Цель настоящего исследования — построить аналитическое решение по определению поправок к частотам колебаний цепного маятника для исходной модели с распределенными параметрами и стержневой конечномерной модели с сосредоточенными параметрами в зависимости от амплитуды колебаний. Проверить сходимость решения из конечномерной модели к решению из распределенной модели при увеличении количества сегментов, из которых состоит модель.

Методы. Для описания колебательного движения цепного маятника при наличии слабой нелинейности применялся аналитический подход на основе асимптотических методов, включающий использование уравнения гармонического баланса. Конечномерная модель представляет собой стержневую схему с произвольным числом инерционных стержней, шарнирно связанных между собой. В качестве численных экспериментов с конечномерной моделью были проведены симуляции ее свободных колебаний методами многотельной динамики, а также осуществлено интегрирование матричного уравнения ее движения при наличии коллинеарного управления, позволяющего разгонять систему по формам колебаний.

Результаты. Выведены формулы для вычисления частот колебаний распределенной и конечномерной моделей цепного маятника при учете слабой нелинейности в зависимости от номера частоты, амплитуды колебаний и количества стержней для конечномерной модели. Показана сходимость поправочных коэффициентов из конечномерной модели цепного маятника к значениям аналогичных коэффициентов из распределенной модели при возрастании количества стержней. Построены графические иллюстрации результатов расчетов для наглядной оценки моделей и их сопоставления.

Заключение. На основе полученных формул и графиков определено, что стержневая конечномерная схема пригодна для описания поведения цепного маятника при наличии слабой нелинейности. При колебаниях системы в рамках этой модели на низшей частоте достаточно порядка десяти стержней для корректного описания и математического моделирования цепного маятника. В случае более сложного движения по второй или третьей форме колебаний потребуется использовать не меньше тридцати стержней для обеспечения достаточной плавности форм колебаний.