Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Григорьева Е. В., Кащенко С. А. Нормализованные краевые задачи в модели оптико-электронного осциллятора с запаздыванием // Известия вузов. ПНД. 2020. Т. 28, вып. 4. С. 361-382. DOI: 10.18500/0869-6632-2020-28-4-361-382

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF p361_382.pdf
(загрузок: 195)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Прикладные задачи нелинейной теории колебаний и волн
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9, 535.8
DOI: 
10.18500/0869-6632-2020-28-4-361-382

Нормализованные краевые задачи в модели оптико-электронного осциллятора с запаздыванием

Авторы: 
Григорьева Елена Викторовна, Белорусский государственный экономический университет (БГЭУ)
Кащенко Сергей Александрович, Ярославский государственный университет имени П.Г. Демидова (ЯрГУ)
Аннотация: 

Целью настоящей работы является разработка принципа сведения дифференциально-разностной модели оптико-электронного осциллятора к наиболее простым объектам – нормализованным краевым задачам. Исследуется динамика оптико-электронного осциллятора с запаздывающей обратной связью в окрестности нулевого состояния равновесия. Дифференциально-разностная модель содержит малый параметр при старшей производной. Показано, что в определенной окрестности точки бифуркации число корней характеристического уравнения с близкой к нулю действительной частью неограниченно возрастает при уменьшении малого параметра. Получены краевые задачи в частных производных, которые играют роль нормальных форм для исходной системы и которые имеют стационарные решения в виде симметричных или асимметричных прямоугольных структур. Показана мультистабильность прямоугольных структур с различным числом и формой ступенек. Обосновано пространственно-временное представление решений исходного уравнения с запаздыванием. Определены частоты и амплитуды осциллирующих решений уравнения с запаздыванием. Методы исследования. Используются как стандартные методы изучения локальной динамики, основанные на построении нормальных форм на центральных многообразиях, так и специальные методы бесконечномерной нормализации. Предложен алгоритм сведения исходной краевой задачи к уравнениям для медленно меняющихся амплитуд. Полученные результаты. Построены конечномерные и специальные бесконечномерные уравнения, которые играют роль нормальных форм. Их нелокальная динамика определяет поведение решений из малой окрестности исходной краевой задачи. Приведены асимптотические на промежутке [t0, ∞) формулы для решений.

Ключевые слова: 
бифуркационный анализ
волновые структуры
запаздывание
динамика лазеров
Список источников: 
  1. Yanchuk S., Giacomelli G. Spatio-temporal phenomena in complex systems with time delays // J. Phys. A: Math. Theor. 2017. Vol. 50. P. 103001.
  2. Cross M., Hohenberg P. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys. 1993. Vol. 65. P. 851–1112.
  3. Arecchi F.T., Giacomelli G., Lapucci A., Meucci R. Two-dimensional representation of a delayed dynamical system // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45. P. R4225–4228.
  4. Vladimirov A.G., Turaev D. Model for passive mode locking in semiconductor lasers // Phys. Rev. A 2005. Vol. 72. P. 033808.
  5. Marconi M., Javaloyes J., Barland S., Balle S. and Giudici M. Vectorial dissipative solitons in vertical-cavity surface-emitting lasers with delays // Nature Photonics. 2015. doi:10.1038/NPHOTON.2015.92.
  6. Pimenov A., Slepneva S., Huyet G., Vladimirov A. Dispersive time-delay dynamical systems // Phys. Rev. Lett. 2017. Vol. 118. 193901.
  7. Heiligenthal S., Dahms T., Yanchuk S., Jungling T., Flunkert V., Kanter I., Scholl E. and Kinzel W. Strong and weak chaos in nonlinear networks with time-delayed couplings // Phys. Rev. Lett. 2011. Vol. 107. P. 234.
  8. Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 8. С. 1448–1451.
  9. Кащенко С.А. Уравнение Гинзбурга–Ландау – нормальная форма для дифференциальноразностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 3. С. 457–465.
  10. Кащенко С.А. Бифуркационные особенности сингулярно возмущенного уравнения с запаздыванием // Сибирский математический журнал. 1999. Т. 40, № 3. С. 567–572.
  11. Kashchenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 1996. Vol. 6, no. 6. P. 1093–1109.
  12. Григорьева Е.В., Кащенко С.А. Медленные и быстрые колебания в модели оптико-электронного осциллятора с запаздыванием // Доклады Академии наук. 2019. Т. 484, № 1. С. 21–25.
  13. Giacomelli G., Politi A. Relationship between delayed and spatially extended dynamical Systems // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 76. P. 2686–2689.
  14. Grigorieva E.V., Haken H., Kashchenko S.A. Theory of quasi-periodicity in model of lasers with delayed optoelectronic feedback // Optics Communications. 1999. Vol. 165. P. 279–292.
  15. Bestehorn M., Grigorieva E.V., Haken H., Kashchenko S.A. Order parameters for class-B lasers with a long time delayed feedback // Physica D. 2000. Vol. 145. P. 111–130.
  16. Grigorieva E.V., Haken H., Kashchenko S.A., Pelster A. Traveling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback // Physica D. 1999. Vol. 125, no. 1–2. P. 123–141 
  17. Grigorieva E.V., Kashchenko I.S., Kashchenko S.A. Dynamics of Lang-Kobayashi equations with large control coefficient // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2012. Vol. 12. P. 403–409.
  18. Kashchenko I.S., Kashchenko S.A. Local Dynamics of the two-component singular perturbed systems of parabolic type // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2015. Vol. 25, no. 11. P. 1550142.
  19. Ikeda K., Matsumoto K. High-dimensional chaotic behavior in systems with time-delayed feedback // Physica D. 1987. Vol. 29. P. 223–235.
  20. Kouomou C.Y., Colet P., Larger L., Gastaud N. Chaotic breathers in delayed electro-optical systems // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. 203903.
  21. Weicker L., Erneux T., D'Huys O., Danckaert J., Jacquot M., Chembo Y. and Larger L. Strongly asymmetric square waves in time-delayed system // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 86. 055201(R).
  22. Weicker L., Erneux T., Rosin D.P., Gauthier D.J. Multirhythmicity in an optoelectronic oscillator with large delay // Phys. Rev. E. 2015. Vol. 91. 012910.
  23. Peil M., Jacquot M, Chembo Y.C., Larger L., Erneux T. Routes to chaos and multiple time scale dynamics in broadband bandpass nonlinear delay electro-optic oscillators // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 79. 026208.
  24. Talla Mbe J.H., Talla A.F., Goune Chengui G.R., Coillet A., Larger L., Woafo P. Mixed-mode oscillations in slow-fast delay optoelectronic systems // Phys. Rev. E. 2015. Vol. 91. 012902.
  25. Marquez B.A. et al. Interaction between Lienard and Ikeda dynamics in a nonlinear electro-optical oscillator with delayed bandpass feedback // Phys. Rev. E. 2016. Vol. 94. 062208.
  26. Larger L., Penkovsky B. and Maistrenko Y. Virtual chimera states for delayed-feedback systems // Phys. Rev. Lett. 2013. Vol. 111. P. 054103.
  27. Grigorieva E.V., Kashchenko I.S., Glazkov D.V. Local dynamics of a model of an opto-electronic oscillator with delay // Automatic Control and Computer Sciences. 2018. Vol. 52. P. 700–707.
  28. Гиббс Х. Оптическая бистабильность. Управление светом с помощью света // М.: «Мир», 1988. 518 c. 
Поступила в редакцию: 
20.03.2020
Принята к публикации: 
09.06.2020
Опубликована: 
31.08.2020
  • 1576 просмотров