Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Баханова Ю. В., Казаков А. О., Каратецкая Е. Ю., Козлов А. Д., Сафонов К. А. О гомоклинических аттракторах трехмерных потоков // Известия вузов. ПНД. 2020. Т. 28, вып. 3. С. 231-258. DOI: 10.18500/0869-6632-2020-28-3-231-258

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF 6bakhanova.pdf
(загрузок: 227)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Обзоры актуальных проблем нелинейной динамики
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.925 + 517.93
DOI: 
10.18500/0869-6632-2020-28-3-231-258

О гомоклинических аттракторах трехмерных потоков

Авторы: 
Баханова Юлия Викторовна, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Казаков Алексей Олегович, Высшая школа экономики
Каратецкая Ефросиния Юрьевна, Высшая школа экономики
Козлов Александр Дмитриевич, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)
Сафонов Клим Андреевич, Высшая школа экономики
Аннотация: 

Основной целью работы является построение классификации гомоклинических аттракторов трехмерных динамических систем с непрерывным временем и выделение среди них классов псевдогиперболических аттракторов, хаотическая динамика которых сохраняется при возмущениях системы. Основным методом исследования является качественный метод карты седел, заключающийся в построении расширенной бифуркационной диаграммы на плоскости параметров системы вида $\dot x=y+g_1(x,y,z), \dot y=z+g_2(x,y,z), \dot z=Ax+By+Cz+g_3(x,y,z), \;\; g_i(0,0,0) = (g_i)^\prime_x(0,0,0) = (g_i)^\prime_y(0,0,0) = (g_i)^\prime_z(0,0,0) = 0, \; i = 1, 2, 3$, матрица линеаризации которой представляется в форме Фробениуса, а собственные числа, определяющие тип состояния равновесия, выражаются только лишь через коэффициенты A, B, C. Для проверки псевдогиперболичности рассматриваемых аттракторов применяется численный метод анализа непрерывности подпространства равномерного сжатия и подпространства растяжения объемов на аттракторе. Принадлежность аттракторов к классу гомоклинических устанавливается с помощью численного метода расчета расстояния от аттрактора до седлового состояния равновесия. Результаты. На плоскости параметров (A,B) построена расширенная бифуркационная диаграмма, на которой выделена область устойчивости состояния равновесия, а также шесть областей, отвечающих двум различным типам спиральных восьмерочных аттракторов, аттрактору Шильникова, аттрактору Лоренца, седловому аттрактору Шильникова и аттрактору типа Любимова–Закса–Ровеллы. Численно установлена псевдогиперболичность аттрактора Лоренца. Для аттракторов Любимова–Закса–Ровеллы установлена непрерывность подпространств сжатия и растяжения объемов. Тем не менее показано, что такие аттракторы не могут быть псевдогиперболическими. В работе обсуждается, что в трехмерных потоках помимо аттракторов Лоренца псевдогиперболическими могут быть еще только лишь седловые аттракторы Шильникова, содержащие седловое состояние равновесия с двумерным неустойчивым многообразием. Однако примеры таких аттракторов на данный момент не известны.

Ключевые слова: 
хаотический аттрактор
седловое состояние равновесия
Седло-фокус
гомоклиническая траектория
псевдогиперболичность
аттрактор Лоренца
спиральный аттрактор
аттрактор Шильникова
Список источников: 
  1. Тураев Д.В., Шильников Л.П. Пример дикого странного аттрактора // Матем. сб. 1998. Т. 189. C. 137–160.
  2. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in three-dimensional generalized Henon maps // Physica D: Nonlinear Phenomena, 2016. Vol. 337. P. 43–57.
  3. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // Доклады Академии наук СССР. 1977. Т. 234, № 2. С. 336–339.
  4. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды ММО, 1982. Т. 44. С. 150–212.
  5. Hayashi S. Hyperbolicity, stability, and the creation of homoclinic points // Documenta Mathematica, Extra Volume ICM, 1998. T. 2. C. 789–796.
  6. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность. Методы качественной теории дифференциальных уравнений: Межвуз. сб. Горький: ГГУ. 1986. С. 150–163.
  7. Gonchenko S.V., Turaev D.V., Gaspard P. and Nicolis G. Complexity in the bifurcation structure of homoclinic loops to a saddle-focus // Nonlinearity, 1997. Vol. 10, no. 2. P. 409.
  8. Шильников Л.П. Некоторые случаи рождения периодических движений в n-мерном пространстве // Докл. АН СССР. 1962. Vol. 143, № 2. P. 289–292
  9. Шильников Л.П. О рождении периодических движений в n-мерном пространстве // Мат. сб. 1963, № 4. С. 443–466
  10. Lorenz E. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, no. 2. P. 130–141.
  11. Шильников А.Л. Бифуркации и хаос в системе Мориока–Шимицу // Межвуз. сб. Методы КТДУ. Горький, 1986. C. 180–183.
  12. Shilnikov A.L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimuizu–Morioka model // Physica D. 1993. Vol. 62. P. 338–346.
  13. Chua L.O., Komuro M., Matsumoto T. The double scroll family // IEEE Transactions on Circuits and Systems. 1986. Vol. 33, no. 11. P. 1072–1118.
  14. Rossler O.E. ¨ An equation for continuous chaos // Physics Letters A. 1976. Vol. 57, № 5. P. 397–398.
  15. Gavrilov N.K., Shilnikov L.P. On three-dimensional dynamical systems close to systems with a structurally unstable homoclinic curve. Part 1 // Math. USSR Sb. 1972. Vol. 17, no. 4. P. 467–485.
  16. Gavrilov N.K., Shilnikov L.P. On three-dimensional dynamical systems close to systems with a structurally unstable homoclinic curve. Part 2 // Math. USSR Sb. 1973. Vol. 19, no. 1. P. 139–156.
  17.  Aframovich V.S., Shilnikov L.P. Strange Attractors and Quasiattractors. Nonlinear Dynamics and Turbulence, G.I. Barenblatt, G. Iooss, D.D. Joseph (Eds.). Boston: Pitmen, 1983.
  18. Gonchenko S.V., Shilnikov L.P., Turaev D.V. Quasiattractors and homoclinic tangencies // Computers and Mathematics with Applications. 1997. Vol. 34, no. 2–4. P. 195–227.
  19. Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений // ДАН СССР. 1965. Т. 160, № 3. С. 558–561.
  20. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Казаков А.О., Козлов А.Д. Математическая теория динамического хаоса и её приложения: Обзор. Часть 1. Псевдогиперболические аттракторы // Известия вузов. ПНД. 2017. Т. 25, № 2. С. 4–36.
  21. Gonchenko A.S., Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Kozlov A.D. Elements of Contemporary Theory of Dynamical Chaos: A Tutorial. Part I Pseudohyperbolic Attractors // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2018. Vol. 28, no. 11. P. 291–314
  22. Кузнецов С.П. Динамический хаос и гиперболические аттракторы: От математики к физике. 2013.
  23. Кузнецов С.П. Динамический хаос и однородно гиперболические аттракторы: От математики к физике // Успехи физических наук. 2011. Т. 181, № 2. С. 121–149.
  24. Grines V.Z., Zhuzhoma E.V., Pochinka O.V. Rough diffeomorphisms with basic sets of codimension one // Journal of Mathematical Sciences. 2017. Vol. 225. P. 195–219.
  25. Kuznetsov S.P. Example of a physical system with a hyperbolic attractor of the Smale–Williams type // Physical Review Letters. 2005. Т. 95, no. 14. 144101.
  26. Кузнецов C.П., Селезнев Е.П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла–Вильямса // ЖЭТФ. 2006. Т. 129, № 2. С. 400-412.
  27. Kuznetsov S.P., Pikovsky A. Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2007. Т. 232, no. 2. С. 87–102
  28. Кузнецов С.П. Гиперболические странные аттракторы систем, допускающих физическую реализацию // Известия вузов. ПНД. 2009. T. 17, № 4. С. 5–34.
  29. Kruglov V.P., Kuznetsov S.P. An autonomous system with attractor of Smale–Williams type with resonance transfer of excitation in a ring array of van der Pol oscillators // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2011. Vol. 16. P. 3219–3223.
  30. Jalnine A.Yu. Hyperbolic and non-hyperbolic chaos in a pair of coupled alternately excited FitzHughNagumo systems // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2015. Vol. 23, no. 1–3. P. 202–208.
  31. Kuznetsov S.P., Sataev I.R. Hyperbolic attractor in a system of coupled non-autonomous van der Pol oscillators: Numerical test for expanding and contracting cones // Physics Letters. 2007. Vol. A365. P. 97–104.
  32. Kuptsov P.V. Fast numerical test of hyperbolic chaos // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85. 015203(R).
  33. Круглов В.П. Методика и результаты численной проверки гиперболической природы аттракторов для редуцированных моделей распределенных систем // Известия вузов. ПНД. 2014. Т. 22, № 6. P. 79–93.
  34. Kuznetsov S.P., Kruglov V.P. Verification of hyperbolicity for attractors of some mechanical systems with chaotic dynamics // Regular and Chaotic Dynamics. 2016. Vol. 21, no. 2. P. 160–174.
  35. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Numerical test for hyperbolicity in chaotic systems with multiple time delays // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2018. Vol. 56. P. 227–239.
  36. Шильников Л.П.. Теория бифуркаций и модель Лоренца // В кн.: Бифуркации рождения цикла и ее приложения / Под ред. Дж. Марсден, М. Мак-Кракен. М.: Мир, 1980. С. 317–335.
  37. Tucker W. The Lorenz attractor exists // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences-Series ´ I-Mathematics. 1999. Vol. 328, no. 12. P. 1197–1202.
  38. Gonchenko S.V., Kazakov A.O., Turaev D. Wild pseudohyperbolic attractors in a four-dimensional Lorenz system // arXiv preprint arXiv:1809.07250. 2018.
  39. Kuptsov P.V., Kuznetsov S.P. Lyapunov analysis of strange pseudohyperbolic attractors: Angles between tangent subspaces, local volume expansion and contraction // Regular and Chaotic Dynamics. 2018. Vol. 23, no. 7–8. P. 908–932
  40. Shilnikov A.L., Shilnikov L.P. On the nonsymmetrical Lorenz model // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1991. Vol. 1, no. 4. P. 773–776.
  41. Казаков А.О., Козлов А.Д. Несимметричный аттрактор Лоренца как пример нового псевдогиперболического аттрактора в трехмерных системах // Журнал Средневолжского математического общества. 2018. Vol. 20, № 2. P. 187–198
  42. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований; Часть 2, 2009. 546 с.
  43. Гонченко А.С., Гонченко С.В., Шильников Л.П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса у трехмерных отображений // Нелинейная динамика. 2012. Т. 8, № 1. С. 3–28.
  44. Gonchenko A., Gonchenko S., Kazakov A., Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2014. Vol. 24, № 8. P. 1440005.
  45. Гонченко А.С., Козлов А.Д. О сценариях возникновения хаоса в трехмерных неориентируемых отображениях // Журнал Средневолжского математического общества. 2016. Vol. 18, № 4. P. 17–29.
  46. Козлов А.Д. Примеры странных аттракторов в трехмерных неориентируемых отображениях // Журнал Средневолжского математического общества. 2017. Vol. 19, № 2. P. 62–75.
  47. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Москва: Издательство «Наука», 1966.
  48. Guckenheimer J., Holmes P. Local bifurcations. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. Springer, New York, 1983. P. 117–165.
  49. Lyubimov D.V., Zaks M.A. Two mechanisms of the transition to chaos in finite-dimensional models of convection // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1983. Vol. 9, no. 1–2. P. 52–64.
  50. Rovella A. The dynamics of perturbations of the contracting Lorenz attractor // Boletim da Sociedade Brasileira de Matematica-Bulletin/Brazilian Mathematical Society. 1993. Vol. 24, ´ no. 2. P. 233–259.
  51. Овсянников И.М., Шильников Л.П. О системах с гомоклинической кривой седло-фокуса // Математический сборник. 1986. Т. 130, № 4. С. 552–570.
  52. Coullet P., Tresser C., Arneodo A. Transition to stochasticity for a class of forced oscillators // Physics letters A. 1979. Vol. 72, no. 4-5. P. 268–270.
  53. Coullet P., Tresser C., Arneodo A. Possible new strange attractors with spiral structure // Communications in Mathematical Physics. 1981. Vol. 79, no. 4. P. 573–579.
  54. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Oscillators with chaotic behavior: An illustration of a theorem by Shilnikov // Journal of Statistical Physics. 1982. Vol. 27, no. 1. P. 171–182.
  55. Kuznetsov Y.A., De Feo O., Rinaldi S. Belyakov homoclinic bifurcations in a tritrophic food chain model // SIAM Journal on Applied Mathematics. 2001. Vol. 62, no. 2. P. 462–487.
  56. Hastings A., Powell T. Chaos in a three-species food chain // Ecology. 1991. Vol. 72, no. 3. P. 896–903.
  57. Rai V., Sreenivasan R. Period-doubling bifurcations leading to chaos in a model food chain // Ecological modelling. 1993. Vol. 69, no. 1–2. P. 63–77.
  58. Kuznetsov Y.A., Rinaldi S. Remarks on food chain dynamics // Mathematical biosciences. 1996, vol. 134, no. 1. P. 1–33.
  59. Deng B., Hines G. Food chain chaos due to Shilnikov’s orbit // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 2002. Vol. 12, no. 3. P. 533–538.
  60. Bakhanova Y.V., Kazakov, A.O., Korotkov A.G., Levanova T.A., Osipov G.V. Spiral attractors as the root of a new type of «bursting activity» in the Rosenzweig–MacArthur model // The European Physical Journal Special Topics. 2018. Vol. 227, no. 7–9. P. 959–970.
  61. Беляков Л.А. Бифуркации систем с гомоклинической кривой седло-фокуса с нулевой седловой величиной // Математические заметки. 1984. Т. 36, № 5. С. 681–689.
  62. Barrio R., Blesa F., Serrano S., Shilnikov A. Global organization of spiral structures in biparameter space of dissipative systems with Shilnikov saddle-foci // Physical Review E. 2011. Vol. 84, no. 3. 035201.
  63. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Докл. Росс. Акад. Наук. 1993. Т. 330, № 2. C. 144–147.
  64. Гонченко С.В., Тураев Д.В., Шильников Л.П.. О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) // Докл. РАН. 1993. Т. 329, № 4. С. 404–407.
Поступила в редакцию: 
17.11.2019
Принята к публикации: 
02.03.2020
Опубликована: 
30.06.2020
  • 2241 просмотр