Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Кузнецов С. П. Отображение "кот Арнольда": квантовый хаос и динамика операторов в представлении Гейзенберга // Известия вузов. ПНД. 1998. Т. 6, вып. 3. С. 3-48.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF 1998no3p003.pdf
(загрузок: 0)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Квантовый хаос
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9

Отображение "кот Арнольда": квантовый хаос и динамика операторов в представлении Гейзенберга

Авторы: 
Кузнецов Сергей Петрович, Саратовский филиал Института радиотехники и электроники имени В.А. Котельникова РАН (СФ ИРЭ)
Аннотация: 

Рассматривается модельная квантовая система с дискретным временем, классическим аналогом которой является отображение с хаотической динамикой, известное как «кот Арнольда». В силу наложенных на фазовое пространство условий периодичности, состояние квантовой системы представляется векторами конечной размерности N, а операторы — матрицами NхN. Целочисленный параметр N характеризует относительную величину квантовых эффектов; классическому пределу отвечает N—>∞. Предложено отображение, описывающее эволюцию во времени операторов конечного сдвига по координате и импульсу в представлении Гейзенберга, и установлен явный вид соответствующего оператора эволюции в представлении Шредингера. Приводятся и обсуждаются результаты решения нестационарной задачи с начальными условиями в виде локализованного состояния, двух дельта-ликов, гауссова волнового пакета. Обсуждается представление квантовой динамики в фазовом пространстве в терминах распределения Хусими и функции Вигнера, а также спектр квазиэнергий и структура собственных векторов в свете динамики гейзенберговских операторов.

Ключевые слова: 
-
Благодарности: 
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект N 97-02-16414).
Список источников: 
  1. Cvitanovic P, Percival I, Wirzba A, editors. Quantum Chaos — Quantum Measurement. Dordrecht: Springer; 1992. 332 p. DOI: 10.1007/978-94-015-7979-7.
  2. Nakamura K. Quantum chaos. A New Paradigm of Nonlinear Dynamics. Cambridge: Cambridge University Press; 1993. 224 p.
  3. Елютин П.B. Проблема квантового хаоса // УФН. 1988. Т. 155, вып. 3. С. 397.
  4. Ott Е. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge: Cambridge University Press; 1993. 385 p. DOI: 10.1017/CBO9780511803260.
  5. Cerdeira H, Ramaswamy R, Gutzwiller MC, Casati G, editors. Quantum Chaos. Singapore: World Scientific; 1991. 480 p. DOI: 10.1142/1375.
  6. Reichl LE. The Transition to Chaos. In Conservative Classical Systems: Quantum manifestation. N.Y.: Springer; 1992. 551 p. DOI: 10.1007/978-1-4757-4352-4.
  7. Ландау Л.Д. Лифшиц E.M. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974. 752 с.
  8. Фок В.А. Начала квантовой механики. M.: Наука, 1976. 376 c.
  9. Фейнман. Р., Лейтон Р., Сэндс M. Фейнмановские лекции по физике.
  10. Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979.
  11. Эйнштейн А. К квантовому условию Зоммерфельда и Эпштейна // Собрание научных трудов. M.: Наука, 1966. Т. 3. С. 407.
  12. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 240 с.
  13. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. С. 112.
  14. Devaney RL. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Amsterdam: Addison-Wesley Publ.Comp.; 1986. 320 p.
  15. Hannay JH, Berry MV. Quantization of linear maps on а torus — Fresnel diffraction by а periodic grating. Physica D. 1980;1(3):267-290. DOI: 10.1016/0167-2789(80)90026-3.
  16. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984, 267 с.
  17. Ford J, Mantica G, Ristow GH. The Arnold’s cat: Failure оf the correspondence principle. Physica D. 1991;50(3):493-520. DOI: 10.1016/0167-2789(91)90012-X.
  18. Eckhardt В. Exact eigenfunctions for а quantised mар. J. Phys. A: Math. Gen. 1986;19(10):1823-1831. DOI: 10.1088/0305-4470/19/10/023.
  19. Weyers J. The quantum groups GLq(n) and Weyl-Heisenberg operators. Phys. Lett. B. 1990;240(3-4):396-400. DOI: 10.1016/0370-2693(90)91118-U.
  20. Athanasiu GG, Floratos EG. The lightcone SUq(2) quantum algebra аs dynamical symmetry of the Azbel — Hofstadter problem. Phys. Lett. B. 1995;352:105-110. DOI: 10.1016/0370-2693(95)00464-V.
  21. Шредингер Э. Непрерывный переход от микро- к макромеханике // Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976. С. 51.
  22. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970. 428 с.
  23. Saraceno M. Classical structures in the quantized baker transformation. Аnnals of Physics. 1990;199(1):37-60. DOI: 10.1016/0003-4916(90)90367-W.
  24. Балеску P. Равновесная и неравновесная статистическая механика. M. Мир, 1978. Т. 1.
  25. Ford J, Mantica G. Does quantum mechanics оbеу the correspondence principle? Is it complete? Am. J. Phys. 1992;60(12):1086-1098. DOI: 10.1119/1.16954.
  26. Kasperkovitz Р, Peev M. Wigner—Weyl Formalisms for toroidal geometrics. Annals of Physics. 1994;230(1):21-51. DOI: 10.1006/aphy.1994.1016.
  27. Agam O, Brenner N. Semiclassical Wigner functions for quantum maps оn а torus. J. Phys. A: Math. Gen. 1995;28(5):1345-1360. DOI: 10.1088/0305-4470/28/5/020.
  28. Mehta ML. Eigenvalues and eigenvectors of the finite Fourier transform. J. Math. Phys. 1987;28(4):781-785. DOI: 10.1063/1.527619.
  29. Gutzwiller МG. Chaos with few degrees оf freedom. Progress оf Theor. Phys. Suppl. 1994;116:1-16. DOI: 10.1143/PTPS.116.1.
  30. Keating JP. Asymptotic properties of the periodic orbits of the cat maps. Nonlinearity. 1991;4(2):277-308. DOI: 10.1088/0951-7715/4/2/005.
  31. Keating JP. The cat maps: quantum mechanics and classical motion. Nonlinearity. 1991;4(2):309-342. DOI: 10.1088/0951-7715/4/2/006.
  32. Ozorio dе Almeida АМ, dа Luz MGE. Path integrals and edge corrections for torus maps. Physica D. 1996;94(1-2):1-18. DOI: 10.1016/0167-2789(95)00308-8.
  33. Percival I, Vivaldi F. Arithmetical properties оf strongly chaotic motions. Physica D. 1987;25(1-3):105-130. DOI: 10.1016/0167-2789(87)90096-0.
  34. Percival I, Vivaldi F. A linear code for the sawtooth and cat maps. Physica D. 1987;27(3):373-386. DOI: 10.1016/0167-2789(87)90037-6.
  35. Bartuccelli M, Vivaldi F. Ideal orbits of toral automorphisms. Physica D. 1989;39(2-3):194-204. DOI: 10.1016/0167-2789(89)90004-3.
  36. Mantica G, Ford J. On the completeness оf the classical limit of quantum mechanics. In: Cvitanovic P, Percival I, Wirzba A, editors. Quantum Chaos — Quantum Measurement. NATO ASI Series. Vol. 358. Dordrecht: Springer; 1992. P. 241-248. DOI: 10.1007/978-94-015-7979-7_19.
  37. Eckhardt В. Quantum mechanics of classically non—integrable systems. Phys. Rep. 1988;163(4):205-297. DOI: 10.1016/0370-1573(88)90130-5.
  38. Toda M, Ikeda K. Quantal Lyapunov exponent. Phys.Lett. A. 1987;124(3):165-169. DOI: 10.1016/0375-9601(87)90245-3.
  39. Faisal FНМ, Schwengelbeck U. Unified theory оf Lyapunov exponents аnd positive example оf deterministic quantum chaos. Phys. Lett. A. 1994;207(1-2):31-36. DOI: 10.1016/0375-9601(95)00645-J.
  40. Klimek S, Lesniewski А. Quantized chaotic dynamics and non-commutative КS entropy. Annals of Physics. 1996;248(2):173-198. DOI: 10.1006/aphy.1996.0056.
  41. Esposti MD, Graffi S, Isola S. Classical limit оf the quantized hyperbolic toral automorphisms. Commun. Math. Phys. 1995;167:471-507. DOI: 10.1007/BF02101532.
  42. Bouzouina А, De Bievre S. Equipartition оf the eigenfunctions of quantized ergodic maps оn the torus. Commun. Math. Phys. 1996;178:83-105. DOI: 10.1007/BF02104909.
  43. Tabor М. A semiclassical quantization of area—preserving maps. Physica D. 1983;6(2):195-210. DOI: 10.1016/0167-2789(83)90005-2.
  44. Dematos MB, Dealmeida AMO. Quantization оf Anosov maps. Annals of Physics. 1995;237(1):46-65. DOI: 10.1006/aphy.1995.1003.
  45. Lakshminarayan А, Balazs NL. On the quantum cat and sawtooth maps — Return to generic behavior. Chaos, Solitons and Fractals. 1995;5(7):1169-1179. DOI: 10.1016/0960-0779(94)E0060-3.
  46. Leboeuf P, Voros А. Chaos—revealing multiplicative representation of quantum eigenstates. J. Phys. A: Math. Gen. 1990;23(10):1765-1774. DOI: 10.1088/0305-4470/23/10/017.
  47. Knabe S. On the quantisation of Arnold’s cat. J. Phys. A: Math. Gen. 1990;23(11):2013-2025. DOI: 10.1088/0305-4470/23/11/025.
  48. Isola S. 3 —function and distribution оf periodic orbits of toral automorphisms. Europhys. Lett. 1990;11(6):517-522. DOI: 10.1209/0295-5075/11/6/006.
  49. Weigert St. The configurational quantum саt mар. Z. Physik B - Condensed Matter. 1990;80:3-4. DOI: 10.1007/BF01390645.
  50. Benatti F, Narnhofer H, Sewell GL. A non—commutative version оf the Arnold cat mар. Lett. Math. Phys. 1991;21:157-172. DOI: 10.1007/BF00401650.
  51. Kolovsky AR. Condition оf correspondence between quantum and classical dynamics for а chaotic system. Phys. Rev. Lett. 1996;76(3):340-343. DOI: 10.1103/PhysRevLett.76.340.
  52. Kolovsky AR. Quantum coherence, evolution of the Wigner function, and transition from quantum to classical dynamics for а chaotic system. CHAOS. 1996;6(4):534-542. DOI: 10.1063/1.166201.
  53. Balazs NL, Voros А. The quantized Baker’s transformation. Europhys. Lett. 1987;4(10):1089-1094.  DOI: 10.1209/0295-5075/4/10/001.
  54. Balazs NL, Voros A. The quantized Baker’s transformation. Annals оf Physics. 1989;190(1):1-31. DOI: 10.1016/0003-4916(89)90259-5.
  55. O’Connor PW, Tomsovic S. The unusual nature of the quantum Baker’s transformation. Annals оf Physics. 1991;207(1):218-264. DOI: 10.1016/0003-4916(91)90184-A.
  56. Ozorio de Almeida AM, Saraceno M. Periodic orbit theory for the quantized baker’s mар. Annals of Physics. 1991;210:1.
  57. Lakshminarayan А, Balazs NL. The classical and quantum mechanics оf lazy baker maps. Annals of Physics. 1993;226(2):350-373. DOI: 10.1006/aphy.1993.1073.
  58. Saraceno M, Voros А. Towards а semiclassical theory оf the quantum baker’s mар. Physica D. 1994;79(2-4):206-268. DOI: 10.1016/S0167-2789(05)80007-7.
  59. Dittes FM, Doron E, Smilansky U. Long—time behavior оf the semiclassical baker’s map. Phys. Rev. E. 1994;49(2):R963-R966. DOI: 10.1103/physreve.49.r963.
  60. Hannay JN, Keating JP, Ozorio de Almeida АМ. Optical realization оf the haker's transformation. Nonlinearity. 1994;7(5):1327-1342. DOI: 10.1088/0951-7715/7/5/003.
  61. Lakshminarayan А, Balazs NL. On the noncommutativity оf quantization and discerete time evolution. Nuclear Phys. A. 1994;572(1):37-47. DOI: 10.1016/0375-9474(94)90419-7.
  62. Lakshminarayan А, Balaz NL. Relaxation and localization in interacting quantum maps. J. Stat. Phys. 1994;77(1-2):311-344. DOI: 10.1007/BF02186844.
  63. Lakshminarayan А. On the quantum baker’s mар and its unusual traces. Annals оf Physics. 1995;239(2):272-295. DOI: 10.1006/aphy.1995.1035.
  64. Saraceno M, Vallejos RO. The quantized D—fransformation. CHAOS. 1996;6(2):193-199. DOI: 10.1063/1.166164.
  65. Boasman PA, Smilansky U. Quantization оf monotonic twist maps. J. Phys. А: Math. Gen. 1994;27(4):1373-1386. DOI: 10.1088/0305-4470/27/4/031.
  66. Lakshminarayan A, Balaz NL. On the quantization оf linear maps. Annals оf Physics. 1991;212(2):220-234. DOI: 10.1016/0003-4916(91)90115-O.
  67. Lakshminarayan А. Semiclassical theory оf the sawtooth mар. Phys. Lett. A. 1994;192(5-6):345-354. DOI: 10.1016/0375-9601(94)90217-8.
  68. Nakamura K. Introduction to quantum chaos. Chaos, Solitons and Fractals. 1995;5(7):1035-1048. DOI: 10.1016/0960-0779(94)E0052-Q.
  69. Bogomolny EB, Georgeot B, Giannoni MJ, Schmit С. Quantum chaos оn constant negative curvature surfaces. Chaos, Solitons and Fractals. 1995;5(7):1311-1323. DOI: 10.1016/0960-0779(94)E0067-Y.
Поступила в редакцию: 
10.04.1998
Принята к публикации: 
20.10.1998
Опубликована: 
15.01.1999
  • 48 просмотров