
  20. Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика // Proc. Intern. Congr. Math. 1954. Amsterdam. Vol. 1. P. 315–333. / То же в кн.: А.Н. Колмогоров. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 316–332.
  21. Орнстейн Д. Эргодическая теория, случайность и динамические системы. М.: Мир, 1978. 168 с.
  22. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // ДАН СССР. 1958. Т. 119, № 5. С. 861–864.
  23. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 4. С. 754–755.
  24. Синай Я.Г. Письменное сообщение от 26.03.2007.
  25. Синай Я.Г. Эргодическая теория // А.Н.Колмогоров. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987. С. 275–279.
  26. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматлит, 1959. 916 с.
  27. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.
  28. Peixoto M. Some recollections of the early work of Steve Smale // The Collected Papers of Stephen Smale. Vol. 1. Singapore: World Sci. 2000. P. 14–16.
  29. Smale S. On gradient dynamical systems // Ann. Math. 1961. Vol. 74. P. 199–206.
  30. Smale S. A structurally stable differential homomorphysm with an infinite number of periodic points // Тр. Межд. симпоз. по нелин. колебаниям. Киев 1961. Киев: АН УССР, 1963. С. 365–366.
  31. Смейл С. Грубые системы не плотны. Математика. 1967. Т. 11, № 4. С. 107–112.
  32. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т. 14, № 5. С. 247–252.
  33. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. Vol. 1, no. 2. P. 101–120.
  34. Smale S. On how I got started in dynamical systems 1959–1962 // The Chaos Avant-garde. Memoiries of the Early Days of Chaos Theory / Eds R. Abraham, Y. Ueda. Singapore: World Sci. 2000. P. 1–6. 
  35. Андронов А.А. Математические проблемы теории автоколебаний // I Всесоюзн. конф. по колебаниям. Т. I. М.: Гостехтеориздат, 1933. С. 32–71.
  36. Аносов Д.В. и др. Динамические системы с гиперболическим поведением // Итоги науки и техники. Совр. пробл. математики. Фундам. направления. Динамические системы – 9. / ВИНИТИ, 1985. Т. 66. 248 c.
  37. Аносов Д.В., Синай Я.Г. Некоторые гладкие эргодические системы // УМН. 1967. Т. 22. В. 5. С. 107–172.
  38. Hadamard J. Les surfaces a courbures opposees et leurs lignes geod esiques // J. Math. Pures et Appl. 1898. Vol. 4. Pр. 27–73.
  39. Hedlund G.A. The dynamic of geodesic flows // Bull. AMS. 1939. Vol. 45. Pр. 241–260.
  40. Аносов Д.В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны // ДАН СССР. 1962. Т. 145, № 4. С. 707–709.
  41. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. МИАН. М.: Наука, 1967. С. 3–209.
  42. Гринес В.З., Жужома Е.В., Починка О.В. Системы Морса–Смейла и топологическая структура несущих многообразий // Совр. математика. Фунд. направления. 2016. Т. 61. С. 5–40.
  43. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМН. 1983. Т. 38. В. 1. С. 3–67.
  44. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // УФН. 1971. Т. 105. В. 1. С. 3–39.
  45. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. Москва; Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2004. 288 с.
  46. Zaslavsky G.M. Chaotic Dynamics and the Origin of Statistical Laws // Physics Today. 1999. Vol. 52. Pр. 39–45.
  47. Afraimovich V.A., Shilnikov L.P. On strange attractors and quasiattractors // Nonlinear dynamics and turbulence. Boston-London-Melbourn: Pitman, 1983. Pр. 1–34.
  48. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром // Труды МИАН. 1997. Т. 216. C. 76–125.
  49. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков О.А., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 2. С. 4–36.
  50. Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре–Биркгофа // Матем. сб. 1967. Т. 174, № 3. С. 378–397.
  51. Шильников Л.П. Гомоклинические траектории: от Пуанкаре до наших дней // Математические события ХХ века. М.: Фазис, 2003. С. 465–489.
  52. Newhouse S. Non-density of axiom A(a) on S 2 // Proc. AMS symp. pure math. 1970. Vol. 14. Pр. 191–202.
  53. Newhouse S. Diffeomorphisms with infinetly many sinks // Topology. 1974. Vol. 13. N 1. Pр. 9–18.
  54. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой I, II // Матем. сб. 1972. Т. 88, № 4. С. 475–492; 1973. Т. 90, № 1. С. 139–156.
  55. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits // Chaos. 1996. Vol. 6, no. 1. Pp. 15–31. 
  56. Гонченко С.В., Тураев Д.Б., Шильников Л.П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса // Совр. математика и ее прилож. 1999. Т. 67. С. 69–128. 
  57. Марков А.А. Неразрешимость проблемы гомеоморфии // ДАН СССР. 1958. Т. 121, № 2. С. 218–220.
  58. Марков А.А. О неразрешимости некоторых проблем топологии // ДАН СССР. 1958. Т. 123, № 6. С. 978–980.
  59. Вавилов Н.А. Простые алгебры Ли, простые алгебраические группы и простые конечные группы // Математика ХХ века. Взгляд из Петербурга. М.: МЦНМО, 2010. С. 8–46. 
Поступила в редакцию: 
02.07.2019
Принята к публикации: 
12.07.2019
Опубликована: 
31.10.2019
Краткое содержание:
(загрузок: 75)