ISSN 0869-6632 (Print)
ISSN 2542-1905 (Online)

For citation:

Bezruchko B. P., Ponomarenko V. I., Seleznev E. P. Experimental studies of chaotic dynamics near the Theorist. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2021, vol. 29, iss. 1, pp. 88-135. DOI: 10.18500/0869-6632-2021-29-1-88-135

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
Full text PDF(Ru):
PDF icon seleznev.pdf
(downloads: 1296)
Language: 
Russian
Heading: 
Bifurcation in Dynamical Systems. Deterministic Chaos. Quantum Chaos.
Article type: 
Review
UDC: 
517.9:534.1
DOI: 
10.18500/0869-6632-2021-29-1-88-135

Experimental studies of chaotic dynamics near the Theorist

Autors: 
Bezruchko Boris Petrovich, Saratov State University
Ponomarenko Vladimir Ivanovich, Saratov Branch of Kotel`nikov Institute of Radiophysics and Electronics of Russian Academy of Sciences
Seleznev Evgeny Petrovich, Saratov Branch of Kotel`nikov Institute of Radiophysics and Electronics of Russian Academy of Sciences
Abstract: 

The purpose of this work is to review of works in which experimental studies of the regularities of chaotic dynamics revealed theoretically in works of S.P. Kuznetsov were carried out. Methods. The research methods used are primarily based on the construction of experimental schemes; they correspond most closely to the mathematical models proposed and theoretically and numerically investigated by S.P. Kuznetsov. These are systems of radio engineering oscillators with various types of communication and impact, autogenerators with various types of feedback. Results. The transition to chaos in the electron beam – backward electromagnetic wave system is investigated using the example of a backward wave tube. On the example of coupled nonlinear radio engineering oscillators with in-phase excitation, the discovered S.P. Kuznetsov, universal regularities and similarity laws for coupled systems with period doubling. The paper presents results of experimental study of radiophysical devices, on the example of which it was possible to verify the universal laws of the critical behavior of two unidirectionally coupled systems with period doublings. The results of joint with S.P. Kuznetsov of experimental studies, which for the first time in the world presented convincing arguments for the existence of a transition to chaos through the birth of a strange non-chaotic attractor. An experimental system with delayed feedback is presented for theoretical regularities testing that appear on the threshold of the transition to chaos. The experimentally developed by S.P. Kuznetsov’s scheme of an auto-generator of hyperbolic chaos, which, apparently, is the world’s first known example of a physical system with rough chaos.

Key words: 
universality
scaling
critical behavior
period doubling
quasi-periodicity
strange non-chaotic attractor
hyperbolic chaos
Reference: 
  1. Безручко Б.П., Булгакова Л.В., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания и неустойчивость в лампе обратной волны // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, № 6. С. 1136–1139.
  2. Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. 1978. Vol. 19, no. 1. P. 25–52. DOI: 10.1007/BF01020332.
  3. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. 1983. Т. 141, № 2. С. 343–374. DOI: 10.3367/UFNr.0141.198310e.0343.
  4. Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Новый тип критического поведения связанных систем // ДАН СССР. 1986. Т. 287, вып. 3. С. 619–622.
  5. Linsay P.S. Period doubling and chaotic behaviour in a driven anharmonic oscillator // Phys. Rev. Lett. 1981. Vol. 47, no. 19. P. 1349–1352. DOI: 10.1103/PhysRevLett.47.1349.
  6. Testa J., Perez J., Jeff ries C. Evidence for universal chaotic behavior of a driven nonlinear oscillator // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48, № 11. P. 714–717. DOI: 10.1103/PhysRevLett.48.714.
  7. Астахов В.В., Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Исследование динамики нелинейного колебательного контура при гармоническом воздействии // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32, № 12. С. 2558–2566.
  8. Holmes P. A nonlinear oscillator with a strange attractor // Philos. Trans. of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 1979. Vol. 292, no. 1394. P. 419–448. DOI: 10.1098/rsta.1979.0068.
  9. Rollins R.W., Hunt E.R. Exactly solvable model of a physical system exhibiting universal chaotic behavior // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49, no. 18. P.1295–1298. DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.1295.
  10. Testa J., Perez J., Jeff ries C. Testa, Perez and Jeff ries respond // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49, no. 14. P. 1055. DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.1055.
  11. Hunt E.R. Comment on a driven nonlinear oscillator // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49, no. 14. P. 1054. DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.1054.
  12. Безручко Б.П., Кулешов А.В., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Нелинейные колебания в резонаторе с варакторным диодом // Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36, № 8. С. 1519–1524.
  13. Kurz Th., Lauterborn W. Bifurcation structure of the Toda oscillator // Phys. Rev. A. 1988. Vol. 37, no. 3. P. 1029–1031. DOI: 10.1103/physreva.37.1029.
  14. Хаслер М.Ж. Электрические схемы с хаотическим поведением // Тематический выпуск ТИИЭР. 1987. Т. 75, №. 8. С. 40–54.
  15. Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Сложная динамика возбуждаемого осциллятора с кусочно-линейной характеристикой // Письма в ЖТФ. 1994. Т. 20, вып. 19. С. 75–79.
  16. Селезнев Е.П., Захаревич А.М. Структура пространства управляющих параметров неавтономного кусочно-линейного осциллятора // ЖТФ. 2006. Т. 76, № 4. С. 133–135. DOI: 10.1134/S1063784206040220.
  17. Безручко Б.П., Жалнин А.Ю., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Дискретные нелинейные модели периодически возбуждаемой RL-диод цепи // Известия вузов. ПНД. 1997. Т. 5, № 2. С. 48–62.
  18. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Модель диссипативного осциллятора в виде одномерного отображения с тремя параметрами // Письма в ЖТФ. 1994. Т. 20, вып. 11. С. 78–82.
  19. Bezruchko B.P., Prokhorov M.D., Seleznev Ye.P. Multiparameter model of a dissipative nonlinear oscillator in the form of one-dimensional map // Chaos, Solitons, Fractals. 1995. Vol. 5, № 11. P. 2095–2107. DOI: 10.1016/0960-0779(95)00007-Q.
  20. Кузнецов С.П. Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума // Изв. вузов. Радиофизика. 1985. Т. 28, № 8. С. 991–1007.
  21. Кузнецов С.П. Масштабно-инвариантная структура пространства параметров связанных систем Фейгенбаума // ЖТФ. 1985. Т. 55, № 9. С. 1830–1834.
  22. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Сатаев И.Р. Коразмерность и типичность в контексте проблемы описания перехода к хаосу через удвоения периода в диссипативных динамических системах // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т. 2, № 3–4. С. 90–105. DOI: 10.1070/RD1997v002n04ABEH000050.
  23. Кузнецов С.П., Пиковский А.С. Переход от симметричного к несимметричному режиму хаотической динамики в системе диссипативно связанных рекуррентных отображений // Изв. вузов. Радиофизика. 1989. Т. 32. № 1. C. 49–54.
  24. Астахов В.В., Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Селезнёв Е.П. Особенности возникновения квазипериодических движений в системе диссипативно связанных нелинейных осцилляторов под внешним периодическим воздействием // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14, № 1. С. 37–41.
  25. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнёв Е.П. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов // Изв. вузов. Радиофизика. 1988. Т. 31, № 5. С. 627–630.
  26. Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнёв Е.П. Мультистабильные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем//Письма в ЖТФ. 1989. Т. 15, № 3. С. 60–65.
  27. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н. Селезнев Е.П. Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах // ЖТФ. 1990. Т. 60, № 10. С. 19–26.
  28. Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Пудовочкин О.Б., Селезнев Е.П. Мультистабильность в колебательных системах с удвоением периода и однонаправленной связью // ДАН СССР. 1990. Т. 314, № 2. С. 332–336.
  29. Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Бассейны притяжения хаотических аттракторов в связанных системах с удвоением периода // Письма в ЖТФ. 1997. Т. 23, № 4. С. 40–46. DOI: 10.1134/1.1261565.
  30. Безручко Б.П., Прохоров М.Д., Селезнев Е.П. Виды колебаний, мультистабильность и бассейны притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода // Известия вузов. ПНД. 2002. Т. 10, № 4. С. 47–68.
  31. Stankevich N. V., Dvorak A., Astakhov V. et al. Chaos and hyperchaos in coupled antiphase driven toda oscillators // Regular and Chaotic Dynamics. 2018. Т. 23, № 1. С. 120–126. DOI: 10.1134/S1560354718010094.
  32. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР. 1944. Т. 44, № 8. С. 339–342.
  33. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Comm. Math. Phys. 1971. Vol. 20. P. 167–192. DOI: 10.1007/BF01646553.
  34. Рюэль Д., Такенс Ф. О природе турбулентности // Странные аттракторы: Сб. ст. / Я.Г. Синай, Л.П. Шильников. М.: Мир, 1981. С. 117–151.
  35. Grebodgi C., Ott E., Pelican S., Yorke J. Strange attractor that are not chaotic // Physica D. 1984. Vol. 13, № 1–2. P. 261–268. DOI: 10.1016/0167-2789(84)90282-3.
  36. Bondeson A., Ott E., Antonsen Jr. T.M. Quasiperiodically forced damped pendula and Schr¨odinger equations with quasiperiodic potentials: Implications of their equivalence // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55, № 20. P. 2103–2106. DOI: 10.1103/PhysRevLett.55.2103.
  37. Romeiras F.J., Bondeson A., Ott E., Antonsen Jr. T.M., Grebogi C. Quasiperiodically forced dynamical systems with strange nonchaotic attractors // Physica D. 1987. Vol. 26, № 1–3. P. 277–294. DOI: 10.1016/0167-2789(87)90229-6.
  38. Romeiras F.J., Ott E. Strange nonchaotic attractors of the damped pendulum with quasiperiodic forcing // Phys. Rev. A. 1987. Vol. 35, № 10. P. 4404–4413. DOI: 10.1103/physreva.35.4404.
  39. Ding M., Grebogi C., Ott E. Evolution of attractors in quasiperiodically forced system // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 39, № 5. P. 2593–2598. DOI: 10.1103/physreva.39.2593.
  40. Ditto W.L. et al. Experimental observation of a strange nonchaotic attractor // Phys. Rev. Lett. 1990. Vol. 65, № 5. P. 533. DOI: 10.1103/PhysRevLett.65.533.
  41. Ding M., Grebogi C., Ott E. Dimensions of strange nonchaotic attractors // Phys. Lett. A. 1989. Vol. 137, no. 4–5. P. 167–172. DOI: 10.1016/0375-9601(89)90204-1.
  42. Hunt B.R., Ott E. Fractal properties of robust strange nonchaotic attractors // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 87, no. 25. P. 254101. DOI: 10.1103/PhysRevLett.87.254101.
  43. Kapitaniak T., Ponce E., and Wojewoda J. Route to chaos via strange non–chaotic attractors// J. Phys. A.: Math. Gen. 1990. Vol. 23, no. 8. P. L383. DOI: 10.1088/0305-4470/23/8/006.
  44. Pikovsky A. and Feudel U. Characterizing strange nonchaotic attractors // CHAOS. 1995. Vol. 5. P. 253. DOI: 10.1063/1.166074.
  45. Feudel U., Kurths J. and Pikovsky A. Strange nonchaotic attractor in a quasiperiodically forced circle map // Physica D. 1995. Vol. 88, no. 3–4. P. 176–186. DOI: 10.1016/0167-2789(95)00205-I.
  46. Zhou T., Moss F., Bulsara A. Observation of a strange nonchaotic attractor in a multistable
  1. potential // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 45, no. 8. P. 5394–5400. DOI: 10.1103/physreva.45.5394.
  1. Kuznetsov S., Pikovsky A., Feudel U. Birth of a strange nonchaotic attractor: A Renormalization group analysis // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51, no. 3. P. R1629–R1632. DOI: 10.1103/PhysRevE.51.R1629.
  2. Kuznetsov S., Feudel U., Pikovsky A. Renormalization group for scaling at the torus-doubling terminal point // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 57, no. 2. P. 1585–1590. DOI: 10.1103/PhysRevE.57.1585.
  3. Witt A., Feudel U., Pikovsky A. Birth of strange nonchaotic attractors due to interior crisis // Physica D. 1997. Vol. 109, no. 1–2. P. 180–190. DOI: 10.1016/S0167-2789(97)00168-1.
  4. Osinga H.M., Feudel U. Boundary crisis in quasiperiodically forced systems // Physica D. 2000. Vol. 141, no. 1–2. P. 54–64. DOI: 10.1016/S0167-2789(00)00031-2.
  5. Kaneko K. Doubling of torus // Prog. Theor. Phys. 1983. Vol. 69. № 6. P. 1806–1810.DOI: 10.1143/PTP.69.1806.
  6. Кузнецов С.П. О воздействии периодического внешнего возмущения на систему, демонстрирующую переход порядок – хаос через бифуркации удвоения периода // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39. № 3. С. 113–116.
  7. Кузнецов С.П., Пиковский А.С. Фойдель У. Странный нехаотический аттрактор // В кн.:Нелинейные волны – 2004 / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова и В.И. Некоркина. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2005. С. 484.
  8. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Пиковский А.С., Фойдель У., Селезнев Е.П. О динамике нелинейных систем под внешним квазипериодическим воздействием вблизи точки окончания линии бифуркации удвоения тора // Изв. ВУЗов. ПНД. 1997. Т. 5, № 6. С. 3-20.
  9. Bezruchko B.P., Kuznetsov S.P., Seleznev Ye.P. Experimental observation of dynamics near the torus–doubling terminal critical point // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62, № 6. P. 7828–7830. DOI: 10.1103/PhysRevE.62.7828.
  10. Селезнев Е.П., Захаревич А.М. Динамика нелинейного осциллятора при квазипериодическом воздействии // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, № 17. С. 13–18. DOI: 10.1134/1.2061728.
  11. Кислов В.Я., 3алогин Н. Н., Мясин Е.А. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24, № 6. С. 1118–1130.
  12. Кац В.А., Трубецков Д.И. Возникновение хаоса при разрушении квазипериодических ре- жимов и переходе через перемежаемость в распределенном генераторе с запаздыванием // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39, № 3. С. 116–119.
  13. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. Т. 87. 312 с.
  14. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Физматлит, 2002. 252 с.
  15. Vаll´eе R., Delisle C. Periodicity windows in a dynamical system with a delayed feedback // Phys. Rev. A. 1986. Vol. 34, № 1. P. 309–318. DOI: 10.1103/PhysRevA.34.309.
  16. Ikedа К., Коndо К., Akimоtо О. Successive higher-harmonic bifurcations in systems with delayed feedback // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 49, № 20. P. 1467–1470. DOI: 10.1103/PhysRevLett.49.1467.
  17. Le Bеrre М., Ressayre E., Tallet A., Gibbs H.M. High-dimension chaotic attractors of a nonlinear ring cavity // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56, № 4. P. 274–277. DOI: 10.1103/PhysRevLett.56.274.
  18. Кузнецов С.П., Пиковский А.С. Универсальность бифуркаций удвоения периода в одномерной диссипативной среде. // Изв. вузов. Радиофизика. 1985. Т. 28, № 3. С. 308–319. DOI: 10.1007/BF01035479.
  19. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Каменский В.Ю., Пономаренко В.И. Экспериментальное подтверждение закономерностей универсальности и подобия для модели генератора с запаздывающей обратной связью // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14, № 11. С. 1014–1019.
  20. Синай Я.Г. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. М.: Мир, 1981.253 с.
  21. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники, т. 2. Под ред. Р.В. Гамкрелидзе. Изд. ВИНИТИ АН СССР, Москва, 1985.
  22. Eckmann J.-P. and Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Rev. Mod. Phys. 1985. Vol. 57, № 3. P. 617–656. DOI: 10.1103/RevModPhys.57.617.
  23. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем / М.: Факториал, 1999. 768 с.
  24. Afraimovich V., Hsu S.-B. Lectures on chaotic dynamical systems, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, 28, American Mathematical Society, Providence, RI; International Press, Somerville,MA, 2003, 353 pp.
  25. Devaney R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Addison-Wesley, New York, 1989,360 pp.
  26. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1993.
  27. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М: Физматлит, 2001. 296 с.
  28. Newhouse S., Ruelle D., Takens F. Occurrence of strange Axiom-A attractors near quasi periodic fl ows on Tm , m > 3 // Comm. Math. Phys. 1978. № 64. P. 35–40. DOI: 10.1007/BF01940759.
  29. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский- Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. М.-Ижевск: Инст. Компьютерных исследований, 2003.
  30. Афраймович В.С., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР. 1977. Т. 234. С. 336–339.
  31. Mischaikow K., Mrozek M., Szymczak A. Chaos in the Lorenz Equations: A Computer Assisted Proof Part III: Classical Parameter Values // Journal of Diff erential Equations. 2001. Vol. 169. № 1. P. 17–56. DOI: 10.1006/jdeq.2000.3894.
  32. Hunt T.J., MacKay R.S. Anosov parameter values for the triple linkage and a physical system with a uniformly chaotic attractor // Nonlinearity. 2003. Т. 16, №. 4. С. 1499. DOI: 10.1088/0951-7715/16/4/318.
  33. Hunt T.J. Low Dimensional Dynamics: Bifurcations of Cantori and Realisations of Uniform Hyperbolicity. PhD Thesis. University of Cambridge, 2000.
  34. Belykh V., Belykh I., Mosekilde E. Hyperbolic Plykin attractor can exist in neuron models // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2005. Т. 15, № 11. С. 3567–3578. DOI: 10.1142/S0218127405014222.
  35. Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Хаотическая динамика в физической системе со странным аттрактором типа Смейла–Вильямса // ЖЭТФ. 2006. Т. 129, № 2. С. 400–412. DOI: 10.1134/S1063776106020166.
  36. Кузнецов С.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Автономная система – генератор гиперболического хаоса: схемотехническое моделирование и эксперимент // Известия вузов. ПНД. 2013. Т. 21, № 5. С. 17–30. DOI: 10.18500/0869-6632-2013-21-5-17-30.
  37. Isaeva O.B., Kuznetsov S.P., Savin D.V., Sataev I.R., Seleznev Y.P. Hyperbolic chaos and other phenomena of complex dynamics depending on parameters in a nonautonomous system of two alternately activated oscillators // Int. J. Bif. Chaos. 2015. Vol. 25, №. 12. P. 1530033. DOI: 10.1142/S0218127415300335.
  38. Кузнецов С.П., Пономаренко В.И. О возможности реализации странного аттрактора типа Смейла–Вильямса в радиотехническом генераторе с запаздыванием // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34, № 18. С. 1–8. DOI: 10.1134/S1063785008090162.
  39. Kuznetsov S.P., Pikovsky A. Autonomous coupled oscillators with hyperbolic strange attractors //Physica D. 2007. Vol. 232. № 2. P. 87–102. DOI: 10.1016/j.physd.2007.05.008.
  40. Родригес-Васкес А., Хуэртас Х.Л., Руэда А., Перес-Вердю Б., Чжуа Л.О. Хаос в схемах на переключаемых конденсаторах: дискретные отображения // ТИИЭР. 1987. Т. 75, № 8. С. 124–140.
  41. Isaeva O.B., Kuznetsov S.P., Ponomarenko V.I. Mandelbrot set in coupled logistic maps and in an electronic experiment // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. P. 055201. DOI: 10.1103/PhysRevE.64.055201.
  42. Исаева О.Б. Комплексная аналитическая динамика в приложении к радиофизическим системам. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Саратов, 2003. 161 с.
Received: 
16.11.2020
Accepted: 
27.11.2020
Published: 
01.02.2021
  • 3065 reads