Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)


Для цитирования:

Мустафин А. Т., Кантарбаева А. К. Каталитическая модель массового обслуживания на примере циклической очереди // Известия вузов. ПНД. 2019. Т. 27, вып. 5. С. 53-71. DOI: 10.18500/0869-6632-2019-27-5-53-71

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
(загрузок: 74)
Язык публикации: 
русский
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
519.872

Каталитическая модель массового обслуживания на примере циклической очереди

Авторы: 
Мустафин Алмаз Тлемисович, Казахский национальный исследовательский технический университет им. К.И.Сатпаева
Кантарбаева Алия Кажбековна, Казахский национальный университет им. аль-Фараби
Аннотация: 

Сформулирована и исследована детерминистическая («жидкостная») модель системы массового обслуживания с открытой на вход и выход циклической очередью с возможностью отказов от получения услуги. Модель представляет собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, переменными которых являются клиенты, ожидающие обслуживания, клиенты, получившие услугу, и серверы (каналы обслуживания). Цель работы – вывести минимальную математическую модель процесса оказания услуги как обобщённой псевдохимической реакции с катализатором. Особенность подхода состоит в представлении о провайдере услуги как о своего рода ферменте-катализаторе, который осуществляет трансформацию клиентов из категории ожидающих обслуживания в категорию получивших услугу, возвращаясь в исходное состояние после каждого акта конверсии. С междисциплинарной точки зрения, биохимическую реакцию и взаимодействие потребителя с провайдером объединяет образование короткоживущего комплекса – это соответственно фермент-субстрат и клиент-сервер. Построив базовую модель акта услуги, мы показываем её работоспособность на примере циклической системы массового обслуживания. Сформулированная модель циклической очереди исследуется методами качественной теории дифференциальных уравнений. Известный из практики факт, что среднее время обслуживания намного короче характерного времени ожидания, делает исходную систему уравнений сингулярно возмущённой. Методом многих масштабов система расщепляется на медленную и быструю подсистемы, описывающие соответственно динамику клиентов и серверов. Результаты. Показано, что в адиабатическом приближении количество занятых обслуживанием серверов мгновенно отслеживает текущую длину очереди (то есть спрос) в соответствии с известными соотношениями для квазистационарных концентраций ферментативной кинетики. Найдено физически допустимое стационарное решение медленной подсистемы и доказана его асимптотическая устойчивость. Проведён параметрический анализ стационарного состояния. Получен практический вывод о том, что стационарный спрос на услугу остаётся низким независимо от частоты отказов при входящем потоке клиентов, не превышающем некоторый критический уровень. Предложенный формализм также позволяет вывести в аналитическом виде клиринговую функцию – зависимость скорости обслуживания от текущего спроса. Показано, что формула клиринговой функции применима во всех случаях, когда время обслуживания меньше времени ожидания, и необязательно только в стационарном режиме работы системы.

Список источников: 
  1. The World Bank. World development indicators. Table 4.2: Structure of output. Washington, DC: The World Bank Group, 2019. Access mode: http://wdi.worldbank.org/table/4.2.
  2. Armony M., Shimkin N., Whitt W. The impact of delay announcements in many-server queues with abandonment // Operations Research. 2009. Vol. 57, no. 1. P. 66–81.
  3. Yom-Tov G.B., Mandelbaum A. Erlang-R: A time-varying queue with reentrant customers, in support of healthcare staffing // Manufacturing & Service Operations Management. 2014. Vol. 16, no. 2. P. 283–299.
  4. Niyirora J., Zhuang J. Fluid approximations and control of queues in emergency departments // European Journal of Operational Research. 2017. Vol. 261, no. 3. P. 1110–1124.
  5. Whitt W. Time-varying queues // Queueing Models and Service Management. 2018. Vol. 1, no. 2. P. 79–164.
  6. Fromm H., Cardoso J. Foundations // Fundamentals of Service Systems / Ed. by J. Cardoso, H. Fromm, S. Nickel et al. New York, NY: Springer, 2015. Service Science: Research and Innovations in the Service Economy. P. 1–32.
  7. Hill T.P. On goods and services // Review of Income and Wealth. 1977. Vol. 23, no. 4. P. 315–338.
  8. Gallouj F. Innovation in services and the attendant old and new myths // The Journal of SocioEconomics. 2002. Vol. 31, no. 2. P. 137–154.
  9. Gadrey J. The characterization of goods and services: An alternative approach // Review of Income and Wealth. 2000. Vol. 46, no. 3. P. 369–387.
  10. Shephard R.W. Theory of Cost and Production Functions. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2016.
  11. Armbruster D. The production planning problem: Clearing functions, variable lead times, delay equations and partial differential equations // Decision Policies for Production Networks / Ed. by D. Armbruster, K. G. Kempf. London: Springer, 2012. P. 289–302.
  12. Корниш-Боуден Э. Основы ферментативной кинетики. М.: Мир, 1979. 280 с.
  13. Georgescu-Roegen N. Some properties of a generalized Leontief model // Analytical Economics: Issues and Problems. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1966. P. 316–337.
  14. Колесова Г.И., Полетаев И.А. Некоторые вопросы исследования систем с лимитирующими факторами // Управляемые системы: Cборник трудов. Вып. 3 / под ред. В. А. Евстегнеева. Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1969. С. 71–80.
  15. Романовский Ю.М., Степанова Н.М., Чернавский Д.С. Что такое математическая биофизика: Кинетические модели в биофизике. М.: Просвещение, 1971. 136 с.
  16. Нельсон Р., Уинтер С. Эволюционная теория экономических изменений. М.: Финстатинформ, 2000. 472 с.
  17. Industrial Metabolism: Restructuring for Sustainable Development / Ed. by R.U. Ayres, U.E. Simonis. Tokyo: United Nations University Press, 1994. 376 p.
  18. Networks of Interacting Machines: Production Organization in Complex Industrial Systems and Biological Cells / Ed. by D. Armbruster, K. Kaneko, A.S. Mikhailov. Singapore: World Scientific, 2005. Vol. 3 of World Scientific Lecture Notes in Complex Systems. 267 p.
  19. Levine E., Hwa T. Stochastic fluctuations in metabolic pathways // Proceedings of the National Academy of Sciences. 2007. Vol. 104, no. 22. P. 9224–9229.
  20. Hochendoner P., Ogle C., Mather W.H. A queueing approach to multi-site enzyme kinetics // Interface Focus. 2014. Vol. 4. P. 1–11.
  21. Helbing D., Armbruster D., Mikhailov A.S., Lefeber E. Information and material flows in complex networks // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2006. Vol. 363, no. 1. P. xi–xvi.
  22. Mustafin A., Kantarbayeva A. Opening the Leontief’s black box // Heliyon. 2018. Vol. 4, no. 5. P. e00626.
  23. Hopp W. J., Spearman M.L. Factory Physics: Foundations of Manufacturing Management. 3rd edition. New York, NY: McGraw-Hill, 2008. 720 p.
  24. Armbruster D., Marthaler D., Ringhofer C. Kinetic and fluid model hierarchies for supply chains // Multiscale Modeling & Simulation. 2003. Vol. 2, no. 1. P. 43–61.
  25. Gamarnik D. Fluid models of queueing networks // Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science / Ed. by J.J. Cochran, L.A. Cox, P. Keskinocak et al. Hoboken, NJ: Wiley, 2011.
  26. Bramson M. Stability of Queueing Networks. Lecture Notes in Mathematics no. 1950. Berlin; Heidelberg: Springer, 2008. 208 p.
  27. Karmarkar U.S. Manufacturing lead times, order release and capacity loading // Logistics of Production and Inventory / Ed. by S.C. Graves, A.H.G. Rinnooy Kan, P.H. Zipkin. Amsterdam: North Holland, 1993. Vol. 4 of Handbook in Operations Research and Management Science. P. 287–329.
  28. Taylor J., Jackson R.R.P. An application of the birth and death process to the provision of spare machines // Operational Research Quarterly. 1954. Vol. 5, no. 4. P. 95–108.
  29. Koenigsberg E. Cyclic queues // Operational Research Quarterly. 1958. Vol. 9, no. 1. P. 22–35.
  30. Koenigsberg E. Twenty five years of cyclic queues and closed queue networks: A review // Journal of the Operational Research Society. 1982. Vol. 33, no. 7. P. 605–619. 
  31. Shortle J.F., Thompson J.M., Gross D., Harris C.M. Fundamentals of Queueing Theory. Wiley Series in Probability and Statistics. 5th edition. Hoboken, NJ: Wiley, 2018.
  32. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1. М.: Физматлит, 2010. 616 с.
  33. Kuehn C. Multiple Time Scale Dynamics. New York, NY: Springer, 2014. Vol. 191 of Applied Mathematical Sciences. 814 p.
  34. Klonowski W. Simplifying principles for chemical and enzyme reaction kinetics // Biophysical Chemistry. 1983. Vol. 18, no. 2. P. 73–87.
  35. Segel L.A., Slemrod M. The quasi-steady-state assumption: A case study in perturbation // SIAM Review. 1989. Vol. 31, no. 3. P. 446–477.
  36. Милованов В.П. Неравновесные социально-экономические системы: Cинергетика и самоорганизация. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 264 с.
Поступила в редакцию: 
29.07.2019
Принята к публикации: 
26.08.2019
Опубликована: 
31.10.2019
Краткое содержание:
(загрузок: 67)