Известия высших учебных заведений

Прикладная нелинейная динамика

ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

Для цитирования:

Аносов О. Л., Бутковский О. Я., Кравцов Ю. А. Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам Краткий обзор // Известия вузов. ПНД. 2000. Т. 8, вып. 1. С. 29-51.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).
Полный текст в формате PDF(Ru):
Иконка PDF 2000no1p029.pdf
(загрузок: 0)
Язык публикации: 
русский
Рубрика: 
Обзоры актуальных проблем нелинейной динамики
Тип статьи: 
Научная статья
УДК: 
517.9

Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам Краткий обзор

Авторы: 
Аносов Олег Львович, Институт ядерных исследований РАН
Бутковский Олег Ярославович, Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых
Кравцов Юрий Александрович, Институт космических исследований РАН
Аннотация: 

Дан краткий обзор проблем, возникающих при восстановлении динамических уравнений из хаотических временных рядов. Описаны наиболее употребительные процедуры восстановления, включающие в себя оценку размерности системы, выбор типа уравнений, определение параметров нелинейных функций путем подгонки дифференциальных уравнений к временным рядам, селекцию ненадежных коэффициентов, испытание восстановленной системы на глобальную устойчивость. Приведены примеры восстановления динамических уравнений. Предложен эффективный критерий различения динамических и случайных процессов, опирающийся на понятие степени предсказуемости. Указаны принципиальные ограничения, налагаемые влиянием шумов, в частности, ограничения на время предсказуемости (наличие «горизонта предсказуемости»), на длину анализируемой выборки, на количество определяемых коэффициентов и др. Изложен «дискриминантный» (двухоконный) подход, позволяющий выявить нестационарности в динамической системе. Наконец, указана важная роль малоразмерных моделей для выявления нестационарностей в системах высокой размерности. В заключение перечислены перспективные области применения процедур восстановления.

Ключевые слова: 
-
Благодарности: 
Работа поддержана программами ИНТАС (грант 96-0305), РФФИ (грант 99-02-16625) и ФЦП «Интеграция» (грант А-0030).
Список источников: 
  1. Льюнг. Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Пер.с англ. под ред. Я.З. Цыпкина. М.: Наука, 1991. 432 с.
  2. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. М.: Техника. 1995. 312 с.
  3. Современные методы идентификации систем / Под ред. П.Эйкхоффа. M. Мир, 1983.
  4. Балакришнан A.B. Теория фильтрации Калмана. M.: Мир, 1988.
  5.  Аносов О.Л., Бутковский О.Я. и Кравцов Ю.А. Восстановление хаотических систем из временных рядов: достижения и ограничения // V Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур (ХАОС’ 98)», Саратов, Россия, 6-10 октября 1998. Тезисы докладов. Саратов, 1998. С. 16.
  6. Cremers J, Hubler А. Construction of differential equations from experimental data. Z. Naturforschung A. 1987;42(8):797-802. DOI: 10.1515/zna-1987-0805.
  7. Grutchfield JP, McNamara BS. Equations of motion from а data series. Complex Systems. 1987;1(2):417-452.
  8. Breeden J, Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables. Phys.Rev.A. 1990;42(10):5817-5826. DOI:https:.doi.org/10.1103/PhysRevA.42.5817.
  9. Gouesber С. Reconstruction оf the vector fields of continuous dynamical systems from numerical scalar time series. Phys.Rev.A. 1991;43(10): 5321-5331. DOI: 10.1103/physreva.43.5321.
  10.  Brush JS, Kadrtke JB. Nonlinear signal processing using empirical global dynamical equations. In: Proceedings ICASSP-92: 1992 IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 23-26 March 1992, San Francisco, USA. IEEE;2002. P. 321. DOI: 10.1109/ICASSP.1992.226618
  11. Грибков Д.А., Грибкова B.B., Кравцов Ю. А., Кузнецов Ю.И., Ржанов А.Г. Восстановление структуры динамической системы из временных рядов // РЭ. 1994. Т. 39, № 2. С.241.
  12. Грибков Д.А., Грибкова B.B., Кравцов Ю.А., Кузнецов Ю.И., Ржанов А.Г. Восстановление дифференциальных уравнений автостохастических систем по вpeменной реализации одной динамической переменной процесса//ЖТФ. 1994. T. 64, №3. С. 1. 
  13.  Gribkov DA, Gribkova VV, Kravtsov YuA, Kuznetsov YuI, Rzhanov AG, Anosov OL, Butkovskii OYa. Dynamic equation reconstruction from the observed one dimensional time series. In: Proceedings Internat. Conf. Dynamical Systems and Chaos. 23-27 Мау 1994, Tokyo, Japan. Singapore: World Scientitfic;1995;2. P. 378.
  14.  Anosov OL, Butkovskii OYa, Kravtsov YuA, Surovyatkina ED. Predictable nonlinear dynamics: advances and limitations. In: Katz RA, editor. Chaotic, Fractal аnd Nonlinear Signal Processing. N. Y.: AIP Press;1995;375. P. 71.
  15.  Mees AI, Judd K. Parsimony in dynamical modelling. In: Kravtsov YuA, Kadtke JB, editors. Predictability оf   Complex Dynamical Systems. Berlin: Springer, 1996. P. 123-141. DOI:10.1007/978-3-642-80254-6_7
  16. Anosov OL, Butkovskii OYa, Kravtsov YuA. Strategy and algorithms for dynamical forecasting. In: Kravtsov YuA, Kadtke JB, editors. Predictability оf   Complex Dynamical Systems. Berlin: Springer, 1996. P. 105-121. DOI:10.1007/978-3-642-80254-6_6
  17.  Kravtsov YuA, Kadtke JB, editors. Predictability оf Complex Dynamical Systems. Berlin: Springer; 1996. 234p. DOI:10.1007/978-3-642-80254-6
  18. Павлов A.H., Янсон Н.Б. Применение метода восстановления математической модели к анализу электрокардиограмм// Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т. 5, № 1,С. 93.
  19.  Anishchenko VS, Smirnova NB. Analysis аnd synthesis оf dynamical systems from experimental data. SPIE. 1994;2098:137-142.
  20.  Janson NB, Anishchenko VS. Modeling the Dynamical Systems on Experimental Data. In: Katz RA, editor. Proc. of the conference "Chaotic, fractal and nonlinear signal processing". 10-14 July 1995. N.Y.: AIP Press;1995;375. P.688-708.
  21.  Янсон H.B., Анищенко B.C. Моделирование динамических систем по экспериментальным рядам // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3. № 3. С. 112.
  22.  Packard NM, Crutchfield JP, Farmer JD, Shaw RS. Geometry from а time series. Phys.Rev.Lett. 1980;45:712-716. DOI:10.1103/PhysRevLett.45.712
  23. Takens F. Detecting strange attractor in turbulence. In: Rand D Young LS, editor. Dynamical Systems and Turbulence, Warwick 1980. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer, 1981;898. P. 366-381. DOI:10.1007/BFb0091924.
  24.  Noakes L. The Takens embedding theorem. Int.J.Bifurc.Chaos. 1991;1(1):867-872. DOI:10.1142/s0218127491000634
  25.  Casdagli M. Nonlinear prediction of chaotic time series. Physica D. 1989;35:335-356. DOI:10.1016/0167-2789(89)90074-2
  26.  Farmer JD, Sidorowich JJ. Predicting chaotic time series. Phys. Rev. Lett. 1987;59(8):845-848. DOI:10.1103/PhysRevLett.59.845.
  27.  Breeden JL, Packard NH. A learning algorithm for optimal representation оf experimental data. Int. J. Bifurc. Chaos. 1994;4(2):311-326. DOI: 10.1142/s0218127494000228.
  28. Gousbet G, Letellier С. Global vector-field reconstruction by using а multivariate polynomial L2 approximation оn nets. Phys. Rev. Е. 1994;49(6):4955- 4972. DOI: 10.1103/physreve.49.4955.
  29.  Янсон Н.Б., Павлов А.Н., Баланов А.Г, Анищенко B.C. Задача реконструкции математической модели применительно к электрокардиограмме// Письма в ЖТФ. 1996. T. 22, № 16. С. 57. 
  30.  Breeden JL, Packard NH. Nonlinear analysis оf data sampled nonuniformly in time. Physica D: Nonlinear Phenomena. 1992;58(1-4):273-283.
  31.  Анищенко B.C., Янсон H.B., Павлов А.Н. Об одном методе восстановления неоднородных аттракторов//Письма в ЖТФ. 1996. Т. 22, № 7. С. 1.
  32.  Frazer AM, Swinney HL. Independent coordinates from mutual information. Phys. Rev.A. 1986;33(2):1134-1140. DOI: 10.1103/physreva.33.1134.
  33. Bransater А, Swinney HL. Strange attractor in weakly turbulent Couette-Taylor flow. Phys. Rev. А. 1987;35(5):2207-2220. DOI: 10.1103/physreva.35.2207.
  34.  Liebert W, Shuster HG. Proper choice of the time delay for the analysis of chaotic time series. Phys. Lett. А. 1989;142(2-3):107-111. DOI:10.1016/0375-9601(89)90169-2
  35.  Шустер Г. Детерминированный xaoc: введение / Пер с англ. М.: Мир, 1988. 240 с.
  36. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 311 с.
  37.  Farmer JD, Ott E, Yorke  JA. The dimension of chaotic attractors. Phisica D. 1983;7(1-3):153-180. DOI: 10.1016/0167-2789(83)90125-2
  38.  Frederickson P, Kaplan J, Yorke J. The Lyapunov dimension of strange attractors. J. Diff. Eqs. 1983;49(2):185-207. DOI:10.1016/0022-0396(83)90011-6
  39. Wolf А, Swift J. Progress in computing Lyapunov exponents from experimental data. In: Horton CW, Rcichl LE, editors. Statistical Physics and Chaos in Fusion Plasmas. N.Y.: Wiley; 1984. P. 111.
  40.  Pawelski K, Schuster HG. Generalized dimensions and entropies from а measured time series. Phys. Rev. А. 1987;35(1):481-484.DOI: 10.1103/physreva.35.481.
  41.  Havstad JW, Ehlers CL. Attractor dimension оf nonstationary dynamical systems from small data sets. Phys. Rev. A. 1989;39(2):845-853.DOI: 10.1103/physreva.39.845.
  42.  Theiler J. Estimating fractal dimension. J. Opt. Soc. Аm. А. 1990;7(6):1055-1073. DOI: 10.1364/JOSAA.7.001055
  43.  Sauer T, Yorke JA, Casdagli M. Embedology. J. Stat. Phys. 1991;65(3-4):579-616. DOI: 10.1007/BF01053745.
  44.  Маnе R. On the dimension оf the compact invariant set of certain nonlinear maps. In: Rang DA, Young LS, editors. Vol. 898 of Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer; 1981. P. 230-242. DOI:10.1007/BFb0091916
  45.  Theiler J. Spurious dimension from correlation algorithms applied to limited time series data. Phys.Rev.A. 1986;34(3):2427-2432. DOI: 10.1103/physreva.34.2427.
  46.  Ланда П.C., Розенблюм М.Г. Об одном методе оценки размерности вложения аттрактора по результатам эксперимента//ЖГФ. 1989. Т. 59, № 1. С. 13.
  47.  Nerenberg МА, Essex С. Correlation dimension and systematic geometric effects. Phys. Rev. A. 1990;42(12):7065-7074.DOI: 10.1103/physreva.42.7065.
  48. Grassberger Р, Procaccia 1. Characterization оf strange attractors. Phys. Rev. Lett. 1983;50(5):346-349. DOI: 10.1103/PhysRevLett.50.346.
  49.  Broomhead DS, King GP. Extracting qualitative dynamics from experimental data. Physica D. 1986;20(2):217-236. DOI: 10.1016/0167-2789(86)90031-X
  50.  Schwarz С. Estimating the dimension оf а model. Ann. Statist. 1978;6(2):461-464. DOI: 10.1214/aos/1176344136
  51.  Baake E, Baake M, Bock HG, Briggs KM. Fitting ordinary differential equations to chaotic data. Phys.Rev. 1992;45(8):5524-5529.DOI: 10.1103/physreva.45.5524.
  52.  Mees АI. Modelling complex systems. In: Mees AI, Vincent T, Jennings LS, editors. Dynamics of Complex Interconnected Biological Systems. Boston: Birkhauser;1990. P. 104-124. DOI: 10.1007/978-1-4684-6784-0_6
  53.  Mees АI. Dynamical systems аnd tesselation: detecting determinism in data. Int. J.Bifurc. Chaos. 1991;1(4):777-794. DOI: 10.1142/S0218127491000579
  54.  Mees AI. Parsimonious dynamical reconstruction. Int. J. Bifurc. Chaos. 1993;3(3):669-675.
  55.  Mees АI. Nonlinear dynamical systems from data. In: Kelly FP, editor. Probability, Statistics and Optimization. Chichester: Wiley;1994. P. 225-237.
  56.  Mees АI. Reconstructing chaotic systems in the presence of noise. In: Yamaguti M, editor. Towards the Harnessing of Chaos. Amsterdam; N.Y.: Elsevier, 1994. P. 305.
  57.  Brown R, Rulkov NF, Tracy ER. Modelling and synchronizing chaotic systems from time-series data. Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49, № 5. P. 3784-3800. DOI: 10.1103/physreve.49.3784.
  58.  Glover J, Mees АI. Reconstructing the dynamics оf Chua’s circuit. J. Curcuits, Systems and Computers. 1992;3(2):201-214.
  59.  Anishchenko VS, Pavlov AN, Janson NB. Global reconstruction in the presence of apriory information. Chaos Solitons&Fractals. 1998;9(8):1267-1278. DOI: 10.1016/S0960-0779(98)00061-7.
  60.  Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Исакевич B.B., Кравцов Ю.А. Выявление нестационарностей из случайно-подобных сигналов динамической природы // РЭ. 1995. Т. 40, № 2. С. 255.
  61.  Грибков Д.А., Грибкова B.B., Кузнецов Ю.И. Восстановление внешнего воздействия по реализации одной переменной автостохастической системы // Вестник МГУ. Сер. Физ. Астрон. 1995. Т. 36, № 1. С. 76. 
  62.  Безручко Б.П., Селезнев Е.П, Смирнов Д.А. Реконструкция уравнений неавтономного нелинейного осциллятора по временному ряду: модели, эксперимент // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. T. 7, № 1. С. 49.
  63. Srark J, Broomhead DS, Davies ME, Huke J. Takens embedding theorems for forced and stochastic systems. Nonlinear Analysis, Theory, Methods &Applications. 1997;30(8):5303-5314. DOI: 10.1016/S0362-546X(96)00149-6
  64.  Teodorescu D. Time series decomposition and forecasting. Int.J.Control.1989;50(5):1577.
  65.  Берже П., Помо И., Видаль K. Порядок в хаосе. M.: Мир, 1991.
  66.  Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Минимальная процедура идентификации хаотических систем по наблюдаемой временной последовательности // РЭ. 1997. Т. 42, № 3. С. 1.
  67.  Павлов A.H., Янсон Н.Б., Анищенко В.С. Применение статистических методов при решении задачи глобальной реконструкции // Письма в ЖТФ. 1997. Т. 23, № 8.С. 1.
  68.  Arbanel HDI, Brown R, Kadtke JB. Prediction in chaotic nonlinear systems: methods for time series with broadband Fourier spectra. Phys. Rev. А. 1990;41(4):1782-1807. DOI: 10.1103/physreva.41.1782.
  69.  Smith LA. Identification and prediction оf low dimensional dynamics. Physica D. 1992;58(1-4):50-76.DOI: 10.1016/0167-2789(92)90101-R
  70. Kadtke J, Kremliovsky M. Signal classification using global dynamical models. In: Xatz BA, editor. Chaotic, Fractal and Nonlinear Signal Processing. 10−14 July 1995, Mystic, USA. N.Y.: AIP Press;1996;375. P. 189-202. DOI:10.1063/1.51029
  71.  Brush JS. Classifying transient signals with nonlinear dynamic filter banks. In: Xatz BA, editor. Chaotic, Fractal and Nonlinear Signal Processing. 10−14 July 1995, Mystic, USA. N.Y.: AIP Press;1996. P. 145-166.DOI: 10.1063/1.51024
  72.  Кравцов Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость // УФН. 1989. Т. 158, № 1. С.93.
  73.  Кравцов Ю.А. Фундаментальные и практические пределы предсказуемости // Пределы предсказуемости // Под ред. Ю.А. Кравцова. M.: Центроком, 1997. С. 170.
  74.  Аносов О.Л., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Пределы предсказуемости для линейных авторегрессионных моделей // РЭ. 1995. Т. 40, № 12. С. 1866.
  75.  Anosov OL, Butkovskii O.Ya., Gribkov D.A., Gribkova V.V., Kravtsov Yu.A., Kuznetsov Yu.l., Rzhanov A.G. Discriminant analysis ав applied 10 revealing of nonstationarity in chaotic systems. In: Dynamical Systems and Chaos (Proc.Internat.Conf.). 23-27 May 1994, Tokyo, Japan. Singapore: World Scientific;1995;2. P. 370.
  76.  Anosov OL, Butkovskii OYa. A discriminant procedure for the solution of inverse problem for nonstationary systems. In: Kravtsov YuA, Kadtke JB, editors. Predictability оf Complex Dynamical Systems. Berlin: Springer Verlag; 1996. P. 67-77.
  77.  Anosov OL, Butkovskii OYa, Kravisov YuA. Nonlinear chaotic systems identification from observed time series. Math.Models аnd Methods in Appl.Sciences. 1997;7(1):49-59. DOI:10.1142/S0218202597000049
  78.  Anishchenko VS, Pavlov АМ. Global reconstruction in application to multichannel communication. Phys Rev E. 1998;57(2):2455-2457.
  79. Anosov OL, Butkovskii OYa, Kadtke JB, Kravtsov YuA, Protopopescu VV. Low dimenisonal model of heart rhythm dynamics as a tool for diagnosing the anaerobic threshold. In: Kadtke JB, Bulsara A, editors. Int. Conf. оn Applied Nonlinear Dynamics near the Millenium (ANDM’97). 7-11 July 1997, San Diego, USA. N. Y.: AIP Press; 1997. P. 359.DOI: 10.1063/1.54233.
  80. Анищенко B.C., Вадивасова T.E., Астахов B.B. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1999. 368 с.
  81. Применение цифровой обработки сигналов / Под. ред. Э. Оппенгейма. M.: Мир, 1980. 552 c.
  82. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. М.: Мир, 1983.
  83. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991. 608 с. (с.76).
Поступила в редакцию: 
21.12.1998
Принята к публикации: 
30.11.1999
Опубликована: 
15.04.2000
  • 91 просмотр