Цель работы — обоснование метода усреденения Крылова-Боголюбова для нелинейных абстрактных гиперболических уравнений с быстро осциллирующими по времени данными и начальными условиями (задача Коши) в банаховом пространстве.

Методы. Задача Коши для абстрактного гиперболического уравнения с большим параметром, роль которого играет высокая частота осцилляций данных, записана в форме интегрального уравнения и, тем самым, по исходному дифференциальному уравнению с начальными условиями построен нелинейный интегральный оператор, зависящий от большого параметра и действующий в соответствующем банаховом пространстве. К этому оператору (точнее, по необходимости, к его квадрату) применен принцип сжатых отображений.

Результаты. Рассмотренные в работе нелинейные гиперболические уравнения с начальными условиями в банаховом пространстве служат абстракными аналогами классических полулинейных гиперболических уравнений с начально-краевыми условиями.
Коэффициент главной стационарной линейной части абстрактного уравнения является квадратом неограниченного оператора, пораждающего сильно непрерывную группу, а нелинейная часть — в определенном смысле подчинена указанной линейной части. В предположении разрешимости усредненной задачи доказано, что при больших значениях высокой частоты осцилляций однозначно в некоротой окрестности решения усредненной задачи разрешима и возмущенная задача и решения указанных задач асимптотически близки.

Заключение. Установлено, что классический метод усреднения Крылова-Боголюбова применим к нелинейным абстрактным гиперболическим уравнениям.