ISSN 0869-6632 (Online)
ISSN 2542-1905 (Print)


Cite this article as:

Muhin R. R. From the history of hamiltonian chaos: billiards. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2008, vol. 16, iss. 6, pp. 86-98. DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2008-16-6-86-98

Language: 
Russian

From the history of hamiltonian chaos: billiards

Autors: 
Muhin Ravil Rafkatovich, Stary Oskol technological Institute. A. A. Ugarov (branch) of Federal state educational institution of higher professional education "national research technological University "MISIS" (STI nust Misa)
Abstract: 

Problems of history of the Hamiltonian chaos discovery are considered. The example of Hamiltonian systems are free-moving particles with elastic collisions called mathematical billiards. The contribution from Russian scientists to chaos discovery in conservative systems (billiards are particular case of such systems) is especially large. Demonstration of billiard’s chaotic behaviour is one of the milestones in chaos history.

Key words: 
DOI: 
10.18500/0869-6632-2008-16-6-86-98
References: 

1. Bolzmann L. Uber der Warmegleichgewicht zwischen meharatomigen Gasmolekulen  ? // Sitzber. Akad. Wiss. Wien. 1871. B. 63. S. 397. 2. Lo Bello A. On the Origin and History of Ergodic Theory // Bolletino di Storia delle Scienze Mathematiche. 1983. A. iii, No 1. P. 37. 3. Вдовиченко Н.В. Развитие фундаментальных принципов статистической физики в первой половине ХХ века. М.: Наука, 1986. 4. Кузнецова О.В. История обоснования статистической механики. М.: Наука, 1988. 5. Plancherel M. Beweis der Unmoglichkeit ergodischer mechanischer Systeme // Ann.  Phys. 1913. B. 42. S. 1061. 6. Rosental A. Beweis der Unmoglichkeit ergodischer Gassysteme // Ann. Phys. 1913.  B. 42. S. 796. 7. Erenfest P., Erenfest T. Begriffische Grundlagen statistischen Auffassung in der Mechanik // Enzyklopedie der mathematischen Wissinschaften. 1911. B. 4. S. 32. 8. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. То же, 2-е изд.: 1949. 9. Zaslavsky G.M. Hamiltonian chaos and fractional dynamics. Oxford: Oxford Univ. Press, 2004. 10. Birkhoff G.D. Proof of recurrence theorem for strongly transitive systems and proof of the ergodic theorem // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 1931. Vol. 17. P. 650. 11. Neumann J. von. Proof of the quasi-ergodic hypothesis // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 1932. Vol. 18. P. 70. 12. Hopf E. Ergodentheorie. Berlin: Springer-Verl. 1937. То же: Хопф Э. Эргодическая теория // УМН. 1949. Т. 4. Вып. 1. С. 113. 13. Khinchin A.Ya. Zu Birkhoffs Losung des Ergodeproblems // Math. Ann. 1931.  ? B. 107. S. 485. 14. Колмогоров А.Н. Упрощенное доказательство эргодической теоремы Биркгофа– Хинчина // УМН. 1938. No 5. С. 52. 15. Аносов Д.В. О вкладе Н.Н.Боголюбова в теорию динамических систем // УМН. 1994. Т. 49. Вып. 5. С. 5. 16. Самойленко А.М. Н.Н.Боголюбов и нелинейная механика // УМН. 1994. Т. 49. Вып. 5. С. 103. 17. Боголюбов Н.Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Киев: Изд-во АН УССР, 1945. 18. Kryloff N., Bogoliouboff N. La theorie g  ? en ? erale de la mesure dans son applications  ?a l’etude des syst  ? eme dynamiques de la m ` ecanique non lineaire // Ann. Math. 1937.  ? Vol. 38. P. 65; Рус. пер. в кн.: Н.Н. Боголюбов. Избр. труды. Т. 1. Киев: Наукова думка, 1969. С. 411. 19. Гиббс Дж.В. Основные принципы статистической механики // Дж.В.Гиббс. Термодинамика. Статистическая механика. М.: Наука, 1982. С. 350. 20. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. 21. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. М.;Л.: Изд-во АН СССР, 1950. 22. Чириков Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности. - Препринт ИЯФ 267. Новосибирск: ИЯФ СОАН СССР, 1969. 23. Кузнецова О.В. Исследования Н.С.Крылова по обоснованию статистической механики // Исслед. по истории физики и механики. М.: Наука, 1987. С. 80. 24. Sinai Y.G. Development of Krylov’s ideas // N.S.Krylov. Works on foundation of the statistical physics. Princeton: Princeton Univ. Press, 1980. P. 239. 25. Krylov N.S. Works on the foundations of statistical physics. - Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1977. 26. Hadamard J. Les surfaces a courbures oppose ` es et leurs lignes g  ? eod  ? esiques // J.  ? Math. pures et appl. 1898. Vol. 4. P. 27. 27. Hedlund G.A. The dynamic of geodesic flows // Bull. AMS. 1939. Vol. 45. P. 241. 28. Hopf E. Statistik der geodatischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krummung  ? // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. 1939. B. 91. S. 261.; Рус. пер.: Э. Хопф. Эргодическая теория // УМН. 1949. Т. 4. Вып. 2. С. 129. 29. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: ГИТТЛ, 1953. 30. Кориолис Г. Математическая теория явлений биллиардной игры. М.: Гостехиздат, 1956. 31. Синай Я.Г. Динамические системы с упругими отражениями // УМН. 1970. Т. 25. Вып. 4. С. 141. 32. Синай Я.Г., Чернов Н.И. Эргодические свойства некоторых систем двумерных дисков и трехмерных шаров // УМН. 1987. Т. 42. В. 3. С. 153. 33. Синай Я.Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР. 1959. Т. 124. No 4. С. 768. 34. Новиков С.П. и др. Яков Григорьевич Синай (к 60-летию со дня рождения) // УМН. 1996. Т. 51. Вып. 4. С.179. 35. Колмогоров. Истина – благо. Под. ред. А.Н. Ширяева. М.: Физматлит, 2003. 36. Синай Я.Г. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики // ДАН СССР. 1963. Т. 153. No 6. С. 1261. 37. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН. 1963. Т. 18. Вып. 6. С. 91. 38. Синай Я.Г. Классические динамические системы со счетнократным лебеговским спектром. II // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1966. Т. 30. No 1. С. 15. 39. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // ДАН СССР. 1958. Т. 119. No 5. С. 861. 40. Мухин Р.Р. Развитие Колмогоровым энтропийного направления эргодической теории // Истор.-матем. исслед. 2003. II серия. Вып. 8(43). С. 18. 41. Синай Я.Г. Эргодическая теория // А.Н.Колмогоров. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987. С. 275. 42. Бунимович Л.А., Синай Я.Г. Об основной теореме рассеивающих биллиардов // Матем. сб. 1973. Т. 90. No 3. С. 415. 43. Синай Я.Г. Письменное сообщение от 26.03.2007. 44. Diner S. Les voies du chaos deterministe dans l’  ? ecole russe // Chaos et d  ? eterminism.  ? / Sous la direction de la A.Dahan Dalmedico, J.-L.Chabert, K.Chemla. Edition du Seuil, 1992. P. 331.

Short text (in English): 
Full text: